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21.2.2《平行四边形的判定》同步练习
一、单选题
1．如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）

A． B． C． D．
2．如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．16
3．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）

A．6 B．8 C．9 D．10
5．在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ）
A．四边形的周长 B．的大小
C．四边形的面积 D．线段的长
6．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）

A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为
二、填空题
7．如图所示，在中，分别在上，且，若，则___________．
8．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为_________．

9．如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形．
10．如图，在中，，，，点在上，且，点在上，若平分四边形的面积，则的长度为______．

11．如图，护城河在处直角转弯，宽度保持4米，从往处，经过两座桥：，．设护城河是东西—南北方向，，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当地架桥可使，，的路程最短．则这个最短距离是_____米．
12．如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题（4题）
13．如图，已知，，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
14．如图，在中，点，分别在边，上，．
(1)求证：；
(2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由）
15．如图，在 ABC中，，，点在上，过点作交于点，延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的长．
16．如图，在 ABC中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明．
参考答案
一、单选题
1．D
解：A．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B． ∵，∴，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
C．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形为平行四边形，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴周长为：，
故选：C．
3.B
解：过P作于M，

由作图得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
设，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
4．C
根据题意的作图可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C
5．C
解：连接，
在中，，分别为，中点，
且，，，
且，
四边形是平行四边形，
，
同理，且．
∴四边形是平行四边形，
则与的面积分别为与面积的一半，
四边形的面积，
四边形的面积始终为面积的一半，是定值．
选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误．
选项B：随位置改变，错误．
选项D：长度随、移动改变，错误．
综上，四边形的面积是定值，
故选：．
6．A
解：如图所示，

延长，
依题意
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
则为的中点
如图所示，

设的中点分别为，
则
∴当点在上运动时，在上运动，
当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，
∴到的距离相等，
则，
此时
此时和的边长都为2，则最小，
∴，
∴
∴，
或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，

此时
故A选项错误，
根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；
周长等于，
即当最小时，周长最小，
如图所示，作平行四边形，连接，

∵，则
如图，延长,，交于点，
则，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
∴
∴
∴
∴
∴，则，
∴是直角三角形，

在中，
∴当时，最短，
∵
∴周长的最小值为，故C选项正确；
∵
∴四边形面积等于

∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合
∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，
故选：A．
二、填空题
7．
解：四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形，
，
故答案为：．
8．
解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案：．
9．（答案不唯一）
解：添加条件：，
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：（答案不唯一）
10．
解：如图，取中点，连接并延长交于点，过作于点，过作于点，如图所示：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分四边形的面积，
∴经过平行四边形的中心，
∵在平行四边形中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：．
11．108
解：如图所示，
将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴当四点共线时，有最小值，即此时，，的路程最短，
∵，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，且河宽为4米，
∴点G与点F的东西距离为米，南北距离为米，
∴点G与点F的距离为米，
∴这个最短距离是米，
故答案为：108．
12．①③④
解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，，
∴，故①正确；
∴，
∴，，故③正确；
∵，，，
∴，；故②错误；
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，故④正确；
故答案为①③④．
三、解答题
13．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的度数为．
14．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴即，
在与 CDF中，
，
∴；
（2）添加（答案不唯一）
如图所示，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
当时，四边形是平行四边形．
15．（1）证明：，，
∴∠A=∠B=45 （等边对等角）．
，
，（两直线平行，同位角相等）．
，
（等角对等边）．
，
．
又，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
（2）解：设，
，
在中，，
（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
（勾股定理），
，解得，（舍去），
．
16．（1）证明：∵点为的中点
∴，
∵
∴，，
在和中
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：当时，四边形是矩形，
理由如下：
∵ ，点是边上的中点，
∴ 即，
∵ 由（1）得四边形是平行四边形，
∴ 四边形是矩形.

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