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湖南省岳阳市第十中学2025年4月八年级下学期数学期中考试试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列图案中，只是中心对称图形的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：只是轴对称图形，故A不符合题意；只是中心对称图形，故B符合题意；
既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C不符合题意；
既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形以及中心对称的定义，结合所给图形进行判断即可．
2． 一个七边形的内角和等于 （　　）
A．540° B．900° C．980° D．1080°
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：一个七边形的内角和为：(7-2)×180=5×180°=900°，
故答案为：B.
【分析】根据n边形内角和公式为(n-2)×180°，可以计算出七边形内角和的度数.
3．已知∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，则∠A＝（　　）
A．60° B．36° C．56° D．46°
【答案】B
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形中，两锐角互余计算即可．
4．下列命题是真命题的是（　　）.
A．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相等且相互平分的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
B. 对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故错误；
C. 四条边相等的四边形是菱形，故错误；
D. 对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确.
故答案为：D.
【分析】根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定即可解答
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8，△ABD的面积是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°
∴DC⊥BC
∵BD平分∠ABC
∴DE=CD=3，
∴
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可求得DE的长，又由三角形面积的求解方法，即可求得答案.
6．点P（2，-5）到x轴、y轴的距离分别为（　　）
A．2、5 B．2、-5 C．5、2 D．-5、2
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵|-5|=5，|2|=2
∴点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为2
故答案为：C.
【分析】求得-5的绝对值即为点P到x轴的距离，求得2的绝对值即为点P到y轴的距离.
7．已知A和B两点的坐标分别是（1，3）和（1，-3），则（　　）
A．点A和B关于x轴对称 B．点A和B关于y轴对称
C．点A和B关于原点对称 D．以上说法都不对
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A和B两点的坐标分别是(1，3)和(1，-3)
∴A和B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点A和B关于x轴对称
故答案为：A.
【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而判断得出答案.
8．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是矩形，则四边形ABCD是（　　）
A．菱形 B．矩形
C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH//BD，EF//AC
∴∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠1=90°
∴∠3=90°
∴AC⊥BD，
即原四边形ABCD的对角线互相垂直
故答案为：D.
【分析】先明确中点四边形的性质，利用三角形中位线定理得出中点四边形与原四边形对角线的关系，再根：据矩形的性质(有一个角为直角)推导原四边形对角线的关系.
9．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（　　）
A．28 B．14 C．10 D．7
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=BF=3，
同理EF=BC=BD=4，
∴四边形BDEF的周长 =BF+DE+EF+BD=3+3+4+4=14.
故答案为：B.
【分析】根据中位线定理分别求出DE、BF、EF和BD的长，然后求四边形BDEF的周长即可.
10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，其中正确结论的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；正方形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°
∴∠BAE+∠DAF=30°
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，①正确；
∵∠BAE=∠DAF
∴∠DAF+∠DAF=30°
即∠DAF=15°，②正确；
∵BC=CD
∴BC-BE=CD-DF，CE=CF，
∵AE=AF
∴AC垂直平分EF，③正确；
设EC=x，由勾股定理，得，，，
∴
∴
∴
∴，④错误
∵
∴，⑤正确；
综上所述，正确的有4个，故选C.
故答案为：C.
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是　 　.
【答案】5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
12．如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是　 　．
【答案】12
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形的对角线
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条，
∴，解得：n=12，
故答案为：12．
【分析】根据多边形的边数与对角线条数的关系，列出关于边数的方程求解.边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为．
13．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x＝　 　.
【答案】10或2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：分两种情况进行讨论：
①两直角边分别为6，8，由勾股定理得 ，
②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得 ；
故答案为10或 .
【分析】根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答.
14．通过平移把点A(2，－1)移到点A'(2，2)，按同样的平移方式，点B(－3，1)移动到点B'，则点B'的坐标是　 　．
【答案】（-3，4）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵把点A（2，-1）移到点A’（2，2），
∴将点A向上平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标加3，
∵按同样的平移方式，点B(－3，1)移动到点B'，
∴点B’的坐标是（-3，4）.
故答案为：（-3，4）.
【分析】根据已知条件找到平移规律：横坐标不变，纵坐标加3，即可解题.
15．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点.若AB=6，BC=8，则△BOE的周长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，
∴CD=AB=6，AD=BC=8，
∵点O是AC的中点，E为AD的中点，
∴，，
在Rt△ABE中，AE=4，AB=6，
根据勾股定理得，，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵点O是AC的中点，
∴
∴△BOE的周长为
故答案为：.
【分析】由点O是AC的中点，E为AD的中点可得，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE，再由直角角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OB，即可得△BOE的周长.
16．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=　 　．
【答案】15°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：已知正方形ABCD可得∠BAD=90°，AB=AD，又由△ADE是正三角形，可得∴AE=AD，∠DAE=60°，所以△ABE是等腰三角形，∠BAE=90°+60°=150°，即可得∴∠ABE=∠AEB=15°．
故答案为15°.
17．如图，Rt△ABC，∠C=90°，∠ABC=60°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD使BE=BD；分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G.若BG=2，则△ABG的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由题意可知，BG平分∠ABC，
∴，
∵∠C=90°，BG=2，
∴，，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=90°-∠ABC=30°，
∴，
如图，过点G作GH⊥AB于点H，
∴GH=CG=1，
则△ABG的面积为
故答案为：.
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理求出CG，BC，AB的长，过点G作GH⊥AB于点H，再根据角平分线的性质可得GH=CG，然后利用三角形的面积公式即可得.
18．如图，菱形ABCD的周长为8，∠ABC=60°，P，Q分别是BC、BD上的动点，则CQ+PQ的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接AQ，作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠ABQ=∠CBQ，
在△ABQ与△CBQ中，
∴△ABQ≌△CBQ(SAS)
∴AQ=CQ
∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴4AB=8，解得：AB=2，
∵∠ABC=60°
∴∠ABH=90°-∠ABC=90°-60°=30°
∴，
∴
∴CQ+PQ的最小值为，
故答案为：.
【分析】先利用SAS证明△ABQ≌△CBQ，再根据全等三角形的性质得出AQ=CQ，当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，再根据菱形的周长求出AB，然后利用含有30度角的直角三角形的性质求出BH，再利用勾股定理求出AH的长即可.
三、解答题（第19题6分，第20、21、22、23、24题每题8分，第25、26题每题10分，共66分）
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC，
求证：四边形ABED是平行四边形．
【答案】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明．
20．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示.
（1）点A坐标　 　；点B到坐标原点的距离　 　.
（2）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；
（3）求△ABC的面积.
【答案】（1）；
（2）解：如图
（3）解：
【知识点】勾股定理；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(1)点A坐标为：(3，1)，点B坐标为：(5，3)，
故点B到x轴的距离为3，到y轴距离为5，
故点B到坐标原点的距离为，
故答案为：(3，1)，.
【分析】(1)根据平面直角坐标系即可得到点的坐标，再根据勾股定理求出点B到坐标原点的距离；
(2)根据关于y轴对称的点的坐标特征画出图形即可；
(3)利用网格进行计算即可.
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=10，BD=6，AC=17，求BC的长.
【答案】解：在中，于点，，，
∴在中，，
在中，，
∴
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】先在Rt△ABD中求出AD的长度，再在Rt△ADC中求出DC的长度，最后根据BC=BD+DC求出BC的长.
22．如图，在矩形ABCD中，AD=10cm，AB=8cm，将矩形ABCD沿直线AE折叠，使顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长.
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处
∴AF=AD=10，EF=DE，
∵在Rt△ABF中，
∴CF=BC-BF=10-6=4，
设CE=x，则DE=EF=8-x
∵在Rt△ECF中，CE2+FC2=EF2
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
即CE=3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC-BF=4，设CE=x，则DE=EF=8-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+42=(8-x)2，再解方程即可得到CE的长.
23．如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF.请从以下三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使为 ABCD菱形.
（1）你添加的条件是　 　（填序号）；
（2）添加了条件后，请证明 ABCD为菱形.
【答案】（1）①(或③)
（2）解：（选①的情况）
∵四边形是平行四边形
∴∠A=∠C
在和中，
∴≌（AAS），
∴，
∴ 是菱形
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)添加合适的条件能够证明 ABCD有一组邻边相等即可；
(2)添加①，证△DEA≌△DFC(AAS)，得AD=CD，再由菱形的判定即可得出结论.
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF.若AB=10，求BF的长.
【答案】解：在中，，，
∵为中线，
∴．
∵为中点，，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度，结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则.
25．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（0（1）用t的代数式表示：AE=　 　，DF=　 　.
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗 如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形 请说明理由.
【答案】（1）；
（2）解：四边形能够成为菱形，理由是：
由（1）得：，
，
，
四边形为平行四边形，
若为菱形，则，
，，
，
，，
当时，四边形能够成为菱形
（3）解：分三种情况：
当时，如图3，
则四边形为矩形，
，
，，
，
当时，如图4，
四边形为平行四边形，
，
，
在中，，，
，
，则，，
当不成立；
综上所述：当为或20时，为直角三角形
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：(1)由题意，得AE=2t cm，CD=4t cm
∵DF⊥BC，
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴ cm
故答案为：2t，2t.
【分析】(1)先由题意得到CD=4t cm，AE=2t cm，根据∠C=30°，即可求出DF=AE=2t cm；
(2)先证明AEFD为平行四边形，当AE=AD，平行四边形AEFD为菱形，由此建立方程求出t的值即可得到结论；
(3)当△DEF为直角三角形时，有三种情况：①当∠EDF=90°时，如图3，②当∠DEF=90°时，如图4，③当∠DFE=90°不成立；分别找一等量关系列方程可以求出t的值.
26．综合与实践——图形变换中的数学问题.
问题情境：
如图1，在Rt△ABC中，AB=5，∠ABC=90°，∠BAC=45°.将△ABC沿AC翻折后得到了△ADC，然后展平，两个三角形拼成四边形ABCD.
（1）求证：四边形ABCD是正方形.
（2）初步探究：
将△ABC从图1位置绕点B按逆时针方向旋转角度（得到△EBF，其中点A，C的对应点分别是点E，F，连接AE，FC并分别延长，交于点M.试猜想线段AM与FM的数量关系和位置关系，并说明理由.
（3）深入探究：
如图3，连接DE，当DE∥CM时，请直接写出CM的长.
【答案】（1）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠BCA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵△ABC沿AC翻折得到△ADC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AD＝AB，CD＝BC，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形
（2）解：AM⊥FM且AM＝FM
理由如下：
由旋转可知，△ABC≌△EBF，
∴AB＝BE，BC＝BF，AC＝EF，∠ABE＝∠CBF＝α，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF，
∵AB＝BC，
∴AB＝BE＝BC＝BF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∵∠BEF＝∠ACB＝45°，∠AEB＝∠BCF，
∴180°﹣（∠AEB+∠BEF）＝180°﹣（∠BCF+∠ACB），
∴∠FEM＝∠ACM，
在△ACM和△FEM中，
，
∴△ACM≌△FEM（AAS），
∴AM＝FM，∠MAC＝∠MFE，
∵∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠MAC＝45°﹣∠DAM，∠MCA＝45°+∠MCD，
∴∠DAM＝∠MCD，
∴∠MAC+∠ACM＝45°﹣∠DAM+45°+∠MCD＝90°，
∴∠M＝90°，
∴AM⊥FM
（3）解：
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】解：(3)取AC的中点G，连接EG，BG，
∵DE//CM
∴∠DEM=∠M=90°，
∵，AB=BE，
在△BAG和△BEG中，
∴△BAG≌△BEG(SSS)
∴∠BEG=∠BAG=90°，
∵∠EBA=α，
∴
∴
∴BG⊥AE
∵AB=5，
∴
∴
解得：
设CM=ME=x，
在Rt△ACM中，，
∵x>0，
∴，
故，
故答案为：.
【分析】(1)先证明△ABC是等腰三角形，再根据翻折的性质可证明四边形ABCD是菱形，进而可证明四边形ABCD是正方形；
(2)根据旋转性质得△ABC≌△EBF，进而可证明△ABE≌△CBF，△ACM≌△FEM，利用全等三角形性质可得AM⊥FM且AM=FM；
(3)取AC的中点G，连接EG，BG，先证明△BAG≌△BEG，利用全等三角形性质可证得BG⊥AE，利用面积法建立方程求出AE，再运用勾股定理即可求得CM.
1 / 1湖南省岳阳市第十中学2025年4月八年级下学期数学期中考试试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列图案中，只是中心对称图形的是 （　　）
A． B．
C． D．
2． 一个七边形的内角和等于 （　　）
A．540° B．900° C．980° D．1080°
3．已知∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，则∠A＝（　　）
A．60° B．36° C．56° D．46°
4．下列命题是真命题的是（　　）.
A．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相等且相互平分的四边形是矩形
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8，△ABD的面积是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
6．点P（2，-5）到x轴、y轴的距离分别为（　　）
A．2、5 B．2、-5 C．5、2 D．-5、2
7．已知A和B两点的坐标分别是（1，3）和（1，-3），则（　　）
A．点A和B关于x轴对称 B．点A和B关于y轴对称
C．点A和B关于原点对称 D．以上说法都不对
8．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是矩形，则四边形ABCD是（　　）
A．菱形 B．矩形
C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
9．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（　　）
A．28 B．14 C．10 D．7
10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，其中正确结论的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每题3分，共24分）
11．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是　 　.
12．如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是　 　．
13．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x＝　 　.
14．通过平移把点A(2，－1)移到点A'(2，2)，按同样的平移方式，点B(－3，1)移动到点B'，则点B'的坐标是　 　．
15．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点.若AB=6，BC=8，则△BOE的周长为　 　.
16．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=　 　．
17．如图，Rt△ABC，∠C=90°，∠ABC=60°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD使BE=BD；分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G.若BG=2，则△ABG的面积为　 　.
18．如图，菱形ABCD的周长为8，∠ABC=60°，P，Q分别是BC、BD上的动点，则CQ+PQ的最小值为　 　.
三、解答题（第19题6分，第20、21、22、23、24题每题8分，第25、26题每题10分，共66分）
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC，
求证：四边形ABED是平行四边形．
20．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示.
（1）点A坐标　 　；点B到坐标原点的距离　 　.
（2）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；
（3）求△ABC的面积.
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=10，BD=6，AC=17，求BC的长.
22．如图，在矩形ABCD中，AD=10cm，AB=8cm，将矩形ABCD沿直线AE折叠，使顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长.
23．如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF.请从以下三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使为 ABCD菱形.
（1）你添加的条件是　 　（填序号）；
（2）添加了条件后，请证明 ABCD为菱形.
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF.若AB=10，求BF的长.
25．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（0（1）用t的代数式表示：AE=　 　，DF=　 　.
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗 如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形 请说明理由.
26．综合与实践——图形变换中的数学问题.
问题情境：
如图1，在Rt△ABC中，AB=5，∠ABC=90°，∠BAC=45°.将△ABC沿AC翻折后得到了△ADC，然后展平，两个三角形拼成四边形ABCD.
（1）求证：四边形ABCD是正方形.
（2）初步探究：
将△ABC从图1位置绕点B按逆时针方向旋转角度（得到△EBF，其中点A，C的对应点分别是点E，F，连接AE，FC并分别延长，交于点M.试猜想线段AM与FM的数量关系和位置关系，并说明理由.
（3）深入探究：
如图3，连接DE，当DE∥CM时，请直接写出CM的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：只是轴对称图形，故A不符合题意；只是中心对称图形，故B符合题意；
既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C不符合题意；
既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形以及中心对称的定义，结合所给图形进行判断即可．
2．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：一个七边形的内角和为：(7-2)×180=5×180°=900°，
故答案为：B.
【分析】根据n边形内角和公式为(n-2)×180°，可以计算出七边形内角和的度数.
3．【答案】B
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形中，两锐角互余计算即可．
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
B. 对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故错误；
C. 四条边相等的四边形是菱形，故错误；
D. 对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确.
故答案为：D.
【分析】根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定即可解答
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°
∴DC⊥BC
∵BD平分∠ABC
∴DE=CD=3，
∴
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可求得DE的长，又由三角形面积的求解方法，即可求得答案.
6．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵|-5|=5，|2|=2
∴点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为2
故答案为：C.
【分析】求得-5的绝对值即为点P到x轴的距离，求得2的绝对值即为点P到y轴的距离.
7．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A和B两点的坐标分别是(1，3)和(1，-3)
∴A和B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点A和B关于x轴对称
故答案为：A.
【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH//BD，EF//AC
∴∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠1=90°
∴∠3=90°
∴AC⊥BD，
即原四边形ABCD的对角线互相垂直
故答案为：D.
【分析】先明确中点四边形的性质，利用三角形中位线定理得出中点四边形与原四边形对角线的关系，再根：据矩形的性质(有一个角为直角)推导原四边形对角线的关系.
9．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=BF=3，
同理EF=BC=BD=4，
∴四边形BDEF的周长 =BF+DE+EF+BD=3+3+4+4=14.
故答案为：B.
【分析】根据中位线定理分别求出DE、BF、EF和BD的长，然后求四边形BDEF的周长即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；正方形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°
∴∠BAE+∠DAF=30°
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，①正确；
∵∠BAE=∠DAF
∴∠DAF+∠DAF=30°
即∠DAF=15°，②正确；
∵BC=CD
∴BC-BE=CD-DF，CE=CF，
∵AE=AF
∴AC垂直平分EF，③正确；
设EC=x，由勾股定理，得，，，
∴
∴
∴
∴，④错误
∵
∴，⑤正确；
综上所述，正确的有4个，故选C.
故答案为：C.
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论.
11．【答案】5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
12．【答案】12
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形的对角线
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条，
∴，解得：n=12，
故答案为：12．
【分析】根据多边形的边数与对角线条数的关系，列出关于边数的方程求解.边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为．
13．【答案】10或2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：分两种情况进行讨论：
①两直角边分别为6，8，由勾股定理得 ，
②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得 ；
故答案为10或 .
【分析】根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答.
14．【答案】（-3，4）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵把点A（2，-1）移到点A’（2，2），
∴将点A向上平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标加3，
∵按同样的平移方式，点B(－3，1)移动到点B'，
∴点B’的坐标是（-3，4）.
故答案为：（-3，4）.
【分析】根据已知条件找到平移规律：横坐标不变，纵坐标加3，即可解题.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，
∴CD=AB=6，AD=BC=8，
∵点O是AC的中点，E为AD的中点，
∴，，
在Rt△ABE中，AE=4，AB=6，
根据勾股定理得，，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵点O是AC的中点，
∴
∴△BOE的周长为
故答案为：.
【分析】由点O是AC的中点，E为AD的中点可得，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE，再由直角角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OB，即可得△BOE的周长.
16．【答案】15°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：已知正方形ABCD可得∠BAD=90°，AB=AD，又由△ADE是正三角形，可得∴AE=AD，∠DAE=60°，所以△ABE是等腰三角形，∠BAE=90°+60°=150°，即可得∴∠ABE=∠AEB=15°．
故答案为15°.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由题意可知，BG平分∠ABC，
∴，
∵∠C=90°，BG=2，
∴，，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=90°-∠ABC=30°，
∴，
如图，过点G作GH⊥AB于点H，
∴GH=CG=1，
则△ABG的面积为
故答案为：.
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理求出CG，BC，AB的长，过点G作GH⊥AB于点H，再根据角平分线的性质可得GH=CG，然后利用三角形的面积公式即可得.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接AQ，作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠ABQ=∠CBQ，
在△ABQ与△CBQ中，
∴△ABQ≌△CBQ(SAS)
∴AQ=CQ
∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴4AB=8，解得：AB=2，
∵∠ABC=60°
∴∠ABH=90°-∠ABC=90°-60°=30°
∴，
∴
∴CQ+PQ的最小值为，
故答案为：.
【分析】先利用SAS证明△ABQ≌△CBQ，再根据全等三角形的性质得出AQ=CQ，当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，再根据菱形的周长求出AB，然后利用含有30度角的直角三角形的性质求出BH，再利用勾股定理求出AH的长即可.
19．【答案】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明．
20．【答案】（1）；
（2）解：如图
（3）解：
【知识点】勾股定理；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(1)点A坐标为：(3，1)，点B坐标为：(5，3)，
故点B到x轴的距离为3，到y轴距离为5，
故点B到坐标原点的距离为，
故答案为：(3，1)，.
【分析】(1)根据平面直角坐标系即可得到点的坐标，再根据勾股定理求出点B到坐标原点的距离；
(2)根据关于y轴对称的点的坐标特征画出图形即可；
(3)利用网格进行计算即可.
21．【答案】解：在中，于点，，，
∴在中，，
在中，，
∴
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】先在Rt△ABD中求出AD的长度，再在Rt△ADC中求出DC的长度，最后根据BC=BD+DC求出BC的长.
22．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处
∴AF=AD=10，EF=DE，
∵在Rt△ABF中，
∴CF=BC-BF=10-6=4，
设CE=x，则DE=EF=8-x
∵在Rt△ECF中，CE2+FC2=EF2
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
即CE=3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC-BF=4，设CE=x，则DE=EF=8-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+42=(8-x)2，再解方程即可得到CE的长.
23．【答案】（1）①(或③)
（2）解：（选①的情况）
∵四边形是平行四边形
∴∠A=∠C
在和中，
∴≌（AAS），
∴，
∴ 是菱形
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)添加合适的条件能够证明 ABCD有一组邻边相等即可；
(2)添加①，证△DEA≌△DFC(AAS)，得AD=CD，再由菱形的判定即可得出结论.
24．【答案】解：在中，，，
∵为中线，
∴．
∵为中点，，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度，结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则.
25．【答案】（1）；
（2）解：四边形能够成为菱形，理由是：
由（1）得：，
，
，
四边形为平行四边形，
若为菱形，则，
，，
，
，，
当时，四边形能够成为菱形
（3）解：分三种情况：
当时，如图3，
则四边形为矩形，
，
，，
，
当时，如图4，
四边形为平行四边形，
，
，
在中，，，
，
，则，，
当不成立；
综上所述：当为或20时，为直角三角形
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：(1)由题意，得AE=2t cm，CD=4t cm
∵DF⊥BC，
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴ cm
故答案为：2t，2t.
【分析】(1)先由题意得到CD=4t cm，AE=2t cm，根据∠C=30°，即可求出DF=AE=2t cm；
(2)先证明AEFD为平行四边形，当AE=AD，平行四边形AEFD为菱形，由此建立方程求出t的值即可得到结论；
(3)当△DEF为直角三角形时，有三种情况：①当∠EDF=90°时，如图3，②当∠DEF=90°时，如图4，③当∠DFE=90°不成立；分别找一等量关系列方程可以求出t的值.
26．【答案】（1）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠BCA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵△ABC沿AC翻折得到△ADC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AD＝AB，CD＝BC，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形
（2）解：AM⊥FM且AM＝FM
理由如下：
由旋转可知，△ABC≌△EBF，
∴AB＝BE，BC＝BF，AC＝EF，∠ABE＝∠CBF＝α，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF，
∵AB＝BC，
∴AB＝BE＝BC＝BF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∵∠BEF＝∠ACB＝45°，∠AEB＝∠BCF，
∴180°﹣（∠AEB+∠BEF）＝180°﹣（∠BCF+∠ACB），
∴∠FEM＝∠ACM，
在△ACM和△FEM中，
，
∴△ACM≌△FEM（AAS），
∴AM＝FM，∠MAC＝∠MFE，
∵∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠MAC＝45°﹣∠DAM，∠MCA＝45°+∠MCD，
∴∠DAM＝∠MCD，
∴∠MAC+∠ACM＝45°﹣∠DAM+45°+∠MCD＝90°，
∴∠M＝90°，
∴AM⊥FM
（3）解：
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】解：(3)取AC的中点G，连接EG，BG，
∵DE//CM
∴∠DEM=∠M=90°，
∵，AB=BE，
在△BAG和△BEG中，
∴△BAG≌△BEG(SSS)
∴∠BEG=∠BAG=90°，
∵∠EBA=α，
∴
∴
∴BG⊥AE
∵AB=5，
∴
∴
解得：
设CM=ME=x，
在Rt△ACM中，，
∵x>0，
∴，
故，
故答案为：.
【分析】(1)先证明△ABC是等腰三角形，再根据翻折的性质可证明四边形ABCD是菱形，进而可证明四边形ABCD是正方形；
(2)根据旋转性质得△ABC≌△EBF，进而可证明△ABE≌△CBF，△ACM≌△FEM，利用全等三角形性质可得AM⊥FM且AM=FM；
(3)取AC的中点G，连接EG，BG，先证明△BAG≌△BEG，利用全等三角形性质可证得BG⊥AE，利用面积法建立方程求出AE，再运用勾股定理即可求得CM.
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