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21.2.3《 三角形的中位线》同步练习
一、单选题
1．在 ABC中，、分别是、的中点．若，则的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，点，，分别是 ABC各边上的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
3．三角形的周长为，则它的三条中位线组成的三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接和交于点N，连接若，则的长为（ ）

A．2 B． C．4 D．
5．如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
6．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）

A． B．3 C． D．
二、填空题
7．如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为______．
8．如图，在 ABC中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是______．
9．如图，在 ABC中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______．
10．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为______．
11．如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则______．
12．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________．

三、解答题
13．如图， ABC的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求证：是矩形．
14．如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题：
命题1：若连接交于点，则．
命题2：若连接，则．
命题3：若连接，则．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
15．已知：如图：在 ABC中，，分别为边，的中点，．求证：
(1)；
(2)．
16．如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；
②求证：．
参考答案
一、单选题
1．D
解：根据题意，如图所示，
∵D、E分别为的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴．
故选：D．
2．C
∵点，，分别是 ABC各边上的中点，
∴，是 ABC的中位线
∴，
∴
∵
∴．
故选：C．
3．B
解：如图，
∵ ABC中，D、E、F分别为的中点，
∴，
∵ ABC的周长是，即，
∴的周长是，
故选B．
4.A
解：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
5．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴，即为中点，
∵是的中点，
∴是中位线，
∴，
∵，点P是的中点，
∴，即，
故选：．
6．C
解：四边形是矩形，
，，
点M，N分别是的中点，
，，，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，

则，
当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为，
在中，，，
，
的最小值，
故选C．
二、填空题
7．24
解：∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
8．
解：由作图方法可得垂直平分，
∴点D为的中点，
又∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
9．6
】解：∵在 ABC中，点，分别是边，的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：6．
10．
解：∵，分别为，的中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
11．4
解：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点F为的中点，
∴；
故答案为：4．
12．
解：设的交点为，的中点分别是，连接，
∵AC,BD互相垂直，
和为直角三角形，且分别为斜边，
，
，
当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，
当点在线段上时，最小，最小值为线段的长，
分别为的中点，
是 ABC的中位线，
，
同理，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
在中，，
，
的最小值为，
的最小值为．

故答案为：．
三、解答题
13．（1）证明：∵ ABC的中线，交于点O，
∴，，
∵点F，G分别是，的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵G是中点，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是矩形．
14．解：命题1：若连接交于点，则．
命题1是真命题，证明如下：
连接，交于，如图所示：
是斜边上的中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
∵DA=DC，
四边形是菱形，
，且，，
为的中点，
是 ABC的中位线，则，
，则；
命题2：若连接，则．
命题2是真命题，证明如下：
连接，交于，如图所示：
是斜边上的中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
∵DA=DC，
四边形是菱形，
；
命题3：若连接，则．
命题3是真命题，证明如下：
连接，交于，如图所示：
是斜边上的中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
15．（1）证明：∵，分别为边，的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
16．（1）证明：在和中，
，，，
，
，．
是斜边的中点，
，
，
，
．
，
，
．
；
（2）解：①；
理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．
，，，
，
，，
，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，，，
，
．
是中点，是中点，
是中位线，
．
，
，
．
，
．
故答案为：；
②证明： ∵，
，
，
．

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