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21.3.1《矩形》同步练习
一、单选题
1．如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．平分 B． C． D．
2．如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
3．如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ）
A． B．4 C． D．
5．如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的长为（ ）

A． B．3 C． D．
6．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线交，于两点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．在中，，斜边上的中线长为__________．
8．如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为__________．

9．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．

10．将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________．
11．如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于_________．

12．如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为D/，连接．若，则______．
三、解答题
13.如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
14.如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．
15.如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．

(1)你添加的条件是_________（填序号）；
(2)添加条件后，请证明为矩形．
16.如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：
①，②．

(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
(2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
17.【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，．

请完成：
(1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系；
(2)证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．

请完成：
(3)证明是的一条三等分线．
参考答案
一、单选题
1．C
解：由矩形的对角线相交于点，
根据矩形的对角线相等，
可得．
故选：C．
2．C
解：∵矩形中，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
在中，，
故选：C.
3．C
解：∵矩形，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
4．D
解：作于点，如图，
∵矩形，
∴四边形是矩形，
∴，
由题意得，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：D．
5．A
解：由题意，连接，记与交于点．
线段垂直平分，
，．
四边形是矩形，
．
．
又，
．
．
在中，
．
在中可得，．
故选：A．
6．A
∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题
7．5
解：∵在中，，
∴，
∴斜边上的中线长为，
故答案为：5．
8．
解：在矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点F是AE的中点，
∴．
故答案为：．
9．
解：，
是等腰直角三角形，
作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：
．
，即，
此时、、三点共线且，点在的中点处，
，
．
故答案为：．
10．
解：在中，，
由折叠可得，，
又∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
设，则，
在中，，即，
解得：，
故答案为．
11．
解：如图，连接，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱，，点M为的中点，

当在右侧处时，
∴，，
∴，
当在下方时，由等边三角形的性质可得：，
此时，
如图，当按下图方式展开时，延长，过作于，作于，作于，则，四边形为矩形，
∴，，

则，
∴，
∵，，
∴，，，，
∴此时重合，
∴，，
∴，
∵，
∴小虫爬行的最短路程等于．
故答案为：．
12．
解：如图：连接，延长交的延长线于H，
∵矩形中，为边的中点，，
∴，，
∵将沿翻折，点的对应点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为直角三角形，
设，则，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
13.（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，又，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积，
∴，
∴．
14.证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
15.（1）解：①或②
（2）添加条件①，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中
，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为矩形；
添加条件②，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中
，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为矩形
16.（1）选择①，
证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
选择②，
证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∴矩形的面积为．
17.（1）解：由题意可知；
（2）证明：由折叠的性质可得：，，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：连接，如图所示：
由折叠的性质可知：，，，
∵折痕，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的一条三等分线．

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