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21.3.2《菱形》同步练习
一、单选题
1．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
2．如图，四边形是平行四边形，给出下列四个条件：①；②；③；④平分．若添加其中一个条件，不能使四边形是菱形的为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接、、．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ）
A．9 B． C． D．
5．如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）

A．1 B． C． D．3
二、填空题
7．如图，在菱形中，，则菱形的周长为___________．
8．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形．
9．如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则_______．
10．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边的中点，过点E作于点于点G，若，则的长为______．
11．如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______．
12．如图，在菱形中，，对角线，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是________．
三、解答题
13．如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
14．如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)已知，，求线段的长．
15．如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长．
16．四边形的对角线，相交于点O，，，．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）．
参考答案
一、单选题
1．B
解：如图，
∵四边形是菱形，
∴， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
2．B
解：A、添加，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以得出四边形是菱形，不符合题意；
B、添加，不能得出四边形是菱形，故符合题意；
C、添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得出四边形是菱形，不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴添加平分，可以得出四边形是菱形，故不符合题意；
故选：B．
3．D
解：根据作图可得
∴四边形是菱形，则，
又∵，
∴
故选：D．
4．C
解：∵四边形为菱形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
设，则在中，
∴
∵，
即，
∴，
即．
∴，
∴菱形的面积为，
故选：C
5．D
解：由折叠的性质可知，，，
在菱形中，，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
6．A
解：∵，，
∴是矩形，
∴，
∵，，
∴四边形是菱形，
如图，连接，，而点G是的中点，

∴为菱形对角线的交点，，
∴当时，最小，
∵即矩形的面积为12，，
∴，，
∴，
∴，
由菱形的性质可得：，
∴，
∴，即的最小值为1．
故选A
二、填空题
7．8
解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为，
故答案为：8．
8．(或，答案不唯一）
解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：；
根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：；
故答案为：(或，答案不唯一）．
9．
如图，作交于I，
∵菱形，
∴，即，
由作图可知平分，
∴，
∴，
故答案为：．
10．5
解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，对角线相交于点O，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵E是边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
11．10
解：连接，
∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4，
∴，，
设菱形中边上的高为h，
则，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
12．
解：如图，连接，
作点P关于直线的对称点，则，点是的中点，
∴．
根据两点之间线段最短，可知的最小值为，
∵四边形是菱形，
∴，
根据勾股定理，得，
∴．
∵点是的中点，
∴，．
在中，．
所以的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
13．解：如图，点E，F即为所求．
理由：设交于点O，
根据作法得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
14．（1）证明：∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：∵，
根据（1）可得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
15.（1）证明：∵点B，点D关于所在直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴ AOB≌ COD（AAS），
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O，
∴点A和点C关于所在直线对称，
∴；
∵，，
∴，
∴ ABC，是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，与线段相等的线段有，，，．

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