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第23章《一次函数》章节复习题
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．一次函数中，若，且y随着x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．小明在学习画一次函数的图象时，列表如下：
… 0 1 2 …
… 3 2 …
小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
5．已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点
6．已知过点的直线不经过第四象限，，则w的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期．现在已知一个周期为2的周期函数在时的解析式为，则（ ）
A．2024 B．4048 C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据：
通电时间 0 1 2 3 4 …
水温 20 30 40 50 60 …
则下列说法正确的是（）
A．加热到用时
B．与之间的函数表达式为
C．加热过程中，水温高于的时间为
D．小林在8：06可以接到不低于的水
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．把正比例函数的图象向右平移1个单位长度得到直线___________．
12．已知，是直线上的相异两点，若，则的取值范围是____________．
13．已知，为直线上的两个点，且，则（填“＜”或“＞”）
14．直线与x轴、y轴分别相交于点A、D，直线与x轴、y轴分别相交于点B、E，两直线交点为C，．若D、E两点之间的距离为2，则m的值为______________．
15．如图，若一次函数和的图像相交于点，则不等式的解集为______．
16．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为___________元．
17．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得 ABC是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______．
18．如图，已知等腰直角 ABC的顶点分别在轴上，，点的坐标是，的坐标是，则直线的函数关系式为_____．
三 、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知函数，若函数是由函数向上平移3个单位长度得到．
(1)求m，n 的值；
(2)判断点是否在该函数图象上？
20．（8分）已知一次函数的图象经过点和．
(1)求该一次函数的表达式．
(2)若，是该一次函数图象上的两点，时，求函数值的取值范围．
21．（10分）按照下列条件求的取值范围：
(1)正比例函数的图象经过一、三象限；
(2)正比例函数中，随的增大而增大；
(3)已知的图象经过一、三象限．
22．（10分）如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C．
(1)求直线的函数解析式：
(2)求的面积：
(3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
23．（10分）为响应国家“绿色发展”号召，推进黄河流域生态保护与高质量发展，我市计划对某段河道进行综合治理．现拟由甲、乙两个工程队共同完成该项目的污水处理任务．经测算，该段河道需要处理的污水是600立方米，甲队每天能处理的污水量是乙队的倍，且甲队单独完成这项任务比乙队单独完成少用10天．
(1)求甲、乙两队每天分别能处理污水多少立方米？
(2)已知甲队施工的费用为1000元/天，乙队施工的费用为700元/天，现要求两队合作完成该任务，且甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数．请设计一种施工方案，使得总费用最低，并求出最低总费用．
24．（12分）综合与探究
在平面直角坐标系中，为坐标原点， ABC为等腰直角三角形，，，、两点的坐标分别为、、点在轴左侧，将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点，连接，．
(1)_________，_________；
(2)如图1，当点在轴正半轴时，连接，若，请求出的值；
(3)如图2，当点在轴负半轴时，连接交轴于点，若，则点的坐标为_________；
(4)若，点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
参考答案
一、选择题
1．A
解：∵一次函数中，随的增大而减小，
∴，
∵，
∴，
∴一次函数的图象过二、三、四象限，A选项符合题意．
故选：A．
2．B
解：∵一次函数的图象经过第一、三象限，
∴．
∵图象还经过第四象限，
∴．
即，．
3．A
解：由表格数据，后三对数据中，的值每增加1，函数值减小4，
∴当时，，
故算错的函数值为3．
故选：A．
4．C
解：函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，且，，
设，，
根据题意，得，
，
解得，
．
5．D
解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意．
故选：D．
6．B
解：∵ 直线过点，
∴ 将点代入直线方程得 ，整理得 ，
∵ 直线不经过第四象限，可得 ，，
将代入，得 ，解得 ，
因此的取值范围为 ，
∵ ，将代入得：
，
∵ ，
∴ 随的增大而减小，
∴ 当取最大值时，取得最小值，代入得：
，
即的最小值为．
7．B
解：根据题意得，直线与直线关于直线对称，
在延长线上取点，使得点与点关于直线对称，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴点C的坐标为．
8．A
解：∵在时，函数的解析式为，
∴当时，则，当时，则，当时，则，
∵该函数的周期为2，
∴对于任意整数x，恒成立，
∴，，
，
，
∵到2024一共有4049个数，
∴；
故选A．
9．C
解：①、随的增大而增大，故选项①正确；
②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确；
③．由图象可知：当时，，故选项③错误；
④．由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；故选项④正确；
故正确的有①②④共三个，
故选：C．
10．D
解：由表格数据可知，通电时间x每增加，水温增加，因此是的一次函数．
设，
∵当时，；当时，，
∴，解得，
∴
当时，，解得，
∵加热到，养生壶自动停止加热，
∴，
∴与的函数表达式为．
对各选项逐一判断：
A选项：当时，，解得，即用时，故本选项错误；
B选项：函数表达式为，不是，故本选项错误；
C选项：当时，，解得，
∵，
∴水温高于的时间为，故本选项错误；
D选项：∵8∶00接通电源，8∶06接水，
∴通电时间为，
当时，，
∵
∴小林在8：06可以接到不低于的水，故本选项正确．
二、填空题
11．
解：原正比例函数解析式为，平移后得，整理得 ．
12．
解：首先整理直线解析式：，
∵，是直线上的相异两点，
∵，
∴当时，，当时，，
即随的增大而增大，
根据一次函数的性质，一次项系数大于，可得，
解得．
13．
解：∵直线是一次函数，其中一次项系数，
根据一次函数的性质：当一次函数的一次项系数时，随的增大而增大，
∵，
∴．
14．4或
解：∵直线与x轴、y轴分别相交于点A、D，
∴当时，，当时，，则，
∴，，
∵直线与x轴、y轴分别相交于点B、E，
∴当时，，当时，，则，
∴，，
∵，，，，
∴，，
当时，即，
解得；
当时，即，
解得；
综上所述，m的值为4或．
15．
解：对于，当时，，
由函数图象可知，不等式的解集为．
16．1125
当时，设函数解析式为，
把点代入可得：，
解得：，
；
当时，设函数解析式为，
把点和点代入可得：，
解得：，
，
与的函数关系式为，
当时，．
17．或或
解：当时，，
解得：，
点A的坐标为，
；
当时，，
点B的坐标为，
，
当为腰时，，
点C的坐标为或；
当为腰时，，
点C的坐标为
综上所述，点C的坐标为或或
故答案为：或或
18.
解：如图，过点A作轴于点D，
则，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点的坐标是，的坐标是，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为．
三、解答题
19．（1）解：∵函数是由直线向上平移3个单位长度得到，
∴，
解得 ；
（2）解：由（1）得函数的表达式为，
∴当时，，
∴点在该函数图象上．
20．（1）解：一次函数的图象经过点和，
，解得，
；
（2）解：当时，，
当时，，
，
，
，
即．
21．（1）解：由正比例函数的图象经过第一、三象限，
可得：，则；
（2）解：∵正比例函数中，随的增大而增大，
∴，解得．
（3）解：由正比例函数的图象经过一、三象限，
可得：，且，
解得：．
22．（1）解：设直线的函数解析式为，
将、代入，得，
解得：，
直线的函数解析式为；
（2）解：联立两直线解析式组成方程组，
解得：，
点C的坐标为，
当时，，
点D的坐标为，
；
（3）解：存在．
当点P在x轴上方时，
，
，
，
，
，
，
点P的坐标为；
当点P在x轴下方时，
，
，
，
，
，
，
，
此时点P的坐标为；
综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍．
23．（1）解：设乙队每天能处理污水立方米，则甲队每天能处理污水立方米，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队每天能处理污水30立方米，乙队每天能处理污水20立方米；
（2）解：设甲队施工a天，总费用为W元，
由题意得，
，
∵甲队的施工天数不得高于乙队的施工天数，
∴，
∴，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，W有最小值，最小值为，
此时，
答：当甲队施工12天，乙队施工12天时总费用最低，最低总费用为20400元．
24．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3，1．
（2）解：∵，、将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点，
∴，，
∵ ABC为等腰直角三角形，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在轴正半轴，
∴．
（3）解：根据题意得，，轴，
∴，，
过点C作轴交轴于点H，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得：，
∴直线解析式为，
令，则，
解得：，
∴．
（4）解：当时，
∵点在轴上，
∴或；
当时，
根据图1和图2可得，
则，
∴，
综上，点的坐标为或或．

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