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21.3.3 《正方形》同步练习
一、单选题
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等
2．如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（ ）

A． B． C． D．
3．如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（　　）

A． B． C．2 D．
5．如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ）

A．2 B． C．1 D．
二、填空题（6题）
7．在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是__________．
8．如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则___________．
9．如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是______．
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______．
11．如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______．
12．如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________．
三、解答题
13.如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围．
14.如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形．
（1）判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由．
（2）若线段与正方形的边的夹角为，求的度数．
15.【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数．
16.如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
17.如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接．
（1）求证： ADE≌ CBF．
（2）若四边形的周长为，求的长．
18.宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
（1）求的长；
（2）求证：四边形是黄金矩形；
（3）如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．D
解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；
C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意；
故选：D．
2．C
解：如图，连接、，相交于点，

点分别是边的中点，
，，
，同理，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形， ，，
对角线互相垂直，
，
，
，，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
，
，，
四边形的周长为．
故选：C．
3．C
解：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
故选：C．
4．B
解：连接，，

∵点E，F分别是，的中点，
∴四边形是矩形，
∴M是的中点，
在正方形中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
在中，M是的中点，N是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
5．C
解：四边形是边长为6的正方形，
，
在和 CDM中，，
，
，
，
，
，
又，
，
设，则，，
，
解得，
，，
，
故选：C．
6．D
解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
在与,
，
，
，
，
O为对角线的中点，
，
故选：D．
二、填空题
7．（答案不唯一）
解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：；
故添加的条件为：或．
8．15
解：连接，
由作图方法可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：15．
9．
解：连接交于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴点B与点D关于直线对称，
∴，
∴，
∴当P与重合时，的值最小，最小值为的长．
∵正方形的边长为4，
∴，．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值．
故答案为：．
10．
解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵将 ADE沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴点E的坐标为，
故答案为：
11．
解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，垂足为F，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
解：∵正方形的边长为1，
∴，，
将顺时针旋转得到，则，
∴，，，，
∴点P、B、M、C共线，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
∴
，
当且仅当，即，也即时，取最小值，
故答案为：．
三、解答题
13.解：（1）证明：∵四边形是正方形，为其对角线，
∴，平分．
又∵，
∴，．
∴四边形是正方形．
（2）解：如图，作于点F．
∵四边形是边长为1的正方形，
∴．
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴， ．
∵，
∴，
又∵，，
∴四边形为矩形，
∴，．
∴，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
由（1）知四边形是正方形，
∴
∴，
即
整理得，
其中自变量x的取值范围为．
14.（1）解：矩形是正方形，理由如下：
过E作于M点，过E作于N点，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形为矩形，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形为正方形；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知，得，
∴．
15.（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
16.（1）证明：∵四边形是正方形
∴，，
由折叠可得，，
∴，，
∴在和中
∴；
（2）解：∵，点E是的中点，
∴，
由折叠得到，
∵ ，
∴
设，则，
∵在中，，
∴
解得
∴．
17.（1）证明：四边形为正方形
，
在 ADE和 CBF中，
，
；
（2）解：连接交于点O，
四边形为正方形，，
垂直平分，，
，，
由（1）知 ADE≌ CBF，
，
四边形的周长为，
在中，
，
；
答：的长为6．
18.（1）解：∵，矩形是黄金矩形，
∴，
∴；
（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
（3）解：四边形是黄金矩形，证明如下：
∵，四边形是正方形，
∴∠B=∠BFE=∠PQF=90 ，
∴四边形是矩形；
由（2）可知，，
∵为的中点，
∴，
∴，
如图，连接，由对折可得：，，，
设，则，
∵
∴×1×（2-x）+ ×2x+× x= ×（1+2）×2，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．

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