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浙江省台州市路桥区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．2x﹣5＝x2 B．
C．x2+2y＝1 D．3x2﹣2x＝3x2
2．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）某文具店统计一周内畅销中性笔的型号及销量如表，该组数据的众数为（　　）
型号 0.35mm 0.38mm 0.5mm 0.7mm 1.0mm
销量（支） 30 45 53 42 17
A．0.38 B．0.5 C．0.7 D．1.0
4．（3分）估计的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
5．（3分）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如图，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（　　）
A．男生训练达标次数的平均数高于女生
B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等
C．男、女生训练达标次数的中位数均为4
D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定
6．（3分）我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形ABCD为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为9，则图中线段AE的长为（　　）
A．3 B．5 C．2 D．4
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞2 B．k＜2 C．k≤2且k≠1 D．k＜2且k≠1
8．（3分）已知一组数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，方差是3，则另一组数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数和方差分别为（　　）
A．11和12 B．8和12 C．11和3 D．8和3
9．（3分）数学兴趣小组对圆周率π小数点后90位数字进行统计，结果如表，该组数据的上四分位数、下四分位数依次为：
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13
则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数为（　　）
A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2
10．（3分）关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2﹣4＝0与3（x﹣3）2﹣4＝0就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最大值是（　　）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
二、填空题（每小题3分共18分）
11．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　 ．
12．（3分）某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是　 　 ．
13．（3分）按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数x为81时，最终输出的数是　 　 ．
14．（3分）某手工制作的等腰直角三角形纸板，其斜边上的中线长为一元二次方程x2﹣5x+6＝0的正根，且中线长大于2，则该纸板的直角边长为　 　 ．
15．（3分）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为　 　 米．
16．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的是　 　 ．
①若4a+2b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax+c＝0必有两个不相等的实数根；
③若2026是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定是cx2+bx+a＝0的一个根；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
三、解答题（8大题，共72分）
17．（6分）解一元二次方程：3（x+4）2＝x（x+4）．
18．（6分）计算：．
19．（8分）学校开展“校园体育打卡”活动，学生需完成三项打卡：跳绳、仰卧起坐、立定跳远，三项成绩均为百分制，综合评分达到86分及以上可获得“体育打卡小能手”称号．现有两名同学小泽和小航的部分打卡成绩如表：
姓名 跳绳 仰卧起坐 立定跳远
小泽 93 84 81
小航 83 91 x
（1）若综合评分是三项成绩的算术平均数，计算小泽的综合评分，并判断他是否能获得“体育打卡小能手”称号；
（2）若将跳绳、仰卧起坐、立定跳远的成绩按2：3：5的权重计算综合评分，小航想要获得该称号，求他的立定跳远成绩x至少需要多少分（成绩为整数）．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且，求m的值．
21．（10分）为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图．
七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100；
八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96．
整理得到如下积分统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 81.5 m 65
八年级 85.2 n P
（1）求统计表中m，n，p的值；
（2）补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定．
22．（10分）如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，且点C为线段BD的中点．
（1）若∠D＝30°，则∠BAD的度数为　 　 ；
（2）求证：∠BAD＝2∠CAD；
（3）已知，，求线段AB的长度．
23．（12分）根据以下素材，完成任务．
素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势．
素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0.2元，且单件售价不低于24元．
问题解决
任务一 求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率；
任务二 若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价．
24．（12分）小鹏在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值时，他是这样分析与解决的：
，
∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：；
（2）若，
①求3a2﹣12a+1的值；
②求2a3﹣10a2+6a+3的值．
浙江省台州市路桥区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（　A　）
A．2x﹣5＝x2 B．
C．x2+2y＝1 D．3x2﹣2x＝3x2
2．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（C　　）
A． B． C． D．
3．（3分）某文具店统计一周内畅销中性笔的型号及销量如表，该组数据的众数为（　B　）
型号 0.35mm 0.38mm 0.5mm 0.7mm 1.0mm
销量（支） 30 45 53 42 17
A．0.38 B．0.5 C．0.7 D．1.0
4．（3分）估计的值应在（　A　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
5．（3分）校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如图，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（　D　）
A．男生训练达标次数的平均数高于女生
B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等
C．男、女生训练达标次数的中位数均为4
D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定
6．（3分）我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形ABCD为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为9，则图中线段AE的长为（　B　）
A．3 B．5 C．2 D．4
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　C　）
A．k＞2 B．k＜2 C．k≤2且k≠1 D．k＜2且k≠1
8．（3分）已知一组数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，方差是3，则另一组数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数和方差分别为（A　　）
A．11和12 B．8和12 C．11和3 D．8和3
9．（3分）数学兴趣小组对圆周率π小数点后90位数字进行统计，结果如表，该组数据的上四分位数、下四分位数依次为：
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13
则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数为（　D　）
A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2
10．（3分）关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2﹣4＝0与3（x﹣3）2﹣4＝0就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最大值是（　　D）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
二、填空题（每小题3分共18分）
11．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x　 ．
12．（3分）某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是　16　 ．
13．（3分）按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数x为81时，最终输出的数是　　 ．
14．（3分）某手工制作的等腰直角三角形纸板，其斜边上的中线长为一元二次方程x2﹣5x+6＝0的正根，且中线长大于2，则该纸板的直角边长为　　 ．
15．（3分）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为　1　 米．
16．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的是　①④　 ．
①若4a+2b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax+c＝0必有两个不相等的实数根；
③若2026是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定是cx2+bx+a＝0的一个根；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
三、解答题（8大题，共72分）
17．（6分）解一元二次方程：3（x+4）2＝x（x+4）．
【解答】解：3（x+4）2＝x（x+4），
3（x+4）2﹣x（x+4）＝0，
（x+4）（3x+12﹣x）＝0，
x+4＝0或3x+12﹣x＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝﹣6．
18．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝1（5﹣4）
＝11
．
19．（8分）学校开展“校园体育打卡”活动，学生需完成三项打卡：跳绳、仰卧起坐、立定跳远，三项成绩均为百分制，综合评分达到86分及以上可获得“体育打卡小能手”称号．现有两名同学小泽和小航的部分打卡成绩如表：
姓名 跳绳 仰卧起坐 立定跳远
小泽 93 84 81
小航 83 91 x
（1）若综合评分是三项成绩的算术平均数，计算小泽的综合评分，并判断他是否能获得“体育打卡小能手”称号；
（2）若将跳绳、仰卧起坐、立定跳远的成绩按2：3：5的权重计算综合评分，小航想要获得该称号，求他的立定跳远成绩x至少需要多少分（成绩为整数）．
【解答】解：（1）86（分），
∴小泽能获得“体育打卡小能手”称号；
（2）设小航立定跳远成绩为x分，
根据题意，得86，
解得x≥84.2，
∵x为整数，
∴小航想要获得该称号，求他的立定跳远成绩x至少需要85分．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且，求m的值．
【解答】（1）证明：由题意知，Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意知，x1+x2＝（2m+1），x1 x2＝m2+m，
∴xx（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴（2m+1）2﹣2（m2+m）＝5，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣2．
∴m的值为1或﹣2．
21．（10分）为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图．
七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100；
八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96．
整理得到如下积分统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 81.5 m 65
八年级 85.2 n P
（1）求统计表中m，n，p的值；
（2）补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定．
【解答】解：（1）七年级积分排序：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100，
∴中位数m86.5，
八年级积分排序：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96，
∴中位数n89，众数p＝91；
（2）七年级上四分位数m75为93.5，下四分位数m25为70，中位数为86.5，
补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图如下：
∴从而箱线图可得抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定．
22．（10分）如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，且点C为线段BD的中点．
（1）若∠D＝30°，则∠BAD的度数为　120°　 ；
（2）求证：∠BAD＝2∠CAD；
（3）已知，，求线段AB的长度．
【解答】（1）解：∵AC⊥BD于点C，点C为线段BD的中点，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
故答案为：120°；
（2）证明：∵AC⊥BD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAD＝2∠CAD；
（3）解：在Rt△ACD中，AC，CD，
由勾股定理得：AD2，
则AB＝AD＝2．
23．（12分）根据以下素材，完成任务．
素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势．
素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0.2元，且单件售价不低于24元．
问题解决
任务一 求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率；
任务二 若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价．
【解答】解：（任务一）设该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：40（1+x）2＝90，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去）．
答：该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为50%；
（任务二）∵（25﹣10）×60＝900（元），900＜910，
∴该顾客此次购买的徽章数量超过60枚．
设该顾客此次购买的徽章数量为y枚，则单件销售价为25﹣0.2（y﹣60）＝（37﹣0.2y）元，
根据题意得：（37﹣0.2y﹣10）y＝910，
整理得：y2﹣135y+4550＝0，
解得：y1＝65，y2＝70，
当y＝65时，37﹣0.2y＝37﹣0.2×65＝24（元）；
当y＝70时，37﹣0.2y＝37﹣0.2×70＝23＜24，不符合题意，舍去．
答：该顾客此次购买的徽章数量为65枚，单件销售价为24元．
24．（12分）小鹏在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值时，他是这样分析与解决的：
，
∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：；
（2）若，
①求3a2﹣12a+1的值；
②求2a3﹣10a2+6a+3的值．
【解答】解：（1）
1
1；
（2）①∵a2，
∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝5，
∴a2﹣4a＝1，
∴3a2﹣12a+1＝3（a2﹣4a）+1＝3×1+1＝4；
②由①知，a2﹣4a＝1，
∴2a3﹣10a2+6a+3
＝2a（a2﹣4a）﹣2（a2﹣4a）﹣2a+3
＝2a×1﹣2×1﹣2a+3
＝2a﹣2﹣2a+3
＝1．

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