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小专题8　电磁感应中的“单杆”、“双杆”模型及动量问题
课时作业(十六)　电磁感应中的“单杆”、“双杆”模型及动量问题
(分值:65分)
(选择题每题6分)
知识点一　电磁感应中的“单杆”模型问题
1.如图所示,ABCD是固定的水平放置的足够长的U形导轨,整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中,在导轨上架着一根金属棒ef,在极短时间内给棒ef一个水平向右的速度,ef棒开始运动,最后又静止在导轨上,则ef在运动过程中,就导轨是光滑和粗糙两种情况相比较(　　)
[A] 整个回路产生的总热量相等
[B]安培力对ef棒做的功相等
[C]安培力对ef棒的冲量相等
[D]电流通过整个回路所做的功相等
【答案】 A
【解析】 由能量守恒定律可知,ef棒具有的动能将全部转化为内能,无摩擦时,将全部转化为电热(即克服安培力做的功);有摩擦时,将一部分转化为电热,另一部分用于克服摩擦力做功,A正确.电流通过整个回路所做的功等于克服安培力做的功,也等于产生的电热,B、D错误.由动量定理可知,合力的冲量等于物体动量的变化量,由于两次动量变化相同,则合力的冲量相等,无摩擦时安培力的冲量较大, C错误.故选A.
2.(多选)列车进站时如图所示,其刹车原理可简化如下:在车身下方固定一水平矩形线框,利用线框进入磁场时所受的安培力辅助列车刹车.已知列车的质量为m,车身长为s,线框的ab和cd长度均为L(L小于匀强磁场的宽度),线框的总电阻为R.站台轨道上匀强磁场区域足够长,磁感应强度的大小为B,方向竖直向上.车头进入磁场瞬间的速度大小为v0,列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f.车尾进入磁场的瞬间,列车恰好停止.下列说法正确的有(　　)
[A] 列车进站过程中的电流方向为abcd
[B]列车ab边进入磁场的瞬间,加速度大小a=
[C]列车从进站到停下来的过程中,线框产生的热量为m
[D]从车头进入磁场到停止所用的时间为
【答案】 ABD
【解析】 根据楞次定律结合安培定则可知,线框中电流的方向为顺时针(俯视),即列车进站过程中电流方向为abcd,A正确;列车车头进入磁场的瞬间产生的感应电动势的大小E=BLv0,则回路中产生的瞬时感应电流的大小I=,可得车头进入磁场瞬间所受安培力的大小F=BIL,则由牛顿第二定律有F+f=ma,联立解得a=,B正确;在列车从进入磁场到停止的过程中,克服安培力所做的功在数值上等于线框产生的热量,则由能量守恒定律有m=fs+Q,解得Q=m-fs,C错误;根据动量定理有-BL·t-f·t=0-mv0,而根据法拉第电磁感应定律有==B=,可得==,联立以上各式解得t=,D正确.
3.(10分)在水平面上有两根足够长的平行轨道PQ和MN,左端接有阻值为R的定值电阻,其间有垂直轨道平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场,两轨道间距及磁场宽度均为L.质量为m的金属棒ab静置于导轨上,当磁场沿轨道向右运动的速度大小为v时,棒ab恰好滑动.棒运动过程始终在磁场范围内,并与轨道垂直且接触良好,轨道和棒的电阻均不计,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
(1)(5分)判断棒ab刚要滑动时棒中的感应电流方向,并求此时棒所受的摩擦力Ff的大小;
(2)(5分)若磁场不动,将棒ab以水平初速度2v运动,经过时间t=停止运动,求棒ab运动位移x及回路中产生的焦耳热Q.
【答案】 (1)由a至b　　(2)　mv2
【解析】 (1)磁场沿轨道向右运动,即棒相对于磁场沿轨道向左运动,则根据右手定则,感应电流方向由a至b.
依题意得,棒刚要运动时,受到的摩擦力等于安培力,即Ff=F安
F安=BI1L
I1=
联立解得Ff=.
(2)设棒的平均速度为,根据动量定理可得-t-Fft=0-2mv
=BL,又=,x= t
联立解得x=
根据动能定理有-Ffx-W安=0-m(2v)2
根据功能关系有
Q=W安
解得Q=mv2.
知识点二　电磁感应中的“双杆”模型问题
4.(多选)如图所示,两根水平固定的足够长的平行光滑金属导轨上,静止放着两根质量为m、长度为L、电阻为R的相同导体棒ab和cd,构成矩形回路(ab、cd与导轨接触良好),导轨平面内有竖直向上的匀强磁场B.现给cd一个初速度v0,则(　　)
[A] ab将向右做匀加速运动
[B]ab、cd最终具有相同的速度
[C]通过ab杆的电荷量q=
[D]回路产生的焦耳热最多为m
【答案】 BC
【解析】 根据法拉第电磁感应定律可知,只有在两棒速度不相等时回路中才有感应电流,感应电流使两棒都产生加速度,然后受到的安培力发生变化,有效电动势发生变化,感应电流、安培力、加速度也随之变化,所以ab不可能向右做匀加速运动,A错误;当两棒速度相等后,穿过回路的磁通量不变,回路中将不再有感应电流,ab、cd最终具有相同的速度,两棒的系统所受合外力为零,则根据动量守恒定律有mv0=2mv,最终两棒的速度均为v=,B正确;选向右的方向为正方向,对ab棒,根据动量定理有t=m,=BL,联立可以得到q=t=
,故C正确;根据能量守恒定律,在运动过程中产生的热量为Q=m-·2m=m,故D错误.
5.(2023·福建卷)如图,M、N是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨,导轨足够长且电阻可忽略不计;导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场,其左边界OO′垂直于导轨;阻值恒定的两均匀金属棒a、b均垂直于导轨放置,b始终固定.a以一定的初速度进入磁场,此后运动过程中始终与导轨垂直且接触良好,并与b不相碰.以O为坐标原点,水平向右为正方向建立轴坐标;在运动过程中,a的速度记为v,a克服安培力做功的功率记为P.下列v或P随x变化的图像中,可能正确的是(　　)
　　　
[A] 　 [B]　 [C] 　 [D]
【答案】 A
【解析】 设导轨间磁场磁感应强度为B,导轨间距为L,金属棒接入回路的总电阻为R,由题意金属棒a进入磁场后受到水平向左的安培力作用,做减速运动,根据动量定理有F·Δt=mv0-mv,根据F=BIL,I=,E=BLv,可得F=,又因为x=v·Δt,联立可得x=mv0-mv,根据表达式可知v与x成一次函数关系,故A正确,B错误;a克服安培力做功的功率为P=Fv=·v2=·(v0-x) 2,故Px图像为开口向上的抛物线,由于F和v都在减小,故P在减小,故C、D错误.
(选择题每题9分)
6.(多选)如图所示,两足够长的光滑平行金属导轨MON、PO′Q水平放置,OO′两侧导轨所在空间区域存在匀强磁场,磁感应强度大小分别为B1和B2,B2=2B1=2B,方向分别为竖直向上和竖直向下,导轨间距分别为L1和L2,L1=2L2=2L,电阻均为R、质量均为m的导体棒a、b垂直导轨放在OO′左右两侧,并与导轨保持良好接触,不计其他电阻.现给导体棒b一个水平向右的瞬时冲量I,关于a、b两棒此后整个运动过程,下列说法正确的是(　　)
[A] a、b两棒组成的系统动量守恒
[B]a、b两棒最终都将以大小为的速度做匀速直线运动
[C]整个过程中,a棒上产生的焦耳热为
[D]整个过程中,通过a棒的电荷量为
【答案】 BC
【解析】 b棒向右运动,电流方向向里,受到向左的安培力,a棒中的电流方向向外,也受到向左的安培力,系统受到的合力方向向左,系统动量不守恒,选项A错误;b棒的初速度v0=,b棒向右做减速运动,a棒向左做加速运动,当B1L1va=B2L2vb时,系统达到稳定,可得va=vb,对b棒,有-2B Lt=mvb-mv0,对a棒,有B·2Lt=mva,联立解得va=vb=v==,选项B正确;系统的总发热量Q=m-×2mv2=m,a棒上产生的焦耳热Qa=Q=,选项C正确;对a棒有q=t,解得q=,选项D错误.
7.(多选)利用中压直流技术的电磁弹射器实现对飞机的精确控制,其简单模拟等效电路如图(俯视图)所示.直流电源的电动势E=18 V,内阻不计,超级电容器的电容C=1 F.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨的间距L=0.4 m,电阻不计,磁感应强度大小B=2.0 T的匀强磁场垂直于导轨平面向外.质量m=0.16 kg、R=0.2 Ω的金属棒MN(相当于飞机)垂直放在两导轨上且处于静止状态,并与导轨良好接触.开关S先接1,使电容器完全充电,然后将S接至2,MN开始向右加速运动,MN达到最大速度之后离开导轨,则(　　)
[A] 开关S接2后,MN做匀加速直线运动
[B]S接至2的瞬间,金属棒MN加速度大小为450 m/s2
[C]MN的最大速度为36 m/s
[D]下一架相同飞机要以相同的最大速度起飞还需要对电容器充电的电荷量为3.6 C
【答案】 BD
【解析】 开关S接2后,MN开始向右加速运动,MN切割磁感线产生的感应电动势阻碍电容器放电,当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时,回路中的电流为零,MN达到最大速度,此过程中通过MN的电流减小,则MN在水平方向上有a==,所以MN做加速度逐渐减小的加速运动,达到最大速度后离开导轨,故A错误;S接至2的瞬间,MN棒未动,电路属于纯电阻电路,通过MN的电流I==90 A,由牛顿第二定律得金属棒MN加速度大小a===450 m/s2,故B正确;当MN达到最大速度时,MN切割磁感线产生的感应电动势等于此时电容器两端的电压,由C=可得Q=CBLv,由动量定理得BLt=mv,q=t,联立解得v==18 m/s,故C错误;当MN达到最大速度时,电容器的电荷量Q=CBLv=
14.4 C,下一架相同飞机要以相同的最大速度起飞还需要对电容器充电的电荷量Q′=CE-
Q=3.6 C,故D正确.
8.(13分)如图所示,足够长的倾斜的金属导轨和水平的金属导轨交界处通过一小段光滑的圆弧平滑连接,间距均为L=1 m,倾斜导轨与水平面间的夹角为30°,上端连接一定值电阻R1=2 Ω.在倾斜导轨的区域有垂直于轨道平面斜向上的匀强磁场,在水平导轨的区域有竖直向下的匀强磁场.磁感应强度大小都为B=1 T,导体棒ab的质量m=0.2 kg、电阻R=2 Ω,当ab棒在光滑导轨上足够高处下滑至交界处(交界处无磁场)时,与静止在交界处的cd棒发生水平方向上的弹性正碰,cd棒的质量和电阻与ab棒的完全相同.导体棒cd进入匀强磁场区域,在磁场中运动距离x=1.5 m后停止运动,其中导体棒cd与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.1,重力加速度大小g取10 m/s2,不计轨道电阻,求:
(1)(6分)ab棒下滑的最大速度;
(2)(7分)导体棒cd的运动时间t.
【答案】 (1)3 m/s　(2)0.5 s
【解析】 (1)ab棒的受力情况如图所示
ab棒匀速下滑时,有
F安=mgsin α
即mgsin α=BIL=BL·
R总=+R=3 Ω
可得,ab棒下滑的最大速度vm=3 m/s.
(2)两导体棒发生弹性碰撞后,设ab棒速度为v′,cd棒速度为v,由动量守恒及能量守恒定律可得
mvm=mv+mv′
m=mv2+mv′2
解得v′=0,v=3 m/s
平均电流的大小
=
导体棒cd通过的电荷量
q=t=t=
R总′=+R1=3 Ω
对导体棒cd,由动量定理得
-Bt-μmgt=0-mv
联立上式,代入数据解得t=0.5 s.小专题8　电磁感应中的“单杆”、“双杆”模型及动量问题
课时作业(十六)　电磁感应中的“单杆”、“双杆”模型及动量问题
(分值:65分)
(选择题每题6分)
知识点一　电磁感应中的“单杆”模型问题
1.如图所示,ABCD是固定的水平放置的足够长的U形导轨,整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中,在导轨上架着一根金属棒ef,在极短时间内给棒ef一个水平向右的速度,ef棒开始运动,最后又静止在导轨上,则ef在运动过程中,就导轨是光滑和粗糙两种情况相比较(　　)
[A] 整个回路产生的总热量相等
[B]安培力对ef棒做的功相等
[C]安培力对ef棒的冲量相等
[D]电流通过整个回路所做的功相等
2.(多选)列车进站时如图所示,其刹车原理可简化如下:在车身下方固定一水平矩形线框,利用线框进入磁场时所受的安培力辅助列车刹车.已知列车的质量为m,车身长为s,线框的ab和cd长度均为L(L小于匀强磁场的宽度),线框的总电阻为R.站台轨道上匀强磁场区域足够长,磁感应强度的大小为B,方向竖直向上.车头进入磁场瞬间的速度大小为v0,列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f.车尾进入磁场的瞬间,列车恰好停止.下列说法正确的有(　　)
[A] 列车进站过程中的电流方向为abcd
[B]列车ab边进入磁场的瞬间,加速度大小a=
[C]列车从进站到停下来的过程中,线框产生的热量为m
[D]从车头进入磁场到停止所用的时间为
3.(10分)在水平面上有两根足够长的平行轨道PQ和MN,左端接有阻值为R的定值电阻,其间有垂直轨道平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场,两轨道间距及磁场宽度均为L.质量为m的金属棒ab静置于导轨上,当磁场沿轨道向右运动的速度大小为v时,棒ab恰好滑动.棒运动过程始终在磁场范围内,并与轨道垂直且接触良好,轨道和棒的电阻均不计,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
(1)(5分)判断棒ab刚要滑动时棒中的感应电流方向,并求此时棒所受的摩擦力Ff的大小;
(2)(5分)若磁场不动,将棒ab以水平初速度2v运动,经过时间t=停止运动,求棒ab运动位移x及回路中产生的焦耳热Q.
4.(多选)如图所示,两根水平固定的足够长的平行光滑金属导轨上,静止放着两根质量为m、长度为L、电阻为R的相同导体棒ab和cd,构成矩形回路(ab、cd与导轨接触良好),导轨平面内有竖直向上的匀强磁场B.现给cd一个初速度v0,则(　　)
[A] ab将向右做匀加速运动
[B]ab、cd最终具有相同的速度
[C]通过ab杆的电荷量q=
[D]回路产生的焦耳热最多为m
5.(2023·福建卷)如图,M、N是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨,导轨足够长且电阻可忽略不计;导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场,其左边界OO′垂直于导轨;阻值恒定的两均匀金属棒a、b均垂直于导轨放置,b始终固定.a以一定的初速度进入磁场,此后运动过程中始终与导轨垂直且接触良好,并与b不相碰.以O为坐标原点,水平向右为正方向建立轴坐标;在运动过程中,a的速度记为v,a克服安培力做功的功率记为P.下列v或P随x变化的图像中,可能正确的是(　　)
　　　
[A] 　 [B]　 [C] 　 [D]
6.(多选)如图所示,两足够长的光滑平行金属导轨MON、PO′Q水平放置,OO′两侧导轨所在空间区域存在匀强磁场,磁感应强度大小分别为B1和B2,B2=2B1=2B,方向分别为竖直向上和竖直向下,导轨间距分别为L1和L2,L1=2L2=2L,电阻均为R、质量均为m的导体棒a、b垂直导轨放在OO′左右两侧,并与导轨保持良好接触,不计其他电阻.现给导体棒b一个水平向右的瞬时冲量I,关于a、b两棒此后整个运动过程,下列说法正确的是(　　)
[A] a、b两棒组成的系统动量守恒
[B]a、b两棒最终都将以大小为的速度做匀速直线运动
[C]整个过程中,a棒上产生的焦耳热为
[D]整个过程中,通过a棒的电荷量为
7.(多选)利用中压直流技术的电磁弹射器实现对飞机的精确控制,其简单模拟等效电路如图(俯视图)所示.直流电源的电动势E=18 V,内阻不计,超级电容器的电容C=1 F.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨的间距L=0.4 m,电阻不计,磁感应强度大小B=2.0 T的匀强磁场垂直于导轨平面向外.质量m=0.16 kg、R=0.2 Ω的金属棒MN(相当于飞机)垂直放在两导轨上且处于静止状态,并与导轨良好接触.开关S先接1,使电容器完全充电,然后将S接至2,MN开始向右加速运动,MN达到最大速度之后离开导轨,则(　　)
[A] 开关S接2后,MN做匀加速直线运动
[B]S接至2的瞬间,金属棒MN加速度大小为450 m/s2
[C]MN的最大速度为36 m/s
[D]下一架相同飞机要以相同的最大速度起飞还需要对电容器充电的电荷量为3.6 C
14.4 C,下一架相同飞机要以相同的最大速度起飞还需要对电容器充电的电荷量Q′=CE-
Q=3.6 C,故D正确.
8.(13分)如图所示,足够长的倾斜的金属导轨和水平的金属导轨交界处通过一小段光滑的圆弧平滑连接,间距均为L=1 m,倾斜导轨与水平面间的夹角为30°,上端连接一定值电阻R1=2 Ω.在倾斜导轨的区域有垂直于轨道平面斜向上的匀强磁场,在水平导轨的区域有竖直向下的匀强磁场.磁感应强度大小都为B=1 T,导体棒ab的质量m=0.2 kg、电阻R=2 Ω,当ab棒在光滑导轨上足够高处下滑至交界处(交界处无磁场)时,与静止在交界处的cd棒发生水平方向上的弹性正碰,cd棒的质量和电阻与ab棒的完全相同.导体棒cd进入匀强磁场区域,在磁场中运动距离x=1.5 m后停止运动,其中导体棒cd与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.1,重力加速度大小g取10 m/s2,不计轨道电阻,求:
(1)(6分)ab棒下滑的最大速度;
(2)(7分)导体棒cd的运动时间t.

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