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北师大版（2024）八年级下册 1.1 三角形内角和定理 分层练习
已知两角求第三角的大小
1在△ABC中，已知∠A＝55°，∠B＝35°，则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
2如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得剩余两个角的度数为44°，68°，于是他很快判断这个三角形是(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
3在△ABC中，若∠A＝43°，∠B＝47°，则这个三角形是 　 　．
4三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　．
已知两角或三角的数量关系求三角形内角
1已知点D在△ABC内，若∠ABD= ∠ACD=则∠BDC等于(　　)
A.3∠A B.∠A C.120°+∠A D.60°+∠A
2△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为(　　)
A.35° B.40° C.70° D.110°
3如图，三角形中的x的值是 　 　．
4如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A．
(1)求△ABC各内角的度数；
(2)求∠ADB的度数．
三角形内角和与平行线问题
1如图，△DAF沿直线AD平移得到△CDE，CE，AF的延长线交于点B．若∠AFD＝111°，则∠CED的度数为(　　)
A.69° B.111° C.112° D.113°
2如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是(　　)
A.42° B.64° C.74° D.106°
3如图，D，E，F，G是△ABC边上的点，∠ABC＝∠ADE，∠DEB＝∠GFC．
(1)求证：BE∥GF；
(2)若BE平分∠ABC，∠BDE＝110°，∠C＝50°，求∠CGF的度数．
4已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．直线EG，FG有何关系？写出证明过程．
解：EG⊥FG，理由是：
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°( 　 　)．
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE( 　 　)，
∴∠GEF+∠GFE＝(∠BEF+∠DFE)( 　 　)，
∴∠GEF+∠GFE＝×180°＝90°．
在△EFG中，　 　( 　 　)，
∴∠G＝180°﹣(∠GEF+∠GFE)＝180°﹣90°＝90°．
∴　 　( 　 　)．
与三角形高线，角平分线相关的问题
1如图，AB∥CD，CE⊥CD于点 C，∠BAE为钝角，∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F，则∠F的度数为(　　)
A.30° B.45° C.50° D.无法确定
2如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为(　　)
A.110° B.120° C.130° D.140°
3如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是(　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
4在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 　 　．
5如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠BDC＝118°，则∠A＝　 　．
6如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC的度数．
三角形内角和的实际应用
1如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是(　　)
A.13° B.49° C.62° D.75°
2如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　)
A.30° B.35° C.40° D.45°
3如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km.
4如图是一种躺椅及其侧面结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当OE⊥OF，且∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时∠ANM的度数．
5如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
北师大版（2024）八年级下册 1.1 三角形内角和定理 分层练习（参考答案）
1已知两角求第三角的大小
1在△ABC中，已知∠A＝55°，∠B＝35°，则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】B
【解析】∵∠A＝55°，∠B＝35°，
∴180°﹣35°﹣55°＝90°，
所以三角形是一个直角三角形．
故选：B．
2如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得剩余两个角的度数为44°，68°，于是他很快判断这个三角形是(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【答案】B
【解析】如图所示，
依题意得∠A＝44°，∠B＝68°，
由三角形的内角和定理得∠C＝180°﹣(∠A+∠C)＝180°﹣(44°+68°)＝68°，
∴∠B＝∠C＝68°．
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
3在△ABC中，若∠A＝43°，∠B＝47°，则这个三角形是 　 　．
【答案】直角三角形
【解析】∵∠A＝43°，∠B＝47°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：直角三角形．
4三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　．
【答案】90°
【解析】若三角形三个内角度数的比为1:2:3，
设一个角是x度，则另两角分别是2x度，3x度．
根据三角形内角和定理得到x+2x+3x＝180，
解得x＝30．
则最大的角是3x＝90．
故答案为：90°．
2已知两角或三角的数量关系求三角形内角
1已知点D在△ABC内，若∠ABD= ∠ACD=则∠BDC等于(　　)
A.3∠A B.∠A C.120°+∠A D.60°+∠A
【答案】C
【解析】∵∠ABD=, ∠ACD=，
∴∠ABD+∠ACD＝(∠ABC+∠ACB)，
∴∠DBC+∠DCB＝(∠ABC+∠ACB)，
∵∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴180°﹣∠BDC＝(180°﹣∠A)，
∴∠BDC＝120°+∠A．
故选：C．
2△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为(　　)
A.35° B.40° C.70° D.110°
【答案】B
【解析】∵△ABC中∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，
∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+3x+4x＝180°，解得x＝20°，
∴∠A＝2x＝40°．
故选：B．
3如图，三角形中的x的值是 　 　．
【答案】54
【解析】依题意得2x+72＝180，
解得x＝54，
故答案为：54．
4如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A．
(1)求△ABC各内角的度数；
(2)求∠ADB的度数．
【答案】解：(1)∵BD是∠ABC的平分线，∠ABD＝∠A，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A，
∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°.
(2)由(1)可知∠ABD＝∠A＝30°，
∵∠ADB+∠ABD+∠A＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣(∠ABD+∠A)＝120°．
3三角形内角和与平行线问题
1如图，△DAF沿直线AD平移得到△CDE，CE，AF的延长线交于点B．若∠AFD＝111°，则∠CED的度数为(　　)
A.69° B.111° C.112° D.113°
【答案】B
【解析】∵△DAF沿直线AD平移得到△CDE，
∴∠CED＝∠AFD＝111°.
故选：B．
2如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是(　　)
A.42° B.64° C.74° D.106°
【答案】C
3如图，D，E，F，G是△ABC边上的点，∠ABC＝∠ADE，∠DEB＝∠GFC．
(1)求证：BE∥GF；
(2)若BE平分∠ABC，∠BDE＝110°，∠C＝50°，求∠CGF的度数．
【答案】(1)证明：∵∠ABC＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠BED＝∠EBC，
∵∠DEB＝∠GFC，
∴∠EBC＝∠GFC，
∴BE∥GF.
(2)解：∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BDE＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC＝35°，
∵BE∥GF，
∴∠GFC＝∠EBC＝35°，
∵∠C+∠GFC+∠CGF＝180°，
∴∠CGF＝180°﹣∠C﹣∠GFC＝95°．
4已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．直线EG，FG有何关系？写出证明过程．
解：EG⊥FG，理由是：
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°( 　 　)．
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE( 　 　)，
∴∠GEF+∠GFE＝(∠BEF+∠DFE)( 　 　)，
∴∠GEF+∠GFE＝×180°＝90°．
在△EFG中，　 　( 　 　)，
∴∠G＝180°﹣(∠GEF+∠GFE)＝180°﹣90°＝90°．
∴　 　( 　 　)．
【答案】解：EG⊥FG，理由是：
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE(角平分线定义)，
∴∠GEF+∠GFE＝(∠BEF+∠DFE)(等式的性质)，
∴∠GEF+∠GFE＝×180°＝90°．
在△EFG中，∠GEF+∠EFG+∠G＝180°(三角形的内角和为180°)，
∴∠G＝180°﹣(∠GEF+∠GFE)＝180°﹣90°＝90°．
∴EG⊥FG(垂直定义)．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；角平分线定义；等式的性质；∠GEF+∠EFG+∠G＝180°；三角形的内角和为180°；EG⊥FG；垂直定义．
4与三角形高线，角平分线相关的问题
1如图，AB∥CD，CE⊥CD于点 C，∠BAE为钝角，∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F，则∠F的度数为(　　)
A.30° B.45° C.50° D.无法确定
【答案】B
【解析】过E点作EG∥AB，
∴∠BAE+∠AEG＝180°，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，
∴∠GEC+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠AEC+∠C＝360°，
∵CE⊥CD于点 C，
∴∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEC＝270°，
∵∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F，
∴∠AEF＝∠AEC，∠EAF＝∠BAE，
∴∠AEF+∠EAF＝135°，
∵∠AEF+∠EAF+∠F＝180°，
∴∠F＝180°﹣135°＝45°．
故选：B．
2如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为(　　)
A.110° B.120° C.130° D.140°
【答案】D
【解析】在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∵∠A＝100°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣100°＝80°，
即∠1+∠2+∠3+∠4＝80°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴2∠2+2∠4＝80°，
∴∠2+∠4＝40°，
在△BPC中，∠BPC+∠2+∠4＝180°，
∴∠BPC＝140°.
故选：D．
3如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是(　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】B
【解析】∵DE∥AB，∠BDE＝50°，
∴∠ABD＝∠BDE＝50°，
而BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°．
故选：B．
4在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 　 　．
【答案】70°或30°
【解析】如图1，∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°，
如图2，∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°.
故答案为：70°或30°．
5如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠BDC＝118°，则∠A＝　 　．
【答案】56°
【解析】由三角形内角和定理知∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝62°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2(∠DBC+∠DCB)＝124°，
由三角形内角和定理知∠A＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)＝180°﹣124°＝56°．
故答案为：56°．
6如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC的度数．
【答案】解：∵由三角形内角和定理得，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°，
∵BO，CO平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1＋∠2＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－65°＝115°.
5三角形内角和的实际应用
1如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是(　　)
A.13° B.49° C.62° D.75°
【答案】B
【解析】由题意得，∠CAB＝90°﹣62°＝28°，∠ABC＝90°+13°＝103°，
∴∠ACB＝180° ∠CAB﹣∠ABC＝49°．
故选：B．
2如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　)
A.30° B.35° C.40° D.45°
【答案】C
【解析】如图，
由题意得∠5＝180°﹣(∠1+∠2)＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣(∠3+∠4)＝180°﹣2∠3，
∵∠α＝70°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°，
∵∠β＝180°﹣(∠5+∠6)
∴∠β＝180°﹣(180°﹣2∠2+180°﹣2∠3)
＝2(∠2+∠3)﹣180°
＝2×110°﹣180°
＝220°﹣180°
＝40°．
故选：C．
3如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km.
【答案】90°；80
【解析】由图可知，
∠SAB＝90°－∠SAD＝90°－60°＝30°，∠SBA＝90°－∠SBC＝90°－30°＝60°，
∴∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝180°－30°－60°＝90°，
∴AB＝20×(12－8)＝80(km)．
故答案为：90°；80.
4如图是一种躺椅及其侧面结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当OE⊥OF，且∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时∠ANM的度数．
【答案】解：因为OE⊥OF，
所以∠GOD＝90°，(垂直的定义)
因为∠ODC＝32°，
所以∠OGD＝180°﹣∠GOD﹣∠ODC，(三角形三个内角的和等于180°)
所以∠OGD＝180°﹣90°﹣32°＝58°，
由题意，知AB∥CD，
所以∠AOE＝∠OGD＝58°，(两直线平行，内错角相等)
由题意，知DM∥OE，
所以∠AND＝∠AOE＝58°，(两直线平行，同位角相等)
所以∠ANM＝180°-∠AND =122°．(平角的定义)
5如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
【答案】解：由题意得，BE∥AD，∠BAD＝40°，
∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，
∴∠EBA＝∠BAD＝40°，∠BAC＝40°＋15°＝55°，
∴∠ABC＝∠EBC－∠EBA＝80°－40°＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－55°－40°＝85°.

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