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北师大版（2024）八年级下册 1.2 等腰三角形 分层练习
等腰三角形与三角形内角和
1如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　）
A.35° B.40° C.45° D.50°
2若等腰三角形的一个外角为70°，则其底角为（ ）
A.110° B.35° C.110°或35° D.70°或35°
3一个等腰三角形有一个角是40°，则它的底角是（　　）
A.40° B.70° C.60° D.40°或70°
4已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是 ．
5等腰三角形的一个外角是60°，则其底角是 .
6如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
等腰三角形与平行线性质
1如图，在四边形ABCD中，BA=BC，AC是∠DAE的平分线，AD∥EC，∠AEB=110°，α的度数是（　　）
A.20° B.30° C.35° D.40°
2如图，AB∥CD，∠A=70°，AC=BC，则∠BCD的度数为（　　）
A.100° B.105° C.110° D.140°
3已知：如图，△ABC中，AB=AC，BE∥AC，∠BDE=100°，∠BAD=70°，则∠E= ．
4如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为 ．
5如图，AB=AC=AD．
（1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论．
6如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．
等腰三角形的三线合一
1如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A.BD=CD B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
2等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（　　）
A.60° B.90° C.120° D.150°
3△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，以下结论：（1）D为BC边的中点；（2）∠B=∠C；（3）AD平分∠BAC，其中正确的有（　　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=5，则CD=__________．
5如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=36°，则∠BAC的度数为____________．
6如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC．
7如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
定义法判定等腰三角形
1已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A.5条 B.4条 C.3条 D.2条
2如果一个三角形一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形一定是（　　）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
3在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点的个数为（　　）
A.8 B.9 C.10 D.11
4如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　 　个．
5在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
6如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB＝AD.
等腰三角形的判定与三角形内角和
1下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是（　　）
A.有两个内角分别是70°和40°的三角形
B.有一个角为45°的直角三角形
C.有外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形
D.有两个角分别为70°和50°的三角形
2如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________.　
4如图，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB，求证：△CDE是等腰三角形．
等腰三角形判定与角平分线、平行线综合
1如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
2在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(　　)
A.BC＝EC B.EC＝BE C.BC＝BE D.AE＝EC
3在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
4如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________.
5如图，已知∠A＝36°，BD平分∠ABC，∠C＝72°，则∠DBC＝________，∠BDC＝________，图中的等腰三角形有______________________．
6已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC边上取点F使BF=DF，若BC=12，求DF的长．
7如图①，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB，AC于E，F．
（1）请写出图①中线段EO和BE的大小关系： ；
（2）请写出图①中线段EF与BE，CF间的关系： ；
（3）如图②，若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F．请写出EF与BE，CF的关系，并说明理由．
等腰三角形的性质与判定
1如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，△ABD的周长为a,BC=b,则△ABC的周长为（　　）
A.a+b B.2a-b C.2a-2b D.2a-3b
2根据下列条件不能作出唯一的等腰三角形的是（　　）
A.已知顶角和一腰
B.已知顶角和底角
C.已知顶角和底边
D.已知底角和底边
3已知，如图所示，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=EC，求证：△ABC是等腰三角形．
4已知，如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
等边三角形的三条边相等
1下图分别表示甲、乙、丙三人由A地到C地的路线图．已知甲的路线为：A→B→C，△ABC是等边三角形；乙的路线为：A→B→D→E→C，其中D为AC的中点，△ABD，△DEC都是等边三角形；丙的路线为：A→B→D→E→C，其中D在AC上（AD≠DC），△ABD，△DEC都是等边三角形；则三人行进的路程（　　）
A.甲最短 B.乙最短 C.丙最短 D.三人行进的路程相同
2已知等边△ABC的一边长为10，则它的周长是（　　）
A.10 B.20 C.30 D.40
3等边三角形边长为1cm，则它周长为　 　cm．
4已知等边△ABC的周长为6，则它的边长等于　 　．
等边三角形的三个角都等于60°
1已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（　　）
A.∠B B.∠BFD C.∠ADE D.∠BDF
2已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
3如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE交AD于点F，则∠DFE的度数为 （ ）
A.45° B.55° C.60° D.75°
4如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=　 　度．
5三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　 　°．
6如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数．
等边三角形中的三线合一
1等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为（　　）
A.75° B.60° C.45° D.30°
2在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（　　）
A.4 B.8 C.16 D.32
3等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
4如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= 　°．
5如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD．
6如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE.
等边三角形的性质与垂直
1如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（　　）
A.14 B.13 C.12 D.无法求出
2如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
3如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，则∠EDF的度数为 ．
4如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BD=2，以AD为一边向右作等边三角形ADE．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断AC，DE的位置关系，并给出证明．
5如图，在等边三角形ABC中，点P是AB边上的任意一点（点P不与点A、点B重合），过点P作PD⊥AB，交直线BC于点D，作PE⊥AC，垂足为点F．求∠APE的度数.
等边三角形的性质综合
1如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（　　）
A.15° B.30° C.45° D.60°
2如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，∠EBD=62°，则∠AEB的度数为（　　）
A.112° B.122° C.132° D.128°
3如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（　　）
A.3 B.2 C.1 D.0
4如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，若BO+OC=m，OE+OD=n，则BD的长为　 　．（用含m，n的式子表示）
5如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 度．
6如图，点M，N分别是等边△ABC边AB，CA的延长线上的点，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．求证：NC=BM+MN．
定义判定等边三角形
1用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　）
A.39 B.27 C.24 D.25
2一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
3若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
4在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　 　．
5如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形．
三个角都相等的三角形是等边三角形
1有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（　　）
A.可以是顶角不为60°等腰三角形
B.仅有等边三角形
C.一角为60°的非等腰三角形
D.不能确定
2在△ABC中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC是（ ）
A.钝角三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
3在△ABC中，∠A=60°，∠B=　 　度时，△ABC是等边三角形．
4如图将边长为5cm的等边△ABC，沿BC向右平移3cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是　 　三角形，DM=　 　cm．
5如图，在一个池塘旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置），测得的相关数据为∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=50米，求AC的长.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
1若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　）
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.上述三种情形都有可能
2若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　）
A.钝角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
3已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　）
A.等腰直角三角形
B.一般的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
4在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　 　．
5一个等腰三角形的一条边长为7，一个外角为120°，则这个三角形的周长为　 　．
6如图所示，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC=∠DAC，CE∥AB．求证：△CDE是等边三角形．
7已知，如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E，若∠A=60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
等边三角形的性质和判定
1如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ，则∠CPQ度数为（ ）
A.75° B.60° C.55° D.45°
2下列说法正确的是（　　）
A.等腰三角形的两条高相等
B.有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形
C.等腰三角形一定是锐角三角形
D.三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
3下列关于等边三角形的说法正确的有（　　）
①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°；
②三边相等的三角形是等边三角形；
③三角相等的三角形是等边三角形；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
4如图，△ABC是等边三角形，点D为 AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE．若CD＝1，CE＝3，则BC＝_____________．
5如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD=3，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CDE为等边三角形；
（2）求DF的长．
等边三角形和等腰三角形的性质
1下列叙述正确的是（　　）
A.等腰三角形是等边三角形
B.所有的等边三角形形状都相同，所以全等
C.三个角之比为1∶2∶3的三角形是等腰三角形
D.等边三角形的三条中线所在直线是它的三条对称轴
2下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（　　）
A.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B.等边三角形是等腰三角形的特殊情况
C.等边三角形的底角与顶角相等
D.等边三角形包括等腰三角形
4如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度．
5如图，△ABC为等边三角形，以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，则∠CBD=____________°．
6如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD=AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．
7如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．试探究BM，MN，CN之间的数量关系，并加以证明．
等边三角形的性质和等腰三角形的判定
1如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
2如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　）
A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a
3如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　）
①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．
A.1 B.2 C.3 D.4
4如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　 ．
5已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　 　；②　 　；③　 ；④　 ．
6如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°．若AD=5，求DE的长．
7如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD．
（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
（2）求证：AD=DE．
等边三角形和等腰三角形的判定与性质
1如图，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的（　　）
A.4倍 B.3倍 C.2倍 D.1倍
2如图，P是△ABC的BC边上的一点，且BP=PA=AC=PC,则∠B的度数为（ ）
A.50° B.40° C.30° D.20°
3如图，等边三角形ABC的三条中线交于点O，则图中除△ABC外，还有　 　是等腰三角形．
4如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
5如图，P是等边△ABC的AB边上一点，过P作PE⊥AC于E，在BC的延长线上截取CQ=AP，连接PQ交AC于点D．
（1）若∠Q=28°，求∠EPD的度数；
（2）求证：PD=QD．
含30°角的直角三角形的性质
1如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(　　)
A.6米 B.9米 C.12米 D.15米
2已知∠ACB的角平分线CE，O是CE上一点，OP∥BC，PO=2，OD⊥CB于D，∠ACE=15°，则OD的长是（ ）
A. B.1 C.2 D.3
3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，如图，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．该城市是否会受到这次台风的影响 请说明理由．
4在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4.
（1）求∠CBD的度数；
（2）求AB的长.
含30°角的直角三角形与等腰三角形
1如图，∠DAE=∠FAD=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
2如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，连接CE交AD于点H，则图中的等腰三角形有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
4如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AB，交BC于点D，且∠CAD=30°，CD=3，则BD= ．
5如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
含30°角的直角三角形与等边三角形
1在△ABC中，∠C=90°，AB=10，点D在AB上，且△ADC是等边三角形，则AD的长是（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
2如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ）
A.2 B.3 C.1 D.8
3如图，已知，等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．则线段BE的长为________．
4如图，在等边三角形ABC中AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BE=2，则AF=　 　．
5如图，点P是等边△ABC的BC边上一点，PM⊥AB，PN⊥AC．试猜想△AMN与四边形BMNC的周长有什么关系？并说明理由．
6已知，如图，等边△ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．
反证法
1用反证法证明：若abc=0，则a,b,c至少有一个为0，应该假设（　　）
A.a,b,c没有一个为0
B.a,b,c只有一个为0
C.a,b,c至多一个为0
D.a,b,c三个都为0
2用反证法证明，“在△ABC中，∠A，∠B对边是a，b.若∠A＜∠B，则a＜b”第一步应假设（　　）
A.a＞b B.a=b C.a≤b D.a≥b
3对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（　　）
A.∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β＞∠α
B.∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠α
C.∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β＜∠α
D.两个角互为邻补角
4用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是： ．
5用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设 ．
6利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．
北师大版（2024）八年级下册 1.2 等腰三角形 分层练习（参考答案）
1等腰三角形与三角形内角和
1如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　）
A.35° B.40° C.45° D.50°
【答案】A
【解析】∵在△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，
∵AD=CD，∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°．故选：A．
2若等腰三角形的一个外角为70°，则其底角为（ ）
A.110° B.35° C.110°或35° D.70°或35°
【答案】B
【解析】∵等腰三角形的一个外角为70°，∴与它相邻的三角形的内角为110°；①当110°角为等腰三角形的底角时，两底角和为220°＞180°，不合题意，舍去；②当110°角为等腰三角形的顶角时，底角为（180°-110°）÷2=35°．因此等腰三角形的底角为35°．故选B.
3一个等腰三角形有一个角是40°，则它的底角是（　　）
A.40° B.70° C.60° D.40°或70°
【答案】D
【解析】当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角(180°-40°) ÷2=70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选D．
4已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是 ．
【答案】30°或120°
【解析】当30°是等腰三角形的顶角时，顶角就是30°；当30°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣30°×2=120°．则该等腰三角形的顶角是30°或120°．故填30°或120°．
5等腰三角形的一个外角是60°，则其底角是 .
【答案】30°
【解析】当60°的外角在底角处时，则底角=180°﹣60°=120°，因此两底角和为240°＞180°，故此种情况不成立．因此只有一种情况，即60°的外角在顶角处．则底角为60°÷2=30°.
6如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
【答案】解 ∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．
2等腰三角形与平行线性质
1如图，在四边形ABCD中，BA=BC，AC是∠DAE的平分线，AD∥EC，∠AEB=110°，α的度数是（　　）
A.20° B.30° C.35° D.40°
【答案】A
【解析】∵AC是∠DAE的平分线，∴∠DAC=∠CAE=α．又∵DA∥EC，∴∠DAC=∠ACE=α，∴∠CAE=∠ACE=α，∴AE=CE，∠AEC=180°﹣2α，在△AEB和△CEB中，AE=CE，AB=CB，EB=EB∴△AEB≌△CEB（SSS），∴∠AEB=∠CEB=110°，∴∠AEC=360°﹣220°=140°，即180°﹣2α=140°．解得α=20°．故选A．
2如图，AB∥CD，∠A=70°，AC=BC，则∠BCD的度数为（　　）
A.100° B.105° C.110° D.140°
【答案】C
【解析】∵∠A=70°，AC=BC，∴∠ABC=70°，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠BCD=110°．故选C．
3已知：如图，△ABC中，AB=AC，BE∥AC，∠BDE=100°，∠BAD=70°，则∠E= ．
【答案】50°
【解析】∵∠BDE=∠ABC+∠BAD，∴∠ABC=∠BDE﹣∠BAD=100°﹣70°=30°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=120°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣70°=50°，∵BE∥AC，∴∠E=∠CAD=50°．故答案是50°．
4如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为 ．
【答案】32°
【解析】∵CD=CE，∴∠D=∠DEC，∵∠D=74°，∴∠C=180°﹣74°×2=32°，∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°．故答案为：32°．
5如图，AB=AC=AD．
（1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论．
【答案】解 （1）∠C=2∠D，证明：∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC，又∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∴∠ABC=2∠D，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2∠D．
（2）AD∥BC，证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠D，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠D，∴∠DBC=∠D，∴AD∥BC．
6如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．
【答案】证明 过点D作DM∥AC交BC于M，∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵BD=CE，∴MD=CE，在△DMF和△ECF中，∠MDF=∠E，∠MFD=∠CFE，MD=CE，∴△DMF≌△ECF（AAS），∴DF=EF．
3等腰三角形的三线合一
1如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A.BD=CD B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
【答案】D
【解析】∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴BD=CD（故A正确），AD⊥BC（故B正确），∠BAD=∠CAD（故C正确），无法得到AB=2BD（故D不正确）．故选D．
2等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（　　）
A.60° B.90° C.120° D.150°
【答案】B
【解析】如图，∵AB=AC，AD是底边BC上的高，
∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°.
又∵底边上的高与底边的比是1∶2，
∴AD=BD=DC∴∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°．故选B．
3△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，以下结论：（1）D为BC边的中点；（2）∠B=∠C；（3）AD平分∠BAC，其中正确的有（　　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】D
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC边的中点，∠B=∠C，AD平分∠BAC，∴（1）（2）（3）正确．故选D．
4如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=5，则CD=__________．
【答案】5
【解析】∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACD，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴CD=BD=5．故填5．
5如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=36°，则∠BAC的度数为____________．
【答案】72°
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴∠BAC=2∠BAD=2×36°=72°．故答案为72°．
6如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC．
【答案】证明 （1）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，∴BE=CE．
（2）∵BF⊥AC，∠BAC=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=BF，∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，∠EAF=∠CBF，∠AFE=∠BFC，AE=BF，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE=BC．
7如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
【答案】证明 如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC，
∵AD=AE，∴DP=PE，
∴BP﹣DP=PC﹣PE，
∴BD=CE．
4定义法判定等腰三角形
1已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A.5条 B.4条 C.3条 D.2条
【答案】B
【解析】如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合题意的等腰三角形．故选B．
2如果一个三角形一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形一定是（　　）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
【答案】C
【解析】如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，由AD=AD，∴△ADB≌△ADC（ASA），∴AB=AC．即这个三角形一定是等腰三角形．故选C．
3在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点的个数为（　　）
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】C
【解析】如图，①若BA=BC，则符合要求的有C1，C2共2个点；②若AB=AC，则符合要求的有C3，C4共2个点；③若CA=CB，则符合要求的有C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．∴这样的C点有10个．故选：C．
4如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　 　个．
【答案】6
【解析】如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC 于点P2；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2（此时AB=AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．
故符合条件的点有6个．故答案为6．
5在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
【答案】3
【解析】第一图，由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．
第二图，由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误．
第三图，由作图可知BA=BD可推出BD=CD=AD，即△ADC是等腰三角形，故正确．
第四图，由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．
故答案为3
6如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB＝AD.
【答案】证明 ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD.
5等腰三角形的判定与三角形内角和
1下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是（　　）
A.有两个内角分别是70°和40°的三角形
B.有一个角为45°的直角三角形
C.有外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形
D.有两个角分别为70°和50°的三角形
【答案】D
【解析】A.如图1所示，
∵∠B=70°，∠A=40°，
∴∠C=180°﹣70°﹣40°=70°，∴∠B=∠C，∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确；
B.如图2所示，
∵∠A=45°，∠C=90°，∴∠B=90°﹣45°=45°，∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三 角形，故本选项正确；
C.如图3所示，
∴∠ACD=130°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°﹣∠ACD=180°﹣130°=50°，
∴∠B=∠ACB=50°，∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确；
D.∵∠A=70°，∠B=50°，∴∠C=180°﹣70°﹣50°=60°，
∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误．故选D．
2如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】∵∠A=36°，∠ADB=108°，∴∠ABD=36°，
∴AD=BD，即△ABD是等腰三角形．
而△ABC及△BDC无法证明是等腰三角形．
故选A．
3如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________.　
【答案】3
【解析】∠ACB=180°-∠BAC-∠B=40°，∠CAD=∠ACB-∠D=20°，所以∠ACB=∠B=40°，∠CAD=∠D=20°，所以CD=AC，AC=AB，故CD=AB=3.
4如图，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB，求证：△CDE是等腰三角形．
【答案】证明 ∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠ACB．∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴CE=DE，即△CDE是等腰三角形．
6等腰三角形判定与角平分线、平行线综合
1如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=(180°-108°)÷2=36°，∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣36°﹣72°=72°=∠ADB，∴AB=BD，∴△ADB是等腰三角形，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°=∠C，∴CD=AD，∴△ACD是等腰三角形，∵DE平分∠ADB，∴∠BDE=∠ADE=36°=∠B，∴BE=ED，∴△EBD是等腰三角形，∠AED=180°﹣72°﹣36°=72°=∠EAD，∴ED=AD，∴△AED是等腰三角形，∴共有5个等腰三角形．故选C．
2在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(　　)
A.BC＝EC B.EC＝BE C.BC＝BE D.AE＝EC
【答案】C
【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.
又∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE.
3在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【解析】∵∠ABC=∠C=2∠A，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴2∠A+2∠A+∠A=180°，∴∠A=36°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=∠ADE=∠C=72°，∠EDB=∠DBC，∴AE=AD，∴△AED为等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠A=36°，∴ED=BE，AD=BD，∴△ADB，△EBD为等腰三角形，∴∠BDC=180°﹣∠C﹣∠DBC=72°=∠C，∴△BCD为等腰三角形，∴等腰三角形共有5个．故选A．
4如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________.
【答案】3
5如图，已知∠A＝36°，BD平分∠ABC，∠C＝72°，则∠DBC＝________，∠BDC＝________，图中的等腰三角形有______________________．
【答案】36°　72°　△ABC，△DBA，△BCD
6已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC边上取点F使BF=DF，若BC=12，求DF的长．
【答案】（1）证明 ∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，
∵DE∥BC，∴∠BCD=∠EDC，∴∠EDC=∠ACD，∴ED=EC，
即△CDE是等腰三角形．
（2）解 ∵DE∥BC，∠ABC=30°，∴∠ADE=∠ABC=30°，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=30°，
由（1）可知∠ACD=∠BCD=∠CDE=30°，
∵BF=DF，
∴∠B=∠BDF=30°，
∴∠DFC=30°+30°=60°，
在Rt△DFC中，∠FDC=90°，∠FCD=30°，
∴DF＝FC，
又∵DF=BF，BC=12，
∴DF＝BC＝×12＝4．
7如图①，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB，AC于E，F．
（1）请写出图①中线段EO和BE的大小关系： ；
（2）请写出图①中线段EF与BE，CF间的关系： ；
（3）如图②，若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F．请写出EF与BE，CF的关系，并说明理由．
【答案】解 （1）EO=BE，
理由：∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∵OB是∠ABC的平分线，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE．
（2）线段EF与BE，CF间的关系为EF=BE+CF，理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠FOC=∠OCB，
∵OC是∠ACB的平分线，
∴∠FCO=∠OCB，
∴∠FCO=∠FOC，
∴CF=OF，
由（1）得BE=OE，
∴EF=OE+OF=BE+CF．
（3）EF与BE，CF的关系为EF=BE-CF，理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴OE=BE，
∵EF∥BC，
∴∠FOC=∠OCG，
∵OC平分∠ACG，
∴∠FCO=∠OCG，
∴∠FOC=∠FCO，
∴OF=CF，
∴EF=OE-OF=BE-CF．
7等腰三角形的性质与判定
1如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，△ABD的周长为a,BC=b,则△ABC的周长为（　　）
A.a+b B.2a-b C.2a-2b D.2a-3b
【答案】D
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C==72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC=b,
∵△ABD的周长为a,
∴AB=a-AD-BD=a-2b,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2（a-2b）+b=2a-4b+b=2a-3b．
故选：D．
2根据下列条件不能作出唯一的等腰三角形的是（　　）
A.已知顶角和一腰
B.已知顶角和底角
C.已知顶角和底边
D.已知底角和底边
【答案】B
【解析】A.符合全等三角形的判定定理SAS，所以能作出唯一等腰三角形．故本选项不符合题意；
B.因为已知两个锐角，而边长不确定，故这样的三角形可作很多，而不是唯一的．故本选项符合题意；
C.顶角已知，则底角也可以求出来，符合全等三角形的判定定理ASA，所以能作出唯一等腰三角形．故本选项不符合题意；
D.符合全等三角形的判定定理ASA，所以能作出唯一等腰三角形．故本选项不符合题意．故选B．
3已知，如图所示，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=EC，求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】证明 ∵BE=EC，∴△BEC是等腰三角形，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，∴ED⊥BC，∴BD=CD，
∴线段AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
4已知，如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
【答案】（1）证明 ∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
（2）解 点O在∠BAC的角平分线上．
理由：如图，连接AO并延长交BC于F，
∵AB=AC，OB=OC，又∵OA=OA，△AOB≌△AOC．
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
8等边三角形的三条边相等
1下图分别表示甲、乙、丙三人由A地到C地的路线图．已知甲的路线为：A→B→C，△ABC是等边三角形；乙的路线为：A→B→D→E→C，其中D为AC的中点，△ABD，△DEC都是等边三角形；丙的路线为：A→B→D→E→C，其中D在AC上（AD≠DC），△ABD，△DEC都是等边三角形；则三人行进的路程（　　）
A.甲最短 B.乙最短 C.丙最短 D.三人行进的路程相同
【答案】D
【解析】设等边三角形ABC的边长是a，则乙图中等边△ADB，△DEC的边长是a，丙图中等边三角形的边长AB+DE=a，∴甲：a+a=2a，乙：4×a=2a，丙：2（AB+DE）=2a．故选D．
2已知等边△ABC的一边长为10，则它的周长是（　　）
A.10 B.20 C.30 D.40
【答案】C
【解析】∵等边△ABC的边长是10，∴它的周长是10×3=30．故选：C．
3等边三角形边长为1cm，则它周长为　 　cm．
【答案】3
【解析】因为等边三角形的三边相等，所以周长为1×3=3．故答案为3．
4已知等边△ABC的周长为6，则它的边长等于　 　．
【答案】2
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，∵等边△ABC的周长为6，∴AB+BC+CA=6，∴3AB=6，∴AB=2，故等边三角形的边长为2，故答案为2．
9等边三角形的三个角都等于60°
1已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（　　）
A.∠B B.∠BFD C.∠ADE D.∠BDF
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵∠EDF+∠BDF+ADE=180°，∠B+∠BDF+∠BFD=180°，
∴60°+∠BDF+∠ADE=60°+∠BDF+∠BFD，
∴∠ADE=∠BFD，
∵∠A+∠ADE+∠AED=∠B+∠BFD+∠BDF=180°，∵∠A=∠B=60°，
∴∠AED=∠BDF．故选D．
2已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】C
【解析】已知三角形为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°．故选C．
3如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE交AD于点F，则∠DFE的度数为 （ ）
A.45° B.55° C.60° D.75°
【答案】D
【解析】∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠BAE=90°+60°=150°，∵AB=AE，
∴∠AEB=×（180°-150°）=15°，
∴∠DFE=∠AEB+∠EAF=15°+60°=75°．故选D．
4如图，△ABC是等边三角形，则∠ABD=　 　度．
【答案】120
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，则∠ABD=120°．故答案为：120．
5三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　 　°．
【答案】140
【解析】∵图中是三个等边三角形，∠3=40°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴80°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，∴∠1+∠2=140°．故答案为：140
6如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数．
【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠2=∠3，
∴∠2+∠BCE=∠3+∠BCE=∠ACB=60°，∴∠BEC=180°﹣（∠2+∠BCE）=180°﹣60°=120°．
10等边三角形中的三线合一
1等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为（　　）
A.75° B.60° C.45° D.30°
【答案】B
【解析】如图，∵等边三角形ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角的平分线，交于点F，∴∠1=∠2=∠ABC=30°，∴∠3=∠1+∠2=60°．故选B．
2在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（　　）
A.4 B.8 C.16 D.32
【答案】C
【解析】∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC的平分线长为16．故选C．
3等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】D
4如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= 　°．
【答案】30
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案为：30．
5如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD．
【答案】证明 ∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，
∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线，
即∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BAE=∠BAD=30°，
在△ABE和△ABD中，AE=AD，∠BAE=∠BAD，AB=AB，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴BE=BD．
6如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE.
【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°.
又CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED.
又∠BCD＝∠CDE＋∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝30°.
∴∠DBC＝∠DEC.
∴BD＝DE(等角对等边)．
11等边三角形的性质与垂直
1如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（　　）
A.14 B.13 C.12 D.无法求出
【答案】A
【解析】∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴BE=AD，∠APQ=∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，在Rt△APQ中，PQ=6，AP=2PQ=12，∴BE=AD=AP+PD=12+2=14．故选A．
2如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵△ABP≌△CDP，∴AB=CD，AP=DP，BP=CP．又∵△ABP与△CDP是两个等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°．
①根据题意，∠BPC=360°﹣60°×2﹣90°=150°，∵BP=PC，∴∠PBC=（180°﹣150°）÷2=15°，故本选项正确；
②∵∠ABC=60°+15°=75°，∵AP=DP，∴∠DAP=45°，∵∠BAP=60°，∴∠BAD=∠BAP+∠DAP=60°+45°=105°，∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，∴AD∥BC；故本选项正确；
③延长CP交于AB于点O．∠APO=180°﹣（∠APD+∠CPD）=180°﹣（90°+60°）=180°﹣150°=30°，∵∠PAB=60°，∴∠AOP=30°+60°=90°，故本选项正确；
④根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，故本选项正确．综上所述，4个命题都正确．故选D．
3如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，则∠EDF的度数为 ．
【答案】60°
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，
∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=360°﹣60°﹣150°﹣90°=60°．故答案为：60°．
4如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BD=2，以AD为一边向右作等边三角形ADE．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断AC，DE的位置关系，并给出证明．
【答案】解 （1）∵在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=2，∴BD=CD=2，∴BC=BD+CD=4，∴等边△ABC的周长为AB+BC+CA=3BC=12．
（2）AC，DE的位置关系为AC⊥DE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠C=60°，∠ADE=60°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC⊥DE．
5如图，在等边三角形ABC中，点P是AB边上的任意一点（点P不与点A、点B重合），过点P作PD⊥AB，交直线BC于点D，作PE⊥AC，垂足为点F．求∠APE的度数.
【答案】解 ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠APE=180°﹣∠A﹣∠AEP=180°﹣60°﹣90°=30°.
12等边三角形的性质综合
1如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（　　）
A.15° B.30° C.45° D.60°
【答案】D
【解析】在△ABD和△BCE中，AB=BC，∠ABC=∠ACB，BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠1=∠CBE，∵∠2=∠1+∠ABE，∴∠2=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．故选D．
2如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，∠EBD=62°，则∠AEB的度数为（　　）
A.112° B.122° C.132° D.128°
【答案】B
【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，又∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ECD=∠BCE+∠BCD，∴∠BCD=∠ACE，△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠CAE，即62°﹣∠EBC=60°﹣∠BAE，即62°﹣（60°﹣∠ABE）=60°﹣∠BAE，∴∠ABE+∠BAE=60°+60°﹣62°=58°，∴∠AEB=180°﹣（∠ABE+∠BAE）=180°﹣58°=122°．故选B．
3如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（　　）
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】∵△DAC和△EBC都是等边三角形，∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS）（①正确）；∴∠AEC=∠DBC，∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠DCE=∠ECB=60°，∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=60°，∠AEC=∠DBC，∴△EMC≌△BNC（ASA），∴CM=CN（②正确）；
∵AC=DC，在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC＞60°，而DN所对的角为60°，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN，∴③错误；
∴正确的结论有两个．故选B．
4如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，若BO+OC=m，OE+OD=n，则BD的长为　 　．（用含m，n的式子表示）
【答案】（m+n）
【解析】∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，∴∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，EA=BA，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴EC=BD，∵BO+OC=m，OE+OD=n，∴BO+OC+OE+OD=m+n，∴EC+BD=m+n，∴BD=（m+n）．
5如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 度．
【答案】30
【解析】如图，作AB的垂直平分线，∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰三角形，∴AB的垂直平分线必过C，D两点，∴∠BCE=30°，∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，∴△BDC≌△BDP，∴∠BPD=∠ECB=30°．故答案为：30．
6如图，点M，N分别是等边△ABC边AB，CA的延长线上的点，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．求证：NC=BM+MN．
【答案】证明 在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中，BD=DC，∠MBD=∠ECD，BM=EC，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，ND=ND，∠MDN=∠EDN，MD=DE，
∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，
∴CN=NE+CE=MN+BM．
13定义判定等边三角形
1用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　）
A.39 B.27 C.24 D.25
【答案】B
【解析】设增加x个小木棒时拼成13个等边三角形．1+=13，x=24，24+3=27．故选B．
2一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
【答案】D
【解析】∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，即三角形任意一边上的高与中线重合，∴这个三角形的三边都相等，∴这个三角形必为等边三角形．故选D．
3若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】已知一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则角平分线分成的两个三角形全等（ASA），则这两个角所在的边均相等，即三边相等，所以这是一个等边三角形．故选C．
4在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　 　．
【答案】8
【解析】连接相邻的点，图中等边三角形有△ABD，△BCE，△BDE，△DFG，△DEG，△EGH， △BFH，△ACG，共8个，故答案为8．
5如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形．
【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°．
∵AB=BC=CA，AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，
∴AF=BD=CE．
又∵AE=BF=CD，∴△AEF≌△BFD≌△DCE．
∴EF=FD=DE．即△DEF是等边三角形．
14三个角都相等的三角形是等边三角形
1有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（　　）
A.可以是顶角不为60°等腰三角形
B.仅有等边三角形
C.一角为60°的非等腰三角形
D.不能确定
【答案】B
【解析】∵有一个外角是120°，∴该角对应的角为60°，又∵另外两个外角相等，∴另外两个外角对应的内角也相等，∵有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，∴该三角形一定为等边三角形．故选B．
2在△ABC中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC是（ ）
A.钝角三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【答案】D
【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A+∠B=120°，∴∠C=60°；而∠C=∠A，∴∠A=60°，△ABC是等边三角形．故选D．
3在△ABC中，∠A=60°，∠B=　 　度时，△ABC是等边三角形．
【答案】60
【解析】因为三个内角都相等的三角形是等边三角形，即每个角均为60°，所以∠B=60°．
4如图将边长为5cm的等边△ABC，沿BC向右平移3cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是　 　三角形，DM=　 　cm．
【答案】等边　3
【解析】∵AB∥DE，∴∠MEC=∠B，∠CME=∠A，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠MEC=∠EMC=∠ACB，
∴△MEC是等边三角形，
∵BE=3cm，∴EC=2cm，
∴DM=DE﹣EM=5﹣2=3(cm)．
5如图，在一个池塘旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置），测得的相关数据为∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=50米，求AC的长.
【答案】解 ∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC=50米，
∴AC=50米．
15有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
1若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　）
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.上述三种情形都有可能
【答案】C
【解析】因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．故选C．
2若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　）
A.钝角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【答案】D
【解析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为等边三角形．故选D．
3已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　）
A.等腰直角三角形
B.一般的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
【答案】C
【解析】①120°的角为顶角的外角，则顶角为180°﹣120°=60°，底角为（180°﹣60°）÷2=60°，三角形为等边三角形；
②120°的角为底角的外角，则底角为180°﹣120°=60°，顶角为180°﹣60°×2=60°，三角形为等边三角形．故选C．
4在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　 　．
【答案】(此题答案不唯一) AB=AC或AB=BC或AC=BC
5一个等腰三角形的一条边长为7，一个外角为120°，则这个三角形的周长为　 　．
【答案】21
【解析】∵等腰三角形一个外角为120°，则内角为60°，∴该三角形为等边三角形．从而知周长为3×7=21．故答案为21．
6如图所示，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC=∠DAC，CE∥AB．求证：△CDE是等边三角形．
【答案】证明 ∵∠ABE+∠CBE=60°，∠CAD+∠ADC=60°，∠EBC=∠DAC，
∴∠ABE=∠ADC．又CE∥AB，
∴∠BEC=∠ABE．
∴∠BEC=∠ADC．又BC=AC，∠EBC=∠DAC，
∴△BCE≌△ACD．∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，
即∠ECD=∠ACB=60°．
∴△CDE是等边三角形．
7已知，如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E，若∠A=60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
【答案】解 △DEC是等边三角形，理由：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥AB，∴∠CED=∠B，∴∠C=∠CDE；∴ED=EC，∵DE∥AB，∴∠DEC=∠A=60°，∴△DEC是等边三角形．
16等边三角形的性质和判定
1如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ，则∠CPQ度数为（ ）
A.75° B.60° C.55° D.45°
【答案】B
【解析】∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，在△ACP和△BCQ中，∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACP=∠BCQ=60°，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP=CQ，∴△PCQ为等边三角形，∴∠CPQ度数为60°．故选B．
2下列说法正确的是（　　）
A.等腰三角形的两条高相等
B.有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形
C.等腰三角形一定是锐角三角形
D.三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
【答案】D
3下列关于等边三角形的说法正确的有（　　）
①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°；
②三边相等的三角形是等边三角形；
③三角相等的三角形是等边三角形；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
【答案】D
4如图，△ABC是等边三角形，点D为 AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE．若CD＝1，CE＝3，则BC＝_____________．
【答案】4
【解析】如图，在CB上取一点G使得CG=CD，由∠ACB=60°得△CDG是等边三角形，∴CD=DG=CG，∴∠BDE=∠CDG=60°，∴∠BDG=∠EDC，∴△BDG≌△EDC，∴BG=CE，∴BC=BG+CG=CE+CD=4．
5如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD=3，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CDE为等边三角形；
（2）求DF的长．
【答案】（1）证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC是等边三角形．
（2）解 ∵△EDC是等边三角形，
∴DE=DC=CE=3，∠DEC=∠DCE=60°
在Rt△DEF中，∵∠DEF=90°，
∴∠CEF=30°，
∵∠DCE=60°，
∴∠F=∠DCE-∠CEF=30°，
∴∠F=∠CEF=30°，
∴CE=CF，
∵DC=CE=3，
∴DC=CF=3，
∴DF=2DC=6.
17等边三角形和等腰三角形的性质
1下列叙述正确的是（　　）
A.等腰三角形是等边三角形
B.所有的等边三角形形状都相同，所以全等
C.三个角之比为1∶2∶3的三角形是等腰三角形
D.等边三角形的三条中线所在直线是它的三条对称轴
【答案】D
【解析】A.根据等腰三角形不一定是等边三角形，故此选项错误；
B.所有的等边三角形形状都相同，但是不一定全等，故此选项错误；
C.三个角之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形，故此选项错误；
D.等边三角形的三条中线是它的三条对称轴所在直线，故此选项正确．故选：D．
2下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，故本选项错误，②等腰三角形两腰上的高相等，正确；③等腰三角形的最小边不一定是底边，故本选项错误；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确；⑤等腰三角形不一定是锐角三角形，故本选项错误；其中正确的有2个．故选B．
3关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（　　）
A.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B.等边三角形是等腰三角形的特殊情况
C.等边三角形的底角与顶角相等
D.等边三角形包括等腰三角形
【答案】D
4如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度．
【答案】15
【解析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，因为DF＝DE，所以∠EFD＝∠E,又CG＝CD，所以∠CGD＝∠CDG=2∠E,所以∠ACB＝2∠CDG =4∠E =60°，所以∠E =15°．
5如图，△ABC为等边三角形，以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，则∠CBD=____________°．
【答案】15
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，∵△ACD是等腰直角三角形，∴AC=CD，∴BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=150°，∴∠CBD=15°．故答案为：15．
6如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD=AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．
【答案】解 ∵在等边三角形ABC中，
∴AB=AC（等边三角形的意义），
∵AD⊥BC（已知），
∴∠CAD=∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵∠BAC=60°（等边三角形的性质），
∴∠CAD=30°（等量代换），
∵AD=AC（已知），
∴∠ACD=∠ADC（等边对等角），
∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠ACD=75°（等式的性质），
∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E=180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠E=45°（等式的性质）．
7如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．试探究BM，MN，CN之间的数量关系，并加以证明．
【答案】解 BM+CN=NM．证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠ABD=∠DCE=90°，∴在Rt△DCE和Rt△DBM中，∵BD=CD，BM=EC，∴Rt△DCE≌Rt△DBM，∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE=60°，在△DMN和△DEN中，∵ DM=DE，∠MDN=∠NDE，DN=DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴NM = EN，即NM =CE+CN，∴BM+CN=NM．
18等边三角形的性质和等腰三角形的判定
1如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】B
【解析】根据已知条件易证△AOB，△AOC，△BOC，△BOD，△COE，△ODE均为等腰三角形．故答案选B．
2如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　）
A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a
【答案】D
【解析】∵△ABC的周长为18，∴BC=AC=18÷3=6，∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴CD=AC=×6=3，∠CBD=×60°=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠CDE=×60°=30°，∴∠CBD=∠E，∴BD=DE，∴△BDE的周长=6+3+a+a=9+2a．故选D．
3如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　）
①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴BD平分∠ABC，BD⊥AC；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC，∴DB=DE．∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°，
∴这四项都是正确的．故选：D．
4如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　 ．
【答案】75°
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵BD=BC，∴AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵∠CBD=90°，∴∠ABD=90°+60°=150°，∴∠BDA=15°，∴∠1=90°-15°=75°．故答案为75°．
5已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　 　；②　 　；③　 ；④　 ．
【答案】①DB=DE　②BD⊥AC　③∠DBC=∠DEC=30°　④△ABD≌△CBD　⑤△DCE∽△BDE　⑥∠CDE=30°　⑦BD平分∠ABC（任写其中四个都可以）
6如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°．若AD=5，求DE的长．
【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠DAC=30°，
∵点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°，
∴AD=DE，∵AD=5，∴DE=5.
7如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD．
（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
（2）求证：AD=DE．
【答案】（1）解 ∵等边三角形三线合一，
∴BD为∠ABC的角平分线，
∴∠BAD=30°，∠ABD=60°，
∵BE=BD，∴∠BDE=∠BED，
∵∠BDE+∠BED=∠ABD，
∴∠BED=∠BDE=30°，
∴∠BAD=∠BDE=30°．
（2）证明 ∵∠BAD=∠BDE=30°，
∴AD=DE.
19等边三角形和等腰三角形的判定与性质
1如图，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的（　　）
A.4倍 B.3倍 C.2倍 D.1倍
【答案】A
【解析】∵AC=CD=DA=BC=DE，∴△ACD是等边三角形，△BCA和△ADE均为等腰三角形，故知∠BAC=30°，而∠BAE=120°．故选A．
2如图，P是△ABC的BC边上的一点，且BP=PA=AC=PC,则∠B的度数为（ ）
A.50° B.40° C.30° D.20°
【答案】C
【解析】∵PA=AC=PC，∴△APC是等边三角形，∠C=∠PAC=∠APC=60°；∵∠APC是△ABP的一个外角，∴∠APC=∠B+∠BAP=60°，∵BP=PA，∴∠B=∠BAP=60°÷2=30°．故选C．
3如图，等边三角形ABC的三条中线交于点O，则图中除△ABC外，还有　 　是等腰三角形．
【答案】△OAB，△OBC，△OAC
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AE，BF，CD为等边三角形的中线，∴AE，BF，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴∠BAO=∠OAC=∠OCA=∠OCB=∠OBC=∠OBA=30°，∴△OAB，△OBC，△OAC都为等腰三角形．故答案为△OAB，△OBC，△OAC．
4如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
【答案】证明 连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，即△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．
.
5如图，P是等边△ABC的AB边上一点，过P作PE⊥AC于E，在BC的延长线上截取CQ=AP，连接PQ交AC于点D．
（1）若∠Q=28°，求∠EPD的度数；
（2）求证：PD=QD．
【答案】（1）解 ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵∠Q=28°，∴∠EDP=∠CDQ=∠ACB﹣∠Q=32°，∵PE⊥AC，∴∠PED=90°，∴∠EPD=90°﹣∠EDP=58°．
（2）证明 作PF∥BC交AC于F，如图所示，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD，∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=AF=PF．∵CQ=AP，∴PF=CQ，在△PFD和△QCD中，∠FPD=∠CQD，PF=CQ，
∠PFD=∠QCD，∴△PFD≌△QCD（ASA），∴PD=QD．
20含30°角的直角三角形的性质
1如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(　　)
A.6米 B.9米 C.12米 D.15米
【答案】B
2已知∠ACB的角平分线CE，O是CE上一点，OP∥BC，PO=2，OD⊥CB于D，∠ACE=15°，则OD的长是（ ）
A. B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】作OF⊥AC于F，如图，
∵CE是∠ACB的角平分线，∠ACE=15°
，∴∠ACB=2∠ACE=30°，∵OP∥BC，∴∠APO=∠ACB=30°，∴OF=PO=1，
∵CE是∠ACB的角平分线，OF⊥AC，OD⊥CB，∴OD=OF=1．故选：B．
3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，如图，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．该城市是否会受到这次台风的影响 请说明理由．
【答案】解 如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD是该城市离台风中心最近的距离．
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=220 km，所以AD=110 km．
当台风到达点D时，城市A所受风力达到12-110÷20=6.5（级）．
故城市A受到此次台风影响．
4在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4.
（1）求∠CBD的度数；
（2）求AB的长.
【答案】解 （1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,∴∠ABD=30°.又∵AB∥CD,
∴∠CDB=∠ABD=30°.∴∠CBD=∠CDB=30°.
（2）如图，过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE,
则DE=EB,∴∠EDB=∠EBD=30°.∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,∴CM=CD=2.
又∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,∠EMB=∠CMB=90°,
∴△CBM≌△EBM(ASA),
∴EM=CM=2.∴DE=2EM=4.
∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,∠A=60°,∴AD=DE=4.
又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,∴AB=2AD=8.
21含30°角的直角三角形与等腰三角形
1如图，∠DAE=∠FAD=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】B
【解析】作DG⊥AC，垂足为G，如图．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DEG=15°×2=30°，∴ED=AE=8，∴在Rt△DEG中，DG=ED=×8=2，∴DF=DG=4．故选B．
2如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】如图，过点P作PD⊥MN，交MN于点D，
在Rt△OPD中，∠AOB＝60°，OP＝8，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP＝×8＝4，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝×2＝1，
∴OM＝OD－MD＝4－1＝3.
3如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，连接CE交AD于点H，则图中的等腰三角形有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】B
【解析】∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是角平分线，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴AD=BD．∴△ABD是等腰三角形．∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴CD=ED，∴AC=AE，∴△CDE，△ACE是等腰三角形；又△CEB也是等腰三角形，显然此图中有4个等腰三角形．故选B．
4如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AB，交BC于点D，且∠CAD=30°，CD=3，则BD= ．
【答案】6
【解析】∠CAD=30°，AD⊥AB，可得∠CAB=120°；由AB=AC可得∠B=∠C=30°，所以∠CAD=∠C=30°．所以CD=AD=3，在Rt△ABD中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2AD=6．
5如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
【答案】证明 ∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C= (180°-120°)=30°.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE中，∵∠B=30°,
∴DE=BD.
同理在Rt△CDF中，DF=CD.
∴DE+DF=BD+CD= (BD+CD)= BC.
22含30°角的直角三角形与等边三角形
1在△ABC中，∠C=90°，AB=10，点D在AB上，且△ADC是等边三角形，则AD的长是（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B
【解析】∵△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，AC=AD，∴∠B=90°﹣60°=30°，∵AB=10，∴AC=AB=×10=5，∴AD=5．故选B．
2如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ）
A.2 B.3 C.1 D.8
【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC．∠BAC=∠C．
又∵AD=CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD=∠CAE．
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．
∴∠BPF=∠APD=60°．
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，∴∠PBF=30°．
∴PF=PB=×4=2．
故选A．
3如图，已知，等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．则线段BE的长为________．
【答案】
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠C=60°，AB=AC=4，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD=∠CEF=90°，∴∠ADF=∠CFE=30°，∴AF=AD，CE=CF，∵点D是AB的中点，∴AD=2，∴AF=1，CF=3，CE=，∴BE=．故答案为．
4如图，在等边三角形ABC中AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BE=2，则AF=　 　．
【答案】6
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，又DE⊥AB，
∴∠BDE=30°，
∴BD=2BE=4，∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠BAD=30°，
∴AB=2BD=8，∴AE=6，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AF=AE=6．
故答案为：6．
5如图，点P是等边△ABC的BC边上一点，PM⊥AB，PN⊥AC．试猜想△AMN与四边形BMNC的周长有什么关系？并说明理由．
【答案】解 △AMN与四边形BMNC的周长相等.证明:∵△ABC是等边三角形,PM⊥AB,PN⊥AC,∴AB=AC=BC，∠BPM=30°,∠CPM=30°,∴BM=BP,CN=CP,∴四边形BMNC的周长=BC＋BC＋MN=BC＋MN,△AMN的周长=(AB－BM)＋MN＋(AC－CN)= BC＋MN,∴△AMN与四边形BMNC的周长相等.
6已知，如图，等边△ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．
【答案】证明 ∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，AB=BC，
∵AE=CD，AC=BC，∴EC=BD；
在△BEC与△ADB中，EC=DB，∠C=∠ABC，AB=BC，
∴△BEC≌△ADB（SAS），
∴∠EBC=∠BAD；
∵∠ABE+∠EBC=60°，则∠ABE+∠BAD=60°，
∵∠BPQ是△ABP外角，
∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，
又∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．
23反证法
1用反证法证明：若abc=0，则a,b,c至少有一个为0，应该假设（　　）
A.a,b,c没有一个为0
B.a,b,c只有一个为0
C.a,b,c至多一个为0
D.a,b,c三个都为0
【答案】A
2用反证法证明，“在△ABC中，∠A，∠B对边是a，b.若∠A＜∠B，则a＜b”第一步应假设（　　）
A.a＞b B.a=b C.a≤b D.a≥b
【答案】D
3对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（　　）
A.∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β＞∠α
B.∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠α
C.∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β＜∠α
D.两个角互为邻补角
【答案】C
4用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是： ．
【答案】等腰三角形的底角都是直角或钝角
5用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设 ．
【答案】|a|≥2
6利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．
【答案】证明 假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，
不妨设∠A，∠B为钝角，
∴∠A+∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
故假设不成立原命题正确．

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