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北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 分层练习
直角三角形的性质
1如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠B=56°，AD⊥BC，DE∥AC．则∠ADE的度数为（　　）
A.56° B.46° C.44° D.34°
2将两把相同的直尺如图放置．若∠1=164°，则∠2的度数等于（　　）
A.103° B.104° C.105° D.106°
3直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是 .
4把下面的证明过程补充完整：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠1=∠A．
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°（　　　　 　），
∴∠B+∠A=90°（　　　　 　）．
∵（　　　　 　）（已知），
∴∠BDC=90° （　　　　 　）．
∴△BDC是直角三角形（　　　　 　）．
∴∠B+∠1=90°（　　　　 　）．
∴∠1=∠A（　　　　 　）．
5如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF.
6如图，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，∠1=50°，∠2=60°，求∠A的度数．
勾股定理
1如图，字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A.4 B.16 C.36 D.64
2如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为2，3，1，2，则最大正方形E的面积是（　　）
A.16 B.17 C.18 D.19
3在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则△ABC的面积为（　　）
A.12 B.24 C.10 D.20
4如图，以直角三角形三边为直径，分别向外作半圆，半圆面积从小到大依次记为S1，S2，S3，已知S1＝2，S2＝3，则S3＝　 　．
5如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，垂足为点D，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点G，则GE的长为　 　．
6如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．
（1）求CD的长；
（2）求DE的长．
最短路径问题
1如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（　　）
A.70cm B.350cm C.280cm D.300cm
2某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　）
A.30cm B.30cm C.60cm D.20πcm
3如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　）
A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm
4一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　 　米．
5如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　 　cm．（杯壁厚度不计）
6如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3）
勾股定理的逆定理
1如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝2，CD＝1，DA＝3，且∠ABC＝90°，则∠BCD的度数是（　　）
A.90° B.120° C.135° D.150°
2下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A.a∶b∶c＝1∶∶2
B.a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0）
C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
3如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝　 　°．
4如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上．
（1）判断∠BCD是否为直角：　 　.（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形ABCD的面积为 　 　．
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
5如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）线段AB的长为 　 　；
（2）若△ABC是直角三角形，且边BC的长度为，请在图中确定点C的位置，并补全△ABC．
勾股数
1阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：
①7不是广义勾股数；
②13是广义勾股数；
③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　）
A.①② B.①②④ C.②④ D.①④
2若3，a，5是一组勾股数，则a的值为（　　）
A. B.4 C.或4 D.2
3勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1）……分析上面规律，第7个勾股数组为 　 　．
4清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
（1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　 　（最大数不超过18）；
（2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明．
互逆命题与互逆定理
1下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A.对顶角相等
B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数
C.两直线平行，内错角相等
D.如果a=b,那么a2=b2
2下列各命题的逆命题是假命题的是（　　）
A.两直线平行，同旁内角互补
B.如果a2=b2，那么a=b
C.若ma2＞na2，则m＞n
D.相等的角是对顶角
3已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（　　）
A.如果a=b,那么|a|=|b|
B.如果|a|=|b|，那么a=b
C.如果a≠b,那么|a|≠|b|
D.如果|a|≠|b|，那么a≠b
4命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
5如图，点F，D在△ABC的边BC上，点E，G分别在AB，AC上．请你从三个选项：①∠1+∠2=180°，②∠DGC=∠BAC，③EF∥AD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
用HL判定三角形全等
1如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
2如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　）
A.SSS B.AAS C.SAS D.HL
3如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为 .
4如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
5如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
用HL证明边或角相等
1如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
2如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
3如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．
4如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．
（1）请说明∠1=∠C；
（2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系．
HL的应用
1如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小间的关系是（　　）
A.∠ABC=∠DFE
B.∠ABC＞∠DFE
C.∠ABC＜∠DFE
D.∠ABC+∠DFE=90°
2如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
3如图，太阳光线AC与A′C′平行且相等，同一时刻两根垂直于地面且高度相同的木杆在太阳光照射下的影子BC与B′C′一样长吗？说说你的理由．
4一个风筝如图所示，两翼AB=AC，横骨BF⊥AC，CE⊥AB，问其中骨AD能平分∠BAC吗？为什么？
求高度或距离
1如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（　　）
A.北偏东40° B.北偏东50° C.东偏北60° D.东偏北70°
2某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　）
A.15cm B.18cm C.21cm D.24cm
3如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（　　）
A.0.4小时 B.0.5小时 C.0.6小时 D.0.8小时
4如图所示的衣架可近似看作一个等腰三角形（即△ABC），其中AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，则高AD＝　 　cm．
5如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
6学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 分层练习（参考答案）
1直角三角形的性质
1如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠B=56°，AD⊥BC，DE∥AC．则∠ADE的度数为（　　）
A.56° B.46° C.44° D.34°
【答案】A
【解析】∵∠BAC=90°，DE∥AC（已知），
∴∠DEA=180°-∠BAC=90°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵AD⊥BC，∠B=56°，
∴∠BAD=34°，
在△ADE中，DE⊥AB，
∴∠ADE=56°．
故选：A．
2将两把相同的直尺如图放置．若∠1=164°，则∠2的度数等于（　　）
A.103° B.104° C.105° D.106°
【答案】D
【解析】如图，
∵∠3=180°-∠1=16°，
∴∠4=90°-∠3=74°，
∴∠2=180°-∠4=106°；
故选：D．
3直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是 .
【答案】35
【解析】设较小锐角的度数为x,则较大锐角的度数为x+20°，
根据题意得x+x+20°=90°，
解得x=35°，
∴较小锐角的度数为35°，
故答案为35．
4把下面的证明过程补充完整：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠1=∠A．
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°（　　　　 　），
∴∠B+∠A=90°（　　　　 　）．
∵（　　　　 　）（已知），
∴∠BDC=90° （　　　　 　）．
∴△BDC是直角三角形（　　　　 　）．
∴∠B+∠1=90°（　　　　 　）．
∴∠1=∠A（　　　　 　）．
【答案】已知
直角三角形的两个锐角互余
CD⊥AB
垂直的定义
直角三角形的定义
直角三角形的两个锐角互余
同角的余角相等
5如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF.
【答案】证明 ∵AE平分∠CAB（已知），
∴∠CAE=∠FAB（角平分线的定义），
∵∠ACE=90°（已知），
∴∠CAE+∠CEF=90°（直角三角形的两锐角互余），
∵CD是△ABC的高（已知），
∴∠FDA=90°（三角形高的定义），
∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的两锐角互余），
∴∠CEF=∠AFD（等角的余角相等），
∵∠CFE=∠AFD（对顶角相等），
∴∠CFE=∠CEF（等量代换），
6如图，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，∠1=50°，∠2=60°，求∠A的度数．
【答案】解 ∵MN∥EF，
∴∠BCD=∠1=50°．
在△BCD中，∠BCD=50°，∠2=60°，
∴∠ABC=180°-∠BCD-∠2=70°．
在Rt△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC=20°．
2勾股定理
1如图，字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A.4 B.16 C.36 D.64
【答案】C
【解析】∵正方形PQED的面积等于64，
∴PQ2＝64，
∵正方形PRGF的面积为100，
∴PR2＝100，
又△PQR为直角三角形，
根据勾股定理得，PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝100﹣64＝36，
则正方形QMNR的面积为36．
故选：C．
2如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为2，3，1，2，则最大正方形E的面积是（　　）
A.16 B.17 C.18 D.19
【答案】C
【解析】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得
x2＝22+32＝13；
y2＝12+22＝5；
z2＝x2+y2＝18；
即最大正方形E的面积为z2＝18．
故选：C．
3在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则△ABC的面积为（　　）
A.12 B.24 C.10 D.20
【答案】A
【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝BC＝×6＝3，
在△ABD中，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴AD＝＝＝4，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×6＝12，
故选：A．
4如图，以直角三角形三边为直径，分别向外作半圆，半圆面积从小到大依次记为S1，S2，S3，已知S1＝2，S2＝3，则S3＝　 　．
【答案】5
【解析】设直角三角形三边分别为a，b，c，则三个半圆的半径分别为，，，
由勾股定理得a2+b2＝c2，即（）2+（）2＝（）2
两边同时乘以π得π（）2+π（）2＝π（）2
即S1，S2，S3之间的关系是S1+S2＝S3，
∵S1＝2，S2＝3，
∴S3＝5，
故答案为：5．
5如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，垂足为点D，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点G，则GE的长为　 　．
【答案】
【解析】∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，BC＝10，
∴BD＝CD＝BC＝5，∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝12，
∵BE是AC边上的中线，
∴点G为△ABC的重心，
∴DG＝AD＝4，GE＝BG，
∴BG＝＝＝，
∴GE＝BG＝，
故答案为：．
6如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．
（1）求CD的长；
（2）求DE的长．
【答案】解 （1）∵CE是AB边上的中线，
∴AE＝BE＝5，
∴AB＝10，
又∵AC＝8，BC＝6，
∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵CD是△ABC的高，
∴S△ABC=，
∴CD＝=4.8；
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，
BD＝＝3.6，
∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4．
3最短路径问题
1如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（　　）
A.70cm B.350cm C.280cm D.300cm
【答案】B
【解析】将圆柱表面切开展开呈长方形，
则求螺旋线长为七个长方形并排后的长方形的对角线长，
因为圆柱高2.1m，底面周长0.4m，
x2＝（40×7）2+2102＝122500，
解得x＝350，
所以，彩带长至少是350cm．
故选：B．
2某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　）
A.30cm B.30cm C.60cm D.20πcm
【答案】B
【解析】∵圆锥的底面圆周长为20πcm，
∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm，
设扇形的圆心角为n度，
∴＝20π，
解得n＝120，
∴∠ABA′＝120°，
作BC⊥AA′于点C，
∴∠BAA′＝30°，
∴BC＝15cm，
∴AC＝15cm，
∴AA′＝2AC＝30cm，
∴这条彩带的最短长度是30cm．
故选：B．
3如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　）
A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm
【答案】C
【解析】如图所示，将长方体的侧面展开，AC＝2（5+7）＝24（cm），
BC＝＝10（cm），
由勾股定理可得，AB＝＝＝26（cm），
∴所用细线最短为26cm，
故选：C．
4一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　 　米．
【答案】13
【解析】如图所示，
∵AC＝12m，BC＝5m，
∴AB＝（m）
答：梯子最短需要13m．
故答案为13．
5如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　 　cm．（杯壁厚度不计）
【答案】
【解析】如图，
将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离，
AC＝＝（cm）．
答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm．
故答案为：．
6如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3）
【答案】解 把圆柱体展开如图，
∵点B应为展开图长方形一边的中点，
∴AC为底面圆周长的一半，AC＝6cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
∴红线的长为10×2＝20（cm），
∴至少需红线20cm．
4勾股定理的逆定理
1如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝2，CD＝1，DA＝3，且∠ABC＝90°，则∠BCD的度数是（　　）
A.90° B.120° C.135° D.150°
【答案】C
【解析】如图所示，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC=，∠BCA=45°，
又CD＝1，DA＝3，
∴AC2+CD2＝8+1＝9，DA2＝9，
∴AC2+CD2＝DA2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝45°+90°＝135°．
故选：C．
2下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A.a∶b∶c＝1∶∶2
B.a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0）
C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
【答案】D
【解析】A.因为a∶b∶c＝1∶∶2，设a＝x，b＝x，c＝2x，所以x2+（x）2＝（2x）2，故△ABC是直角三角形；
B.因为（9k）2+（40k）2＝（41k）2（k＞0），故△ABC是直角三角形；
C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝90°，故△ABC是直角三角形；
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝75°，故△ABC不是直角三角形．
故选：D．
3如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝　 　°．
【答案】90．
【解析】∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5，
∵BC＝4，
∴AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
故答案为90．
4如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上．
（1）判断∠BCD是否为直角：　 　.（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形ABCD的面积为 　 　．
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
【答案】解 （1）∵CD＝=，
BC＝＝，
BD＝＝4，
∴BD2≠BC2+CD2，
∴∠BCD≠90°，
∴∠BCD不是直角．
（2）四边形ABCD的面积＝5×5﹣×1×5﹣×2×5﹣×1×3﹣1×1﹣×1×2＝14．
（3）如图，四边形ABED即为所求（答案不唯一）．
5如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）线段AB的长为 　 　；
（2）若△ABC是直角三角形，且边BC的长度为，请在图中确定点C的位置，并补全△ABC．
【答案】解 （1）AB＝＝5．
（2）如图所示．
5勾股数
1阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：
①7不是广义勾股数；
②13是广义勾股数；
③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　）
A.①② B.①②④ C.②④ D.①④
【答案】A
【解析】①∵7不能表示为两个正整数的平方和，
∴7不是广义勾股数，故①结论正确；
②∵13＝22+32，
∴13是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；
两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，
如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，
∴依次正确的是①②．
故选：A．
2若3，a，5是一组勾股数，则a的值为（　　）
A. B.4 C.或4 D.2
【答案】B
【解析】∵3，a，5是勾股数，
∴a＝＝4，或a＝＝（舍去）．
故选：B．
3勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为 　 　．
【答案】（15，112，113）
【解析】由勾股数组（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，
4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为5×（11+1）＝60，即（11，60，61），
第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，即（13，84，61），
第7组勾股数中间的数为7×（15+1）＝112，即（15，112，113），
故答案为（15，112，113）．
4清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
（1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　 　（最大数不超过18）；
（2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明．
【答案】解 （1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5．
故答案为：3，4，5．
（2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2．
证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2
＝k2+k4+1﹣k2
＝k4+k2+1；
右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1．
∴左边＝右边，
∴等式成立．
6互逆命题与互逆定理
1下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A.对顶角相等
B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数
C.两直线平行，内错角相等
D.如果a=b,那么a2=b2
【答案】C
【解析】A.对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数的逆命题是如果两个数的和是偶数，那么这两个数是偶数，是假命题，不符合题意；
C.两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
D.如果a=b,那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=b,是假命题，不符合题意．
故选：C．
2下列各命题的逆命题是假命题的是（　　）
A.两直线平行，同旁内角互补
B.如果a2=b2，那么a=b
C.若ma2＞na2，则m＞n
D.相等的角是对顶角
【答案】C
【解析】两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题，故A不符合题意；
如果a2=b2，那么a=b的逆命题是如果a=b,那么a2=b2，逆命题是真命题，故B不符合题意；
若ma2＞na2，则m＞n的逆命题是若m＞n,则ma2＞na2，逆命题是假命题，故C符合题意；
相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，逆命题是真命题，故D不符合题意；
故选：C．
3已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（　　）
A.如果a=b,那么|a|=|b|
B.如果|a|=|b|，那么a=b
C.如果a≠b,那么|a|≠|b|
D.如果|a|≠|b|，那么a≠b
【答案】B
【解析】已知本题中命题的题设是a=b,结论是|a|=|b|，
所以它的逆命题中的题设是|a|=|b|，结论是a=b,
所以本题中的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b.
故选：B．
4命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】如果3a=3b,那么a=b 真
5如图，点F，D在△ABC的边BC上，点E，G分别在AB，AC上．请你从三个选项：①∠1+∠2=180°，②∠DGC=∠BAC，③EF∥AD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
【答案】解 条件是：①∠1+∠2=180°，②∠DGC=∠BAC；结论是③EF∥AD，
证明：∵∠DGC=∠BAC，
∴DG∥AB，
∴∠BAD=∠1，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠BAD=180°，
∴EF∥AD，
7用HL判定三角形全等
1如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
【答案】C
【解析】①△ABC≌△DCB ∵AB∥EF∥DC ∴∠ABC=∠DCB
∵AB=DC，BC=BC ∴△ABC≌△DCB；
②△ABE≌△CDE ∵∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，AB=DC，∴△ABE≌△CDE；
③△BFE≌△CFE，∵BE=EC，EF=EF，∠BEF=∠CEF，∴△BFE≌△CFE．
∴图中的全等三角形共有3对．
2如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　）
A.SSS B.AAS C.SAS D.HL
【答案】C
【解析】两边及夹角对应相等的两个三角形全等，这为“边角边”定理，简写成“SAS”． 故选C．
3如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为 .
【答案】HL
【解析】∵AB⊥CF，AB∥DE，∴△ABC和△DEF都是直角三角形．∵CE=FB，BE为公共部分，∴CB=EF，又∵AC=DF，∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．故填HL．
4如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
【答案】AB=CD
【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等．
5如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
【答案】证明 ∵BF=EC，
∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
8用HL证明边或角相等
1如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
【答案】C
【解析】
∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，∴∠A=∠D=90°（A正确）．
又∵AC=DB，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB（B正确），
∴AB=CD．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴OA=OD（D正确）．
C中OD，OB不是对应边，不相等．故选C．
2如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【答案】B
【解析】∵∠AFD＝135°，∴∠CFD＝45°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠FDC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)，
∴∠BDE＝∠CFD＝45°，
∴∠EDF＝180°－∠FDC－∠BDE＝45°.
3如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．
【答案】证明 ∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，AC=BD，
AB=BA∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．
4如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．
（1）请说明∠1=∠C；
（2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系．
【答案】解 （1）∵AD⊥BC于D，
∴∠BDE=∠ADC=90°．
∵AD=BD，AC=BE，
∴△BDE≌△ADC（HL）．
∴∠1=∠C．
（2）由（1）知△BDE≌△ADC．
∴DE=DC．
9HL的应用
1如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小间的关系是（　　）
A.∠ABC=∠DFE
B.∠ABC＞∠DFE
C.∠ABC＜∠DFE
D.∠ABC+∠DFE=90°
【答案】D
【解析】∵BC=EF，AC=DF，∠CAB=∠FDE=90°，
∴△ABC≌△DEF（HL），
∴∠BCA=∠DFE．
又∵在Rt△ABC中∠ABC+∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°．故选D.
2如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
则（1）AB=DE，正确；
（2）∠ABC+∠DFE=90°，正确；
（3）∠ABC=∠DEF．故选 C．
3如图，太阳光线AC与A′C′平行且相等，同一时刻两根垂直于地面且高度相同的木杆在太阳光照射下的影子BC与B′C′一样长吗？说说你的理由．
【答案】解 影子一样长，理由如下：
∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′，
∴∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)，∴BC＝B′C′.
即影子一样长．
4一个风筝如图所示，两翼AB=AC，横骨BF⊥AC，CE⊥AB，问其中骨AD能平分∠BAC吗？为什么？
【答案】解 中骨AD能平分∠BAC．
理由如下：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AFB=∠AEC=90°，
又∵AB=AC，∠BAF=∠CAE，
∴△BAF≌△CAE，
∴AF=AE．
在Rt△AED和Rt△AFD中，AD=AD，AE=AF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴∠EAD=∠FAD，
答：中骨AD能平分∠BAC．
10求高度或距离
1如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（　　）
A.北偏东40° B.北偏东50° C.东偏北60° D.东偏北70°
【答案】B
【解析】∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
由题意得，90°﹣40°＝50°，
∴点B在点O的北偏东50°方向，
故选：B．
2某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　）
A.15cm B.18cm C.21cm D.24cm
【答案】A
【解析】依题意，AC＝24，BC＝7cm，
在Rt△ABC中，AB=25cm，
∵AB＝AD＝25，DE＝20，
在Rt△ADE中，AE==15cm，
故选：A．
3如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（　　）
A.0.4小时 B.0.5小时 C.0.6小时 D.0.8小时
【答案】A
【解析】设最短用时t小时，甲、乙两人相距6千米．
根据题意，得BC＝（10﹣16t）千米，CD＝12t千米，
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2+CD2＝BD2，
即（10﹣16t）2+（12t）2＝62，整理得（5t﹣2）2＝0，
解得t＝，即t＝0.4．
故选：A．
4如图所示的衣架可近似看作一个等腰三角形（即△ABC），其中AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，则高AD＝　 　cm．
【答案】8
【解析】∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，
∴BD＝CD＝BC＝15cm．
在直角△ABD中，由勾股定理知，AD＝＝＝8（cm）．
故答案为：8．
5如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【答案】解 （1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，
∴AC=（米），
∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），
∴BC=（米），
∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米，
答：此人需向右移动的距离为（）米．
（2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），
且此人以0.5米每秒的速度收绳，
∴收绳时间，
答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．
6学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
【答案】解 设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得，AC2＝AE2+CE2，
∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92，
∴x＝13．
答：旗杆AB的高度为13米．

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