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北师大版（2024）八年级下册 1.4 线段的垂直平分线 分层练习
线段垂直平分线的性质
1如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=4cm，△ADC的周长为12cm，则△ABC的周长是（ ）
A.18cm B.20cm C.19cm D.21cm
2如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为（ ）
A.16cm B.28cm C.26cm D.18cm
3如图，已知AE=BE，DE是AB的垂直平分线，BF=12，CF=3，则AC=_________．
4如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G.求△AEG的周长．
线段垂直平分线性质与全等三角形
1如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.△BEC≌△DEC D.AB=BD
2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是AB的垂直平分线，∠CAD∶∠DAB=2∶1，则∠B的度数为（ ）
A.20° B.22.5° C.25° D.30°
3如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AC，交AB于E，交AC于点D，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 度．
4如图，在△ABC中，D为AB上的一点，且DE垂直平分AC，∠B=115°，且∠ACD∶∠BCD=5∶3，则∠ACB=__________度．
5如图，直线AD是线段BC的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD．
6如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD=2∠DAB，求∠B的度数．
线段的垂直平分线与含30°角的直角三角形
1如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不相等的线段有（ ）
A.AC=AE=BE B.AD=BD C.AC=BD D.CD=DE
2如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC等于（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm
3如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°，求立柱BC，DE的长度．
4如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的垂直平分线，BE＝5，求AC的长．
线段垂直平分线的判定
1如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（ ）
A.22cm B.20cm C.18cm D.15cm
2如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
3在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足AB＋BD＝DE，求证：点C在线段AE的垂直平分线上．
4如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD.
线段垂直平分线的性质与判定
1线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB等于（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
2下列说法：
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；
②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3如图，在△ABC中，AC=BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF=23°，求∠BOE的度数．
4如图，已知AB=AD，BC=DC，E是AC上一点.求证：BE=DE.
尺规作图——作线段的垂直平分线
1如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　）
A.7 B.14 C.17 D.20
2如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点C，D，作直线CD交AB于点O，在直线CD上任取一点E(不与O重合)，连接EA，EB，则下列结论不一定成立的是(　　)
A.EA＝EB B.OA＝OB C.OA＝OE D.EO⊥AB
3如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC的一条中位线．（保留作图痕迹，不写作法）
4已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，如果D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等，用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）.
北师大版（2024）八年级下册 1.4 线段的垂直平分线 分层练习（参考答案）
1线段垂直平分线的性质
1如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=4cm，△ADC的周长为12cm，则△ABC的周长是（ ）
A.18cm B.20cm C.19cm D.21cm
【答案】B
【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，BE=AE=4(cm)，
∴AD+CD=BD+CD=BC，AB=BE+AE=8(cm)，∵△ADC的周长为12cm，AC=4cm，
∴AD+CD=12-4=8，即BC=8cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=8+8+4=20(cm)．
2如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为（ ）
A.16cm B.28cm C.26cm D.18cm
【答案】D
【解析】因为DE是△ABC中AC边的垂直平分线，所以AE=CE,所以△EBC的周长=BC+BE+CE=BC+BA=8+10=18(cm)．
3如图，已知AE=BE，DE是AB的垂直平分线，BF=12，CF=3，则AC=_________．
【答案】15
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴AC=AF+CF=BF+CF=12+3=15．
4如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G.求△AEG的周长．
【答案】解 ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.
∵FG是AC的垂直平分线，
∴AG＝CG.
∴△AEG的周长为AE＋AG＋EG＝BE＋CG＋EG＝BC＝10.
2线段垂直平分线性质与全等三角形
1如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.△BEC≌△DEC D.AB=BD
【答案】D
2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是AB的垂直平分线，∠CAD∶∠DAB=2∶1，则∠B的度数为（ ）
A.20° B.22.5° C.25° D.30°
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，EA=EB，∠AED=∠DEB=90°，
∴Rt△DAE≌Rt△DBE，
∴∠B=∠BAD．
∵∠CAD∶∠DAB=2∶1，
∴4∠B=90°，
∴∠B=22.5°．
3如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AC，交AB于E，交AC于点D，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 度．
【答案】50
【解析】∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，AD=CD，
∴∠ACE=∠A=30°，∵∠ACB=80°，
∴∠BCE=80°﹣30°=50°．
4如图，在△ABC中，D为AB上的一点，且DE垂直平分AC，∠B=115°，且∠ACD∶∠BCD=5∶3，则∠ACB=__________度．
【答案】40
【解析】∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°，
∴Rt△ADE≌Rt△CDE，∴∠A=∠ACD，又∵∠ACD∶∠BCD=5∶3，∴∠ACD∶∠ACB=5∶8，∴∠A∶∠ACB=5∶8，又∵∠B=115°，∴∠A+∠ACB=65°，∴∠ACB=（65×8）÷13=40°．
5如图，直线AD是线段BC的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD．
【答案】证明 ∵AD是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，AB=AC，∠BEA=∠CEA=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△CEA，
∴∠ABC=∠ACB，同理∠DBC+∠DCB，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB，即∠ABD=∠ACD．
6如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD=2∠DAB，求∠B的度数．
【答案】解 ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴EB=EA，∠BED=∠AED=90°，
∴Rt△BDE≌Rt△ADE，
∴∠B=∠BAD，
∵∠CAD=2∠DAB，
且∠B+∠BAD+∠CAD=90°，
∴4∠B=90°，
∴∠B=22.5°．
3线段的垂直平分线与含30°角的直角三角形
1如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不相等的线段有（ ）
A.AC=AE=BE B.AD=BD C.AC=BD D.CD=DE
【答案】C
【解析】∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=60°，AC=AB，
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，
AE=BE=AB，∴∠DAB=30°，AC=AE=BE，故A，B正确；
∴∠CAD=30°，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴CD=DE，故D正确．
2如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC等于（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm
【答案】B
【解析】连接AD，如图，利用线段垂直平分线的性质求得AD=BD=10，且由三角形的外角的性质可求得∠ADC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质可求得AC=AD=5(cm)．
3如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°，求立柱BC，DE的长度．
【答案】解 ∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB，DE＝AD.
∴BC＝×7.4＝3.7(m)．
又AD＝AB=×7.4=3.7(m)，
∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)．
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.
4如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的垂直平分线，BE＝5，求AC的长．
【答案】解 连接AE，如图所示，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝30°.
∵∠C＝90°，
∴AC＝AE＝BE＝2.5.
4线段垂直平分线的判定
1如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（ ）
A.22cm B.20cm C.18cm D.15cm
【答案】A
【解析】由题意可知，DE是AC的垂直平分线，所以DA=DC，CE=AE=4(cm)，那么AC= CE+AE=8(cm)，所以△ABD的周长是AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=△ABC的周长-AC=30-8=22(cm).
2如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
【答案】A
【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．
3在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足AB＋BD＝DE，求证：点C在线段AE的垂直平分线上．
【答案】证明　因为AD垂直平分BC，
所以BD＝DC，AB＝AC.
又AB＋BD＝DE，
所以AC＋DC＝DE.
又DE＝DC＋CE，
所以AC＝CE.
所以点C在线段AE的垂直平分线上．
4如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD.
【答案】证明　∵∠AOB=∠COD，OA=OC，∠A=∠C，
∴△AOB≌△COD，
∴OB=OD，又BE=DE，
∴OE垂直平分BD.
5线段垂直平分线的性质与判定
1线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB等于（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】由已知条件易得CD的连线垂直平分AB，所以AM=BM，∠AMD=∠BMD=90°，从而可证Rt△AMD≌Rt△BMD，Rt△AMC≌Rt△BMC，所以∠ACB=2∠ACM=2（∠ADM+∠CAD）=2×（∠ADB+10°）=2×（×80°+10°）=100°.
2下列说法：
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；
②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】根据线段垂直平分线的性质定理及判定定理，
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的；
②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合判定定理，是正确的；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合判定定理，是正确的；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合判定定理，是错误的；所以正确的是①②③，共3个．
3如图，在△ABC中，AC=BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF=23°，求∠BOE的度数．
【答案】（1）证明 连接OA，如图，
∵AC=BC，点F为AB的中点，
∴CF⊥AB，
∴CF垂直平分AB，
∴OA=OB，
∵DE垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形．
（2）解 ∵CA=CB，CF⊥AB，
∴CF平分∠ACB，
∴∠BCF=∠ACF=23°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=23°，
∵∠EDC=90°，
∴∠DEC=90°-∠DCE=90°-23°-23°=44°，
∵∠OEC=∠OBE+∠BOE，
∴∠BOE=44°-23°=21°．
4如图，已知AB=AD，BC=DC，E是AC上一点.求证：BE=DE.
【答案】证明　∵AB=AD，BC=DC，
∴A、C两点在BD的垂直平分线上，
即AC是BD的垂直平分线，
∴BE=DE．
6尺规作图——作线段的垂直平分线
1如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　）
A.7 B.14 C.17 D.20
【答案】C
【解析】由作图可知MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，∵AB=7，
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=10+7=17．
2如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点C，D，作直线CD交AB于点O，在直线CD上任取一点E(不与O重合)，连接EA，EB，则下列结论不一定成立的是(　　)
A.EA＝EB B.OA＝OB C.OA＝OE D.EO⊥AB
【答案】C
【解析】由作图可知，CD垂直平分AB，
∴EA＝EB，OA＝OB，EO⊥AB，
∴根据已知条件不能得到OA和OE的关系．
3如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC的一条中位线．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解 分别作AB和BC的垂直平分线得到AB的中点D，BC的中点E，然后连接DE，则DE为△ABC的中位线．如图，DE为所作．
4已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，如果D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等，用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）.
【答案】解 作出AB的垂直平分线交BC于点D，点D即为所求.如图．

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