资源简介

北师大版（2024）八年级下册 1.5 角平分线 分层练分线的性质
1如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（　　）
A.6 B.5 C.4 D.3
2如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为（　　）
A.AD＜DE B.AD=DE C.AD＞DE D.不确定
3如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=3，求两平行线AD与BC间的距离.
4把两个同样大小的含30度的三角尺像如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点．
（1）证明：MC的长度等于点M到AB的距离；
（2）求∠AMB的度数．
角平分线的判定
1如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C，下列结论错误的是（　　）
A.AD=CP
B.△ABP≌△CBP
C.△ABD≌△CBD
D.∠ADB=∠CDB
2如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（　　）
A.∠1=∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定
3如图，BE＝CF，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
4如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线交于点P，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H.
（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
角平分线性质与判定的应用
1如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（　　）
A.在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
2如图所示，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，C村的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知C村在∠BAD的平分线上，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（　　）
A.3km B.4km C.5km D.6km
3如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．
4如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC.
角平分线与全等三角形
1如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.1个
2已知AC平分∠PAQ，如图，点B，B′分别在边AP，AQ上，若添加一个条件，即可推出AB=AB′，则该条件不可以是（　　）
A.BB′⊥AC B.BC=B′C C.∠ACB=∠ACB′ D.∠ABC=∠AB′C
3如图，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.
证明：（1）CF=EB；
（2）AB=AF+2EB．
4如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，分别交AB于点E，交BC于点F，P是BM上的另一点，连接PE，PF．
（1）若∠EDF=124°，求∠ABC 的度数；
（2）求证：PE=PF．
角平分线与三角形面积、周长
1如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm2，则DE的长是（　　）
A.4.8cm B.4.5cm C.4cm D.2.4cm
2如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB=8，AC=6，DE=4，则△ABC的面积为（　　）
A.56 B.32 C.28 D.24
3如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于（　　）
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
4如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，PB=3cm，则△POA的面积等于_________cm2．
5如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．
北师大版（2024）八年级下册 1.5 角平分线 分层练习（参考答案）
1角平分线的性质
1如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（　　）
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】A
【解析】如图，过点P作PE⊥OB于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE=PD，∵PD=6，∴PE=6，
即点P到OB的距离是6．
2如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为（　　）
A.AD＜DE B.AD=DE C.AD＞DE D.不确定
【答案】D
【解析】∵BD平分∠ABC，∴点D到AB、BC的距离相等，
∵AD不是点D到AB的距离，点E是BC上一点，
∴AD,DE的大小不确定．
3如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=3，求两平行线AD与BC间的距离.
【答案】解 如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G， ∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB=3，∴PF=PE=3，同理可得PG=PE=3，∵AD∥BC，∴点F，P，G三点共线，∴FG的长即为AD，BC间的距离，∴平行线AD与BC间的距离为PF+PG=3+3=6.
4把两个同样大小的含30度的三角尺像如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点．
（1）证明：MC的长度等于点M到AB的距离；
（2）求∠AMB的度数．
【答案】（1）证明 过点M作MN⊥AB，
由题意可得：∠CAD=∠DAB=30°，
∵∠C=90°，MN⊥AB，
∴MC=MN（角平分线上的点到角的两边距离相等），
则MC的长度就等于点M到AB的距离．
（2）解 由题意知，∠MAB=∠MBA=30°，
∴∠AMB=180°-30°-30°=120°．
2角平分线的判定
1如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C，下列结论错误的是（　　）
A.AD=CP
B.△ABP≌△CBP
C.△ABD≌△CBD
D.∠ADB=∠CDB
【答案】A
【解析】∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，∴△ABP≌△CBP，∴AB=BC，点D是∠ABC的平分线上一点，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB，故B，C，D正确，A不对．
2如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（　　）
A.∠1=∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定
【答案】A
【解析】∵AD⊥OB，BC⊥OA，∴∠ACP=∠BDP=90°，
又∠APC=∠BPD，PA=PB，∴△ACP≌△BDP，∴CP=DP，∴OP是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2．
3如图，BE＝CF，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
【答案】证明 ∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC.
4如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线交于点P，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H.
（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
【答案】（1）解 过P作PF⊥BE于F，如图，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PF=PH=5(cm)，
∴点P到直线BC的距离为5cm．
（2）证明：∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，
∴PF=PD，∴PD=PH，
∴AP平分∠HAC．
3角平分线性质与判定的应用
1如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（　　）
A.在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
【答案】A
【解析】∵∠M=∠N=90°，BM=BN，
∴BP平分∠DPE，
∴∠DPB=∠EPB，∵DP∥BC，PE∥BD，
∴∠DPB=∠PBE，∠EPB=∠DBP，
∴∠DBP=∠PBE.
即BP平分∠ABC(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．)
2如图所示，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，C村的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知C村在∠BAD的平分线上，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（　　）
A.3km B.4km C.5km D.6km
【答案】B
【解析】∵C村在∠DAB的平分线上，C村到公路l1的距离为4km，∴C村到公路l2的距离也是4km．
3如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．
【答案】解 当D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由如下：
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△DEB和△DFC中，
∴△DEB≌△DFC(AAS)．
∴DE＝DF.
∴AD平分∠BAC.
4如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC.
【答案】证明 如图，过点D作DH⊥AB，DG⊥AC，垂足分别是H，G.
∵S△DCE＝CE·DG，
S△DBF＝BF·DH，
S△DCE＝S△DBF，
∴CE·DG＝BF·DH.
又∵CE＝BF，
∴DG＝DH.
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.
4角平分线与全等三角形
1如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.1个
【答案】B
【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，
DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC，∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．
2已知AC平分∠PAQ，如图，点B，B′分别在边AP，AQ上，若添加一个条件，即可推出AB=AB′，则该条件不可以是（　　）
A.BB′⊥AC B.BC=B′C C.∠ACB=∠ACB′ D.∠ABC=∠AB′C
【答案】B
【解析】如图：已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，A.若BB′⊥AC，在△ABC与△AB′C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，∠ACB=∠ACB′=90°，∴△ABC≌△AB′C，AB=AB′；B.若BC=B′C，不能证明△ABC≌△AB′C，即不能证明AB=AB′；C.若∠ACB=∠ACB′，则在△ABC与△AB'C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，∴△ABC≌△AB′C，∴AB=AB′；D.若∠ABC=∠AB′C，则∠ACB=∠ACB′，又∠BAC=∠B′AC，AC=AC，∴△ABC≌△AB′C，∴AB=AB′．．
3如图，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.
证明：（1）CF=EB；
（2）AB=AF+2EB．
【答案】证明 （1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）．
∴CF=EB．
（2）由（1）得CD=DE，在Rt△ADC与Rt△ADE中，
∵
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL)，
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
4如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，分别交AB于点E，交BC于点F，P是BM上的另一点，连接PE，PF．
（1）若∠EDF=124°，求∠ABC 的度数；
（2）求证：PE=PF．
【答案】（1）解 ∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
∵∠EDF=124°，
∴∠ABC=360°-90°-90°-124°=56°．
（2）证明 ∵BM平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ED=FD，∠EDB=∠FDB，
∴∠EDP=∠FDP，在△EDP和△FDP中，
∴△EDP≌△FDP（SAS），
∴PE=PF．
5角平分线与三角形面积、周长
1如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm2，则DE的长是（　　）
A.4.8cm B.4.5cm C.4cm D.2.4cm
【答案】A
【解析】如图，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于F，∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB于E，∴DE=DF，
∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，AB=36cm，BC=24cm，
∴×36×DE+×24×DF=144，即18DE+12DE=144，
解得DE=4.8（cm）．
2如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB=8，AC=6，DE=4，则△ABC的面积为（　　）
A.56 B.32 C.28 D.24
【答案】C
【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=4，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=AB DE+AC DF=×8×4+×6×4=16+12=28．
3如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于（　　）
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
【答案】C
【解析】利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．
4如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，PB=3cm，则△POA的面积等于_________cm2．
【答案】12
【解析】过点P作PD⊥OA于点D，∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB=3cm，∴PD=PB=3cm，∵OA=8cm，∴S△POA=OA PD=×8×3=12(cm2)．
5如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．
【答案】证明 过点C作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，
如图，在△MOE和△NOD中，OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，
∴△MOE≌△NOD（SAS）．
∴S△MOE=S△NOD．∴S△MOE-S四边形ODCE=S△NOD-S四边形ODCE，
∴S△MDC=S△NEC，
∵OM=ON，OD=OE，
∴MD=NE，由三角形面积公式得DM×CG=×EN×CF，
∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上．

展开更多......

收起↑