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河南周口市商水县第二高中等校2025-2026学年高二下学期期中数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.不小于2的所有整数构成的集合可表示为（）
A. B. C. D.
2.用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A. 24 B. 30 C. 40 D. 60
3.一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则
A. B. C. D.
4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A. 18 B. 24 C. 36 D. 60
7.已知随机变量服从两点分布，随机变量的分布列为
1 2 3
0.2 0.6 0.2
若，且与相互独立，则（ ）
A. 0.25 B. 0.4 C. 0.65 D. 0.9
8.函数的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 0
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.有一幅散点图如图所示，从5个数据点中去掉D(3，11)，则下列说法中正确的是（ ）
A. 残差平方和变大
B. 相关系数r变大
C. 决定系数R2变大
D. 解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强
10.已知，则下列描述正确的是（ ）
A.
B. 的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为
C. 被7整除所得的余数是4
D.
11.已知，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量服从两点分布，若，则 .
13.若直线既是曲线y=在x=0处的切线,也是曲线y=(2x+b)的切线,则实数b= .
14.已知定义在上的可导函数满足，，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
(1)求的值；
(2)求的定义域；
(3)若在区间[0,m]上有零点，求的最小值.
16.(本小题15分)
如图，在圆台O1O2中，上、下底面半径分别为1和4，高为4，轴截面为四边形ABCD，E在下底⊙O2上，O2E⊥CD，F为O1E中点.
（1）求证：O1E⊥平面O2CF；
（2）求平面BDE与平面O2CF夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱中，，且．
(1)证明：平面.
(2)在答题卡上，作出平面与AC的交点，并说明你的理由.
(3)求平面与平面夹角的正切值.
18.(本小题17分)
某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
(1)求甲第2天选择羽毛球的概率；
(2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；
(3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=-x+x-m(mR).
(1)若m=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)存在两个不同的零点,,且<.
(ⅰ)求m的取值范围;
(ⅱ)证明:-<.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】ABC
11.【答案】BCD
12.【答案】0.38
13.【答案】2
14.【答案】（0,1）
15.【答案】解：（1）.
（2）由，得，
则，
则，
解得，
则的定义域为.
（3）（方法一）令，得，即，
因为，所以，故的最小值为.
（方法二）令，得，
因为，所以，
所以，即.
故的最小值为.

16.【答案】由题意知，O1O2=O2E=4，
因为F为O1E的中点，所以O2F⊥O1E，
由圆台的性质知，O1O2⊥平面CDE，
因为CD 平面CDE，所以O1O2⊥CD，
又O2E⊥CD，O1O2∩O2E=O2，O1O2、O2E 平面O1O2E，
所以CD⊥平面O1O2E，
而O1E 平面O1O2E，
所以O1E⊥CD，
又CD∩O2F=O2，CD、O2F 平面O2CF，
所以O1E⊥平面O2CF
17.【答案】解：（1）证明：因为，即得，所以，
又因为，所以，
因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：如图所示，延长交延长线于点，连接交于点，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面，所以为平面与的交点.
（3）解：以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，可得.
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
又由轴垂直平面，可得平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
可得，则，
故平面与平面夹角的正切值为.

18.【答案】解：（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，
第二天选择羽毛球的事件为，则且两两互斥，
依题意，，，
且，由全概率公式得:;
（2）由贝叶斯公式，得所求概率为;
（3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，
由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，
从而选择篮球的概率为，
当时，由全概率公式，得的递推关系为，
而，，化简得，.

19.【答案】解：(1)由题知f(x)=-x+x-2,
则f'(x)=-+1,则f(1)=e-1,f'(1)=0,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e-1.
(2)(i)由题知f(x)的定义域为(0,+),
则f'(x)=-+1==(x>0).
令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0< x<1,
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,
所以f=f(1)=e+1-m.
因为函数f(x)存在两个不同的零点,所以e+1-m<0,即m>e+1,
所以m的取值范围为(e+1,+).
(ii)证明:下面找两个点a,b(0< a<1< b),使得f(a)>0,f(b)>0,
注意到=m-,且0<<1< m,
于是考虑找点m,,
下面我们证明:f(m)>0,f()>0.
要证f(m)>0,即证-m>0,
设g(x)=-x(x>2),
证明g(x)>0,要证>x,即证>,
易知=,=,所以>x,即g(x)>0,f(m)>0,又f(1)<0,所以1<< m.
f()=-+-m,
设t(x)=x-x+1,则t'(x)=,
易知t(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以t(x)t(1)=0,即xx-1.
因为m>e+1,即0<<,所以-1,且-1>0,
因此f()-(m-1)=(m-1)(-1)>0,
因为f(1)<0,所以<<1,
所以-< m-=,即证得-<.
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