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2025-2026学年重庆市九龙坡区铁路中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则x=（　　）
A. 2或6 B. 2或3 C. 3 D. 6
2.设f（x）是可导函数，且=2，则f′（1）=（　　）
A. 2 B. - C. -1 D. -2
3.用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A. 24个 B. 30个 C. 40个 D. 60个
4.某知识过关题库中有A、B、C三种难度的题目数分别为300、200、100，其中小明完成A、B、C型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件A：甲、乙选择的专题不同；事件B：乙、丙选择的专题相同，则P（B|A）=（　　）
A. B. C. D.
6.若直线y=kx+1（k∈R）是曲线y=lnx+2与曲线y=ex+b（b∈R）的公切线，则b=（　　）
A. 0 B. 1 C. e D.
7.已知函数f（x）的定义域为（-∞，0），f（-1）=-1，其导函数f′（x）满足xf′（x）-2f（x）＞0，则不等式f（x+1）+（x+1）2＜0的解集为（　　）
A. （-2，0） B. （-2，-1） C. （-∞，-2） D. （-∞，-1）
8.已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，0） B. （-∞，0）∪{e}
C. {e} D. （e,+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若，则下列选项正确的是（　　）
A. 展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项
B. a1+a2+a3+a4+a5+a6=-728
C. a1+2a2+3a3+ +6a6=-12
D. 当x=5时，（3-2x）6除以8的余数为1
10.2026年重庆市九龙坡区心理学科优质课大赛将在铁路中学举行，现在高二志愿者团队安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有接待、指引、礼仪、会议记录四项工作可以安排，则以下说法错误的是（　　）
A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为1024
B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为480
C. 如果会议记录工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为300
D. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会会议记录但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是126
11.已知函数f（x）=（ex+a）x,g（x）=（x+a）lnx,则下列说法正确的是（　　）
A. 当a=1时，函数y=g（x）在（0，+∞）上单调递增
B. 当a=1时，若存在x≥1，使不等式f（mx）≥f（（x2+x）lnx）成立，则实数m的最小值为0
C. 若函数y=f（x）存在两个极值，则实数a的最大值为
D. 当a=1时，若f（x1）=g（x2）=t（t＞0），则x1（x2+1） lnt的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随机变量X的分布列如表所示：
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
则P（X≤2）= .
13.如图所示为函数f（x）的图象，则不等式xf′（x）＜0的解集为 .
14.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3+ax2+bx在及x=1处取得极值.
（1）求a,b的值；
（2）求函数y=f（x）在[0，2]上的最大值与最小值.
16.(本小题15分)
（1）在（1+2x）7的展开式中，求：
①第4项的二项式系数；
②含x3的项的系数.
（2）求展开式中的常数项（n=6）.
17.(本小题15分)
某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和，其中
（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列.
18.(本小题17分)
已知函数（a∈R且a≠0）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（2a-x）lnx,其中a∈R.
（1）当a=1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（3）若a＞0，b∈R，对任意的x＞0，f（x）≤a+b恒成立，求b-5a的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】BC
11.【答案】AB
12.【答案】0.3
13.【答案】
14.【答案】42
15.【答案】 最大值为2，最小值为0
16.【答案】①35，②280 -405
17.【答案】甲
ξ 0 1 2 3
P

18.【答案】解：（1）因为，
当a＜0时，x-a＞0，x∈（0，1）时f'（x）＜0，所以f（x）在（0，1）单调递减；x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）单调递增；
当0＜a＜1时，x∈（0，a）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，a）和（1，+∞）单调递增，x∈（a,1）时，f′（x）＜0，f（x）在（a,1）单调递减；
当a=1时，f'（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞1时，x∈（0，1）∪（a,+∞），f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）和（a,+∞）上单调递增，x∈（1，a）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，a）单调递减；
综上可得，当a＜0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）和（1，+∞）单调递增，在（a,1）单调递减；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞1时，f（x）在（0，1）和（a,+∞）上单调递增，在（1，a）单调递减．
（2）当a＜0时，由（1）可知x=1是f（x）唯一的极小值点，且，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点；，
所以f（x）在（0，1）上有唯一零点，符合题意；
当0＜a＜1时，由（1）可知x=a为f（x）极大值点，
且，所以不符题意；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）单调，不符题意；当a＞1时，由（1）可知，x=1为函数f（x）极大值点，且，不符题意．
综上所述，a＜0，即实数a的取值范围是（-∞，0）．
19.【答案】y=x-1 -3 e3
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