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2025-2026学年广东省深圳市龙岗区建文外国语学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.双曲线4x2-y2=4的离心率为（　　）
A. B. 2 C. D.
2.从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（　　）
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
3.已知数列{an}的前n项和，则a3=（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
4.已知函数f（x）=ex+2f'（0）sinx,则f′（0）=（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
5.在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展开式中，含x2的项的系数为（　　）
A. 74 B. -74 C. 64 D. -64
6.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则其导函数y=f′（x）的图象可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
7.已知圆C：x2+y2-2x+4y=0，则该圆的面积为（　　）
A. 5 B. C. 5π D.
8.已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）
A. e B. -e C. D. -
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q=-2，a3=-8，则（　　）
A. a1=-2 B. a4+a5=-12
C. S6=42 D. 数列{anan+1}是公比为4的等比数列
10.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（　　）
A. n=7 B. 只有第4项的二项式系数最大
C. 各项系数之和为1 D. x5的系数为560
11.已知函数f（x）=x2ex，x∈R.下列结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）不存在最大值，也不存在最小值
B. 函数f（x）存在极大值和极小值
C. 函数f（x）有且只有1个零点
D. 函数f（x）的极小值就是f（x）的最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是______．
13.已知随机事件A，B满足，则P（AB）= .
14.已知函数f（x）=alnx+ex在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}中a3=6，a6=12，且.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{bn}的前n项和为Tn，求T20的值（结果可以用幂的形式表示）.
16.(本小题15分)
一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；
（2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
（3）6人支教小组中，至少有1名主任参加；
（4）6人支教小组中既有主任，又有女教师.
17.(本小题15分)
甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为．
（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=cosx+x2-4，f′（x）是f（x）的导函数.
（1）求的值；
（2）求曲线y=f′（x）在处的切线方程；
（3）求f（x）的最值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+ax2+3，g（x）=kx-k+2，（a、k∈R），
（1）当时，求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=0时，若在x∈（1，+∞）时恒成立，求整数k的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】10
13.【答案】
14.【答案】[-e,+∞）
15.【答案】an=2n
16.【答案】80；
209；
182；
181．
17.【答案】解：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，记事件A是“第二局比赛结束时比赛停止”，
则P（A）==．
（2）依题意知，X的所有可能取值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，该轮结束时比赛继续的概率为1-=，
即P（X=2）=，P（X=4）==，P（X=6）==，
则随机变量X的分布列为：
X 2 4 6
P
∴E（X）=2×=．
18.【答案】π-1 2 x-y-1=0 最小值为-3，无最大值
19.【答案】无极值 当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减 5
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