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2025-2026学年广东省佛山市顺德区李兆基中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（　　）
A. 7条 B. 12条 C. 64条 D. 81条
2.已知{an}是等比数列，a2=2，a5=10，则a8=（　　）.
A. 12 B. 6 C. 20 D. 50
3.展开式中的常数项为（　　）
A. 120 B. 240 C. 280 D. 480
4.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（　　）

A. 为函数 的一个零点
B. 函数在区间上单调递减
C. 为函数 的一个极大值点
D. 是函数 的最大值
5.在等比数列{an}中，a2，a6是方程x2-8x+m=0两根，若a3a5=3a4，则m的值为（　　）
A. 3 B. 9 C. -9 D. -3
6.已知函数f（x）=xcosx-sinx,若存在实数x∈（0，2π），使得f（x）≤t成立，则实数t的最小值是（　　）
A. -π B. 2π C. -1 D. 1
7.记数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，且nan+1=（n+1）an，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.
8.已知，，，则a,b,c的大小关系为（　　）
A. a＜b＜c B. b＜c＜a C. b＜a＜c D. c＜a＜b
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，a4，2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5=31，则（　　）
A. an=（）n-5 B. an=2n+1 C. Sn=32- D. Sn=2n+4-16
10.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（　　）
A. 若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法
B. 若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法
C. 若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法
D. 若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法
11.已知函数，则下列正确的是（　　）
A. f（x）的极小值为0
B. f（x）过（0，0）点的切线方程为
C. 有三个实根
D. g（x）=f（x）-ax,当0＜x1＜x2时，g（x1）＜g（x2）恒成立，则a的取值范围是a≥
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含x的项的系数为 .
13.已知数列{an}的前n项和，数列{bn}的前n项和，将{an}与{bn}的公共项由小到大排列构成新数列{cn}，则数列{cn}的前5项和等于 .
14.已知函数f（x）=x3，若不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}，{bn}中，a1=4，b1=-2，{an}是公差为1的等差数列，数列{an+bn}是公比为2的等比数列.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1在x=-1处取得极值6.
（1）求实数a,b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-2，3]上的最大值和最小值.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=（x-1）ex.
（1）求f（x）的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数y=f（x）的大致图象（不用说明理由）；
（2）求证：.
18.(本小题17分)
记数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn+an=2n+2.
（1）证明：{an-1}是等比数列；
（2）设bn=n（an-1），求数列{bn}的前n项和Tn.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x-1-alnx（其中a为参数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0成立，求实数a的取值集合；
（3）证明：（1+）n＜e＜（1+）n+1（其中n∈N*，e为自然对数的底数）．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】27
13.【答案】682
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题意，可得an=4+（n-1）×1=n+3，
故an=n+3，n∈N*，
∵数列{an+bn}是公比为2的等比数列，且a1+b1=4-2=2，
∴an+bn=2 2n-1=2n，
∴bn=2n-an=2n-n-3，n∈N*．
（2）由题意及（1），可得，
则Tn=b1+b2+b3+ +bn
=（21-4）+（22-5）+（23-6）+ +[2n-（n+3）]
=（21+22+23+ +2n）-[4+5+6+ +（n+3）]
=
=．
16.【答案】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+1，知f′（x）=3x2+2ax+b.
而f（x）在x=-1处取得极值6，故f′（-1）=0，f（-1）=6．
故有方程组，即．
所以a=（2a-b）-（a-b）=3-6=-3，b=（2a-b）-2（a-b）=3-2 6=-9．
（2）由（1）知a=-3，b=-9，故f（x）=x3-3x2-9x+1，x∈[-2，3]．
f′（x）=3x2-6x-9=3（x-3）（x+1），
当-2≤x≤-1时，f′（x）≥0，当-1≤x≤3时，f′（x）≤0，
所以f（x）在[-2，-1]单调递增，在[-1，3]单调递减，
而直接计算知f（-1）=6，f（3）=-26，f（-2）=-8-12+19=-1，
故f（x）在[-2，3]上的最大值为6，最小值为-26．
17.【答案】极小值为f =-1，无极大值，图见解析；
证明见解析
18.【答案】因为2Sn+an=2n+2，①
所以当n=1时，2S1+a1=2×1+2=4，即3a1=4，所以，
当n≥2时，2Sn-1+an-1=2（n-1）+2，②
所以①-②得：2（Sn-Sn-1）+an-an-1=2，即3an=an-1+2，所以，
所以，
因为，所以，
所以数列{an-1}是以为公比，首项为的等比数列
19.【答案】解：（1）f′（x）=，x∈（0，+∞），
当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞），
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a，
x∈（0，a）时，f（x）单调递减，
x∈（a，+∞）时，f（x）单调递增；
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，无减区间，
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）；
（2）由（1）得：f（x）极小值=f（a）=a-1-alna．
∵对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，
∴f（x）极小值=f（a）=a-1-alna≥0．
∴a≥≥，解得a=1，
∴实数a的取值集合为{1}．
（Ⅱ）证明：设数列an=（1+）n，数列bn=（1+）n+1，
由（1+）x=e，得：an=e，bn=e，
因此只需证数列{an}单调递增且数列{bn}单调递减，
①证明数列{an}单调递增：
an=（1+）n＜（）n+1=an+1，
∴数列{an}单调递增．
②证明数列{bn}单调递减：
bn=（1+）n+1==（令 t=-（n+1），换元）
=（1+）t=at，
由①得at关于t单调递增，而t=-（n+1）关于n单调递减，
由复合函数的单调性知，{bn}单调递减，
∴（1+）n＜e＜（1+）n+1．
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