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2025-2026学年吉林省吉林市永吉实验高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）=2f′（0）ex-x2+3x,则f（0）=（　　）
A. 6 B. 3 C. -3 D. -6
2.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（　　）
A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种
3.在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（　　）
A. 243 B. 81 C. 64 D. 32
4.已知定义在（0，3]上的函数f（x）的图象如图，则不等式（x-1）f'（x）＜0的解集为（　　）
A. （0，2）
B. （1，2）
C. （2，3）
D. （0，1）∪（1，2）
5.已知，，，则（　　）
A. b＜a＜c B. a＜b＜c C. b＜c＜a D. c＜b＜a
6.某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（　　）
A. 150种 B. 240种 C. 180种 D. 120种
7.函数f（x）=aex-x2在（0，+∞）上单调递增的充要条件是（　　）
A. B. C. D.
8.若函数f（x）=alnx-x,且f（ax）≤ex-ax,则正实数a的取值范围是（　　）
A. （0，e） B. C. （0，e] D. （0，1）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）=x3-4x+4，则（　　）
A. f（x）在（0，+∞）上单调递增 B. x=-2是f（x）的极大值点
C. f（x）有三个零点 D. f（x）在[0，3]上的最大值是4
10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　）
A. 某学生从中选2门课程学习，共有30种选法
B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法
D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法
11.已知，则下列说法正确的有（　　）
A. 函数y=f（x）有唯一零点x=0
B. 函数y=f（x）的单调递减区间为（-∞，0）∪（1，+∞）
C. 函数y=f（x）有极大值
D. 若关于x的方程f（x）=a有三个不同的根，则实数a的取值范围是（0，1）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线y=k（x-1）与曲线y=ex相切，则k的值为______．
13.设，则a2= ______.
14.若 x＞0，不等式lnx+2+≥b（a＞0）恒成立，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数在x=-3处取得极大值为0．
（I）求a，b的值；
（II）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．
16.(本小题15分)
用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（以上各问均用数字作答）
17.(本小题15分)
二项式展开式前三项的二项式系数和为22.
（1）求n的值；
（2）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
（3）求展开式中的所有的有理项.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-ax-1，a∈R.
（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥xlnx恒成立，求a的取值范围；
（2）当a=1时，设g（x）=f（x）-x2，证明：g（x）在（0，+∞）上存在唯一的极小值点x0且.
参考数据：e3≈20.09.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】BD
11.【答案】AC
12.【答案】e2
13.【答案】120
14.【答案】e2
15.【答案】解：（I）函数，可得f′（x）=x2+2ax+b，
函数在x=-3处取得极大值为0．
可得：，
解得：.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x，f′（x）=x2+4x+3=0，
令f′（x）＞0，解得：x＞-1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜-1，
∵x∈[-3，3]，
∴f（x）在（-1，3]递增，在（-3，-1）递减，
而f（-3）=0，
∴f（x）最小值=f（-1）=，
f（x）最大值=f（3）=9+18+9=36，
∴f（x）在[-3，3]上的最小值是-，最大值是36．
16.【答案】解：（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有A53个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有A41种），十位和百位从余下的数字中选（有A42种），于是有个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个．--------------（4分）
（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A54个；个位数上的数字是5的五位数有个．故满足条件的五位数的个数共有个．------------（8分）
（3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；
第二类：形如14□□，15□□，共有个；
第三类：形如134□，135□，共有个；
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：个．---（12分）
17.【答案】6；
64；
64 x6，960x．
18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，
又切点（1，2），所以切线方程为y-2=3（x-1）），即3x-y-1=0
故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x-y-1=0．
（Ⅱ）
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，由f'（x）=0，得．
在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）min．g（x）=（x-1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）
当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，，
所以2＞-1-ln（-a），解得．
19.【答案】（-∞，e-1] 证明：当a=1时，g（x）=ex-x-1-x2，g′（x）=ex-2x-1，
令m（x）=ex-2x-1，则m′（x）=ex-2．
当x∈（0，ln2）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减；当x∈（ln2，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
又因为m（ln2）=eln2-2ln2-1=1-2ln2＜0，m（0）=0且，
所以存在唯一的，使得m（x0）=0，即.①
当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x0是g（x）在（0，+∞）上唯一的极小值点．
则，由①可知
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