资源简介

2025-2026学年重庆市第十一中学校教育集团高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知随机变量X满足D（X）=1，则D（2-3X）的值是（　　）
A. -3 B. 9 C. -9 D. 3
2.将4本不同的书发给3位同学，每人至少一本的不同发放种数为（　　）
A. 36 B. 44 C. 65 D. 72
3.在（1-x）2+（1-x）3+（1-x）4+（1-x）5+（1-x）6的展开式中，含x3的项的系数是（　　）
A. 35 B. 15 C. -35 D. -15
4.设随机变量ξ B（2，p），η B（4，p），若，则p（η=0）的值是（　　）
A. B. C. D.
5.已知10件产品中可能存在次品，从中抽取2件，设抽出的次品数为X，P（X=1）=，且该产品的次品率不超过0.4，则这10件产品中次品的件数是（　　）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 8
6.甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）.
甲组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74
乙组：76，90，84，82，81，87，86，82，80，83
现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件B，则P（A|B）的值是（　　）
A. B. C. D.
7.若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的涂色部分的面积表示（　　）
A. 事件A发生的概率
B. 事件B发生的概率
C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率
D. 事件A、B同时发生的概率
8.一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件Ai=“第i次命中目标”（i=1，2，3）.已知，则P（A3）的值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知m,n∈N*且n≥m,则下列结论错误的是（　　）
A. B. n!=n×（n-1）!
C. D. 若，则n=3
10.已知三个密度函数的图象如图所示，则（　　）
A. μ1＜μ2=μ3
B. σ1=σ2＜σ3
C. 若，则P（0＜X＜1）=0.3
D. 若，则 x0∈R，使得P（X＜x0）=P（Y＜x0）
11.已知a,b,c都为正整数，且a+b+c=7，随机变量X=max{a,b,c}，则下列结论正确的有（　　）
A. 符合条件的a,b,c的解共有15组 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中x3的系数是 .
13.现要安排小张在内的5位职员参与4天值班，每天一人值班，小张要么不值班，若值班则只值第一天，同时相邻两天不能安排同一人值班.则不同的值班种数是 .
14.A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，则第一次交换后，A箱中仍有2个正品一个次品的概率为 ，重复n次这样的操作后，记A箱子中正品个数为Xn，Xn的数学期望E（Xn）= .（用n表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某电视台闯关答题栏目中，参加第一轮闯关的选手需依次回答A，B，C三道题，一旦答对，即可直接进入决赛，停止后续答题；若题目答错，则继续依次回答下一题，直至3道题目答完.已知该选手答对A，B，C题目的概率分别为0.5、0.6、0.7，且每次答题是否答对相互独立.
（1）求该选手在第一轮答题的次数X的分布列及数学期望；
（2）求该选手能够进入决赛的概率.
16.(本小题15分)
已知的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列.
（1）求n的值；
（2）若，求a1+a2+ +an的值.
17.(本小题15分)
甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%.
（1）设甲工厂试生产的零件有m件，乙工厂试生产的零件有n件，求证：4m=n；
（2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率；
（3）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=xlnx-m（x-1）.
（1）当m=1时，求函数y=f（x）在点（e,1）处的切线方程；
（2）函数g（x）=f（x）-mx2+（m-1）x有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，
（i）求m的取值范围；
（ii）证明：lnx1+3lnx2＞4.
19.(本小题17分)
某学校为研究校园信息传播规律，建立如下概率模型：选取n名学生，每人对信息的“易感系数”相同，记为a（0＜a＜1），该值越大越容易被传播.传播按天进行，规则如下：
第一天，随机选取其中m（1≤m＜n,m∈N）名学生发布消息，每位被选中的学生真正接收到并相信该消息（称为“知情者”）的概率为p,且相互独立.
从第二天起，每天每位“知情者”都会尝试影响每一位“非知情者”，一旦被影响即成为新的知情者，并参与后续传播.
（1）若时，求第一天结束时，至少有2人成为知情者的概率；
（2）第一天结束时，知情者人数为奇数的概率；
（3）对任意一位非知情者，若某天有k位知情者尝试影响他，则他当天被影响的概率为1-（1-a）k.当n=5，m=2，p=0.4时，求两天后学生甲成为知情者的概率（用含a的式子表示）；并基于此模型，简要说明为什么现实中某些热点话题常会出现突然爆发式传播.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABC
12.【答案】20
13.【答案】144
14.【答案】

15.【答案】X的分布列为
X 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2
E（X）=1×0.5+2×0.3+3×0.2=1.7 0.94
16.【答案】7 -
17.【答案】解：（1）证明：甲工厂试生产的件零件的合格率为80%，则合格零件为件，
乙工厂试生产的件零件的合格率为90%，则合格零件为件，
混合后，总零件为件，合格率为88%，则混合后合格零件为件，
依题意，，化简得，即；
（2）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，由（1）知，
事件为“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”，
事件为“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”，
事件为“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”，
则，，
所以所求概率；
（3）由（2）知，任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂的概率是，
依题意，的可能取值为0，1，2，3，且，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
则的数学期望.

18.【答案】y=x-e+1 （i）；（ii）证明：由（i）知x1，x2是lnx-2mx=0的两根，且0＜x1＜e＜x2，
则lnx1=2mx1，lnx2=2mx2，两式相减得lnx2-lnx1=2m（x2-x1），即2m=，
代入lnx2=2mx2，得，化简得，
设，则lnx1=tlnx2，由lnx1=tlnx2，得，
代入，得t=，即，
要证lnx1+3lnx2＞4，即证（t+3）lnx2＞4，
即证，即证（t+3）lnt-4（t-1）＜0，
设F（t）=（t+3）lnt-4（t-1），t∈（0，1），则，
设，则在（0，1）上恒成立，
所以G（t）＞G（1）=0，即F'（t）＞0，
所以F（t）在（0，1）上单调递增，F（t）＜F（1）=0，
故（t+3）lnt＜4（t-1），
因为t-1＜0，所以，即，
从而（t+3）lnx2＞4．即lnx1+3lnx2＞4
19.【答案】 ，说明如下：
由模型中1-（1-a）k可知，尝试影响同一名非知情者的知情者人数k越多，该非知情者被影响的概率越大．
当知情者人数增加后，下一天会有更多人参与传播，进一步提高非知情者被影响的概率，
从而形成“人数增加一影响概率增大一人数继续增加”的正反馈，
因此现实中某些热点话题可能会出现突然爆发式传播
第1页，共1页

展开更多......

收起↑