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2025-2026学年甘肃省兰州市安宁区西北师范大学附属中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量=（2，3，-4），=（-4，-3，-2），=-2，则=（　　）
A. （0，3，-6） B. （0，6，-20） C. （0，6，-6） D. （6，6，-6）
2.下列求导运算正确的是（　　）
A. （sina）′=cosa（a为常数） B. （sin2x）′=2cos2x
C. （3x）′=3xlog3e D. =
3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有（　　）
A. 30 B. 20 C. 10 D. 6
4.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为t=0时钍234的含量.已知t=24时，钍234含量的瞬时变化率为-8ln2，则N（96）=（　　）
A. 12贝克 B. 12ln2贝克 C. 24贝克 D. 24ln2贝克
5.设函数的导函数为f′（x），且f′（2）=0，则f（x）的单调递减区间为（　　）
A. B. C. （2，+∞） D.
6.已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则f（x）（　　）
A. 既有极小值，也有极大值 B. 有极小值，但无极大值
C. 有极大值，但无极小值 D. 既无极小值，也无极大值
7.某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（　　）
A. 120种 B. 360种 C. 240种 D. 720种
8.已知a,b∈R，若关于x的不等式xex-bx-aex+ab≥0恒成立，则的最大值为（　　）
A. e B. 2 C. 1 D. e2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列关于空间向量的命题中，正确的为（　　）
A. 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B. 平行且模相等的两个向量是相等向量
C. 只有零向量的模等于零
D. 若，则是钝角
10.在（x+y+z）5展开式中（　　）
A. 展开式中不存在含x2y3的项 B. 展开式所有项系数和为243
C. 展开式中含xy2z2项的系数为30 D. 展开式共21项
11.已知函数f（x）=ex-ax有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　）
A. a＞e B. x1+x2＞2
C. x1x2＞1 D. f（x）有极小值点x0，且x1+x2＜2x0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在二项式的展开式中，x的系数为 .
13.某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有 .
14.已知函数f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）（a＞0），设曲线y=f（x）在点（xi，f（xi））处切线的斜率为ki（i=1，2，3），若x1，x2，x3均不相等，且k2=-2，则k1+4k3的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4，E，F，G分别为棱DD1，A1D1，BB1的中点.
（1）求的值；
（2）证明：C，E，F，G四点共面.
16.(本小题15分)
有2件次品，4件正品混放在一起（这6件产品均不相同），现对这6件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.
（1）若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则有多少种不同的抽法？
（2）一共抽取了5次，检测结束，则有多少种不同的抽法？
（3）若至多检测4次就能找到所有次品，则有多少种不同的抽法？
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3-2ax2+a2x+4.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若2是f（x）的极小值点，求a及函数f（x）的极值.
18.(本小题17分)
设函数.
（1）a=-1时，求函数f（x）的最大值.
（2）讨论f（x）的单调性.
（3）当a＜0时，证明：.
19.(本小题17分)
已知，其中n∈N*.
（1）求证：当x＞1时，f（x）＞0；
（2）讨论n取不同值的时候，函数f（x）的零点个数；
（3）证明：，其中（t≥1，t∈N*）.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】-40
13.【答案】72
14.【答案】18
15.【答案】解：以点A为坐标原点，直线AD，AA1，AB分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（2，0，2），E（2，2，0），F（1，4，0），G（0，2，4）．，．
（1）．
（2）证明：．
令，根据向量的坐标的对应关系，整理得，
解得，所以．
故C，E，F，G四点共面．
16.【答案】24 384 90
17.【答案】y=4．
a=2，f（x）的极小值为4，极大值为．
18.【答案】（1）-ln3- （2）当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在单调递增，在单调递减 （3）证明：由（2）知，a＜0时，．
∴等价于，
即，
设g（x）=lnx-x+1，∴，
.当x∈（0，1）时g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∴g（x）max=g（1）=0，
∴当x∈（0，+∞）时，g（x）≤0，从而a＜0时，，
即
19.【答案】解：（1）证明：因为，
令g（x）=nxn+1-（n+1）x+1，
则g'（x）=（n+1）nxn-（n+1）=（n+1）（nxn-1），
因为n∈N*且x＞1，
所以g'（x）＞0，
即g（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（1）=0，
所以f′（x）＞0，
即f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）＞f（1）=0；
（2）①n=1时，，
f'（x）=，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（1）=0，
则此时f（x）有且仅有1个零点；
②n≥2时，g'（x）在上小于0，在上大于0，
即g（x）在上单调递减，在上单调递增，
又g（0）=1＞0，g（1）=0，且＜1，
则存在唯一的，使g（x0）=0，
即g（x）在（0，x0）和（1，+∞）上大于0，在（x0，1）上小于0，
所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
又x→0+时，f（x）→-∞，f（x0）＞f（1）=0，
则f（x）在（0，x0）上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点，
此时函数f（x）有且仅有2个零点；
综上所述，当n=1时，f（x）有且仅有1个零点；当n≥2时，f（x）有且仅有2个零点；
（3）证明：令n=2，且x＞1时，得，
再令，
代入化简可得，
则
＞
=
=，
则．
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