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2025-2026学年陕西省校联考高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.函数f（x）=sin2x-2cos2x的最小正周期为（　　）
A. B. π C. D. 2π
2.已知函数的图象如图所示，则f（0）=（　　）
A. -1
B. 1
C.
D.
3.角α满足，则tanα=（　　）
A. B. C. D.
4.将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为5cm,AC=8cm,BD=12cm,则几何体的体积为（　　）
A. 204π
B. 250π
C. 300π
D. 350π
5.已知α，β是相交的两个平面，交线为l,记一条直线为m,则下列命题为真命题的是（　　）
A. 若m⊥α，则m与β必然无交点 B. 若m∥α，则m与β必然无交点
C. 若m⊥l,m α，则m⊥β D. 若m∥l,m α，则m∥β
6.在正四棱锥P-ABCD中，E是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（　　）
A. B. C. D.
7.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，b=6，c=4，若，（0≤λ≤1），若BD与CE相交于点F，则当取最小值时，λ=（　　）
A. B. C. D.
8.已知△ABC中，，t∈R，且的最小值为，则=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知H为△ABC的垂心，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且，，则一定有（　　）
A. B=60°
B. b≥4
C.
D. 若，则c=4
10.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BD（包括端点）上一点，则下列正确的是（　　）
A. ，则x+y的最大值为2
B. 的最大值为
C. 的最大值为1
D. 点Q为正方形ABCD内一点，则|QA|+|QB|+|QC|+|QD|最小值为
11.已知z1，z2为复数，下列说法正确的是（　　）
A.
B.
C. 若|z1+1|=|z2+1|，则z1=z2
D. 若z1，z2是方程x2-2x+5=0的两根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆台的体积为，上底面半径为1，母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台的下底面半径为 .
13.如图，棱长为2的正四面体PABC中，G是底面△ABC的重心，E是棱PC中点，且有，则线段AF的长度为 .
14.在凸四边形ABCD中，AB=，则AC的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm,圆柱筒长2cm.
（1）这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1）
（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）
16.(本小题15分)
如图，△OCD是边长为4的等边三角形，且点A，B分别为线段OD与OC的中点.将△OAB沿AB折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥P-ABCD.设点E为线段PC上一点，且CE=2EP.
（1）证明：AP∥平面BED；
（2）求四棱锥P-ABCD与三棱锥E-BCD的体积之比.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=sin（2x+φ），（0＜φ＜π）.
（1）当时，求函数y=f（x）的对称中心；
（2）若f（x）为偶函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若f（x）过点，设g（x）=2sin2x+3acosx-4，若对任意的x1∈[0，π]，，都有g（x1）-f（x2）＜3，求实数a的取值范围.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且.
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，求2a-c的取值范围.
（3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值.
19.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=AB=BC=2，D为AC的中点，平面A1BD⊥平面ABC.
（1）求证：△A1BC1是直角三角形；
（2）E为B1C1的中点，F为CE与BC1的交点，点M在线段A1B上，DM⊥BD，若MF∥平面ABC.
（i）求侧面ACC1A1与底面ABC所成二面角的正弦值；
（ii）若点C1到平面ABB1A1的距离为，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）该半球的直径d=6cm,
所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm,得半径R=3cm,
所以两个半球的体积之和为，
而，
该“浮球”的体积是；
（2）上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以1个“浮球”的表面积为，
因此，2500个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方米需要涂胶100克，
所以总共需要胶的质量为：100×12π=1200π（克）．
16.【答案】（1）证明：如图，连接AC交BD于点F，连接EF．
由题可知CD=2AB，且CD∥AB．
则易有△ABF与△CDF相似，且相似比为1：2，也即CF=2AF．
又CE=2EP，则，故AP∥EF．
且EF 平面BED，AP 平面BED，故AP∥平面BED （2）9：4
17.【答案】，k∈Z
18.【答案】 （0，3）
19.【答案】证明见解析； （i）（ii）或．
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