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2025-2026学年重庆市复旦中学教共体高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，若向量∥，则x=（　　）
A. 2 B. C. D. -2
2.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知复数z=-3+2i,则的虚部是（　　）
A. 5 B. -5 C. 5i D. -5i
4.已知向量，满足||=2||=2，且|2-|=，则|-|=（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若2A=B+C，a2=bc,则△ABC一定是（　　）
A. 三边不全相等的锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
6.已知圆台上下底面面积分别为π，9π，母线长为，则该圆台的体积为（　　）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，且b+c=2acosB，则a：b：c=（　　）
A. B. C. 1：1：1 D.
8.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则+的最小值（　　）
A. 2
B. 8
C. 9
D. 18
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 若△ABC的面积为4，则用斜二测画法画出它的直观图的面积为
B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台
C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
D. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面半径之比为3：1
10.已知复数z满足，则下列结论正确的是（　　）
A. z在复平面内对应的点可能是
B.
C. z的实部与虚部之积小于等于3
D. 复数z1=1+i,则|z-z1|的最大值为
11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且3bcosC+3ccosB=a2，则下列说法正确的是（　　）
A. 若B+C=2A，则△ABC的外接圆的面积为3π
B. 若A=，且△ABC有两解，则b的取值范围为[3，3]
C. 若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为（3，3）
D. 若A=2C，且sinB=2sinC，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数范围内方程x2+16=0的根为 .
13.若向量，则在方向上的投影向量坐标为 .
14.现有一块如图所示的三棱锥木料，其中∠AVB=∠AVC=∠BVC=40°，VA=VB=VC=6，木工师傅打算过点A将木料切成两部分，则截面△AEF周长的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=i2020+（1-i）2（其中i为虚数单位），若复数z的共轭复数为，且.
（1）求复数；
（2）求复数z1；
（3）若z1是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，求实数p,q的值，并求出方程x2-px+q=0的另一个复数根.
16.(本小题15分)
如图长方体ABCD-A1B1C1D1，底面是边长为3的正方形，高为4，E为CC1的中点．
（1）求长方体的表面积和它的外接球的表面积；
（2）求三棱锥E-A1BC和长方体的体积之比．
17.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,满足2c+b-2acosB=0.
（1）求角A；
（2）若a=2， =，AD是△ABC中线，求AD的长.
18.(本小题17分)
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求B的大小；
（2）若点M在线段AC上，∠ABM=∠CBM，BM=4，求2a+c的最小值.
19.(本小题17分)
如图.在梯形ABCD中，，E、F是DC的两个三等分点，G、H是AB的两个三等分点，线段BC上一动点P满足分别交EG，FH于M、N两点，记.
（1）当时，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求μ-λ的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】±4i
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】；
z1=2-i；
p=4，q=5，另一根为2+i．
16.【答案】解：（1）因为长方体ABCD-A1B1C1D1，底面是边长为3的正方形，高为4，
所以长方体的表面积为,
长方体ABCD-A1B1C1D1，外接球的直径为长方体的对角线，故外接球半径为,
故外接球的表面积为；
（2）长方体的体积为，
因为长方体ABCD-A1B1C1D1，底面是边长为3的正方形，高为4，E为CC1的中点．
所以==3=3.
故:=1:12.
17.【答案】解：（1）因为2c+b-2acosB=0，由正弦定理可知：2sinC+sinB-2sinAcosB=0，
由C=π-A-B，故sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B），
所以2sin（A+B）+sinB-2sinAcosB=0，2cosAsinB+sinB=0（B∈（0，π），sinB≠0），
所以，又A∈（0，π），所以；
（2）根据数量积的定义，由，
得，又，
在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA b2+c2=9，
因为，
所以，
所以AD=．
18.【答案】；
．
19.【答案】；
；
．
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