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2025-2026学年北京市东城区广渠门中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.=（　　）
A. B. C. D.
2.已知向量，.若∥，则实数m的值为（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3.已知，，则sin2α的值为（　　）
A. B. C. D.
4.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　）
A. B.
C. D.
5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是（　　）
A. E，F，G，H四点共面
B. AA1与GH是异面直线
C. ∠EGH=∠FHG
D. EG，FH，AA1三线共点
6.已知α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（　　）
A. 若m∥α，m∥β，则α∥β B. 若m∥α，n∥α，则m∥n
C. 若α⊥β，m α，n β，则m⊥n D. 若m∥α，m⊥β，则α⊥β
7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，F为棱CC1的中点，则异面直线A1E与B1F所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.设，是平面内两个非零向量，则“”是“”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.广渠门中学高一年级开展了沪杭研学，在乌镇参观时，某数学兴趣小组为测量某河道的宽度，进行了如下操作：如图，在河道一侧的水平步道上选取相距2米的A、B两个观测点，在河道对岸的水平岸线上选取点C.若该数学兴趣小组测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则可求得该河道的宽度（即点C到直线AB的距离）为（　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.在平面内，BC=2，D为BC中点，动点A满足，动点M满足，则的最大值为（　　）
A. 1 B. C. 2 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量=（m，3），=（1，m+1）．若⊥，则m= ．
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若a=3，b=5，，则sinA= .
13.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，∠DAB=60°，且满足，则= ，的值为 .
14.设函数（ω＞0）.若对函数f（x），存在实数m,使得 x1，，满足f（x1） f（x2）=-3，则ω的最小值为 ，当ω取此最小值时，一个符合要求的m的值为 （写出一个即可）.
15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2.点E为AD中点，P为正方体侧面BCC1B1内（包含边界）的动点.记E、C、B1三点所在的平面为α.给出下列四个结论：
①直线EC1与平面BCC1B1所成角的正切值为；
②已知平面EC1D1∩α=l,若P∈l,则；
③若点P满足AP∥α，则必有△PB1C的面积为1；
④若点P满足EP⊥BC1，则必有AP∥α.
其中所有正确结论的序号为 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足.
（1）求角A的大小；
（2）若c=2，且△ABC的面积为，求a的值.
17.(本小题14分)
已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-2sin2x.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，并求相应的x的值.
18.(本小题14分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，E是PD的中点.在底面ABCD内CD⊥AC且.
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：CD⊥PA.
19.(本小题14分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，CC1的中点.
（1）求证：BD1∥平面ACE；
（2）求证：平面BFD1∥平面ACE；
（3）求证：平面BDD1⊥平面ACE.
20.(本小题14分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足2c-a=2b cosA.
（1）求角B的大小；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答：
（ⅰ）求b的值；
（ⅱ）若△ABC是锐角三角形，求△ABC周长的取值范围.
条件①：△ABC外心（外接圆圆心）到边AC距离为；
条件②：acosC+ccosA=3.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21.(本小题15分)
设n（n≥2）为正整数，若α=（x1，x2，…，xn）满足：
①xi∈{0，1，…，n-1}，i=1，2，…，n；
②对于1≤i＜j≤n，均有xi≠xj；
则称a具有性质E（n）.
对于a=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…，yn），定义集合T（α，β）={t|t=|xi-yi|，i=1，2，…，n}.
（Ⅰ）设a=（0，1，2），若β=（y1，y2，y3）具有性质E（3），写出一个β及相应的T（a，β）；
（Ⅱ）设α和β具有性质E（6），那么T（α，β）是否可能为{0，1，2，3，4，5}，若可能，写出一组α和β，若不可能，说明理由；
（Ⅲ）设α和β具有性质E（n），对于给定的α，求证：满足T（α，β）={0，1，…，n-1}的β有偶数个.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】-
12.【答案】
13.【答案】
1

14.【答案】2
（答案不唯一）

15.【答案】①③④
16.【答案】
17.【答案】解：（1）因为f（x）=（sinx+cosx）2-2sin2x=sin2x+cos2x+2sinxcosx-2sin2x
=，
所以f（x）的最小正周期；
令，
解得：，
所以f（x）的单调递增区间为；
（2）当时，，
所以当，即时，；
当，即时，f（x）min=-1．
18.【答案】因为BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BC∥AD 取AP的中点F，连接EF，BF，
因为E，F分别为PD，PA中点，
所以EF∥AD且，
由（1）知BC∥AD，
又，
所以EF∥BC，EF=BC，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以BF∥CE，
而BF 平面PAB，CE 平面PAB，
所以CE∥平面PAB 因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，CD⊥AC，CD 平面ABCD，
所以CD⊥平面PAC，
又PA 平面PAC，
所以CD⊥PA
19.【答案】连接BD，交AC于点O，连接OE，则O是BD的中点，
因为E是DD1的中点，
所以OE∥BD1，
又OE 平面ACE，BD1 平面ACE，
所以BD1∥平面ACE 因为E，F分别是DD1，CC1的中点，
所以D1E∥CF，D1E=CF，
所以四边形D1ECF是平行四边形，
所以D1F∥CE，
又CE 平面ACE，D1F 平面ACE，
所以D1F∥平面ACE．
由（1）知BD1∥平面ACE，
而BD1∩D1F=D1，BD1，D1F 平面BFD1，
所以平面BFD1∥平面ACE 因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC，
又AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD，DD1 平面BDD1，
所以AC⊥平面BDD1，
而AC 平面ACE，
所以平面BDD1⊥平面ACE
20.【答案】 （i）选择①或②，均得到b=3；（ii）
21.【答案】解：（1）根据题意，令β=（0，1，2），即y1=0，y2=1，y3=2，
则根据题意可得，t=|xi-yi|=0（i=1，2，3），则相应的一个T（α，β）={0}；
若β=（0，2，1），即y1=0，y2=2，y3=1，
则根据题意可得，t=|xi-yi|=，则相应的一个T（α，β）={0，1}；
若β=（1，0，2），即y1=1，y2=0，y3=2，
则根据题意可得，t=|xi-yi|=，则相应的一个T（α，β）={0，1}；
若β=（1，2，0），即y1=1，y2=2，y3=0，
则根据题意可得，t=|xi-yi|=，则相应的一个T（α，β）={1，2}；
同理可得，若β=（2，0，1），则相应的一个T（α，β）={1，2}；
若β=（2，1，0），则相应的一个T（α，β）={0，2}；
（2）假设存在α=（x1，x2，…，x6），和β=（y1，y2，…，y6）均具有性质E{6}，且T（α，β）={0，1，2，3，4，5}，
则0+1+2+3+4+5=，因为|xi-yi|与xi-yi同奇同偶，
所以与同奇同偶
而本题中由（1）中结论可知，=15，=0，可见奇偶不同，这与上述结论相矛盾，
因此假设不成立．
综上可得，不存在具有性质E{6}的α，β，满足T（α，β）={0，1，2，3，4，5}．
（3）证明：不妨设α=（x1，x2，……，xn），β=（y1，y2，……，yn）构成一个对应数表A：
交换数表中两行数据，可得对应数表B：
调整数表中各列的顺序，并假设调整后的第一行数据为x1，x2，……，xn，设调整后的数据第二行为z1，z2，……，zn，
令γ=（z1，z2，……，zn），则γ具有性质E（n），且T（α，γ）={0，1，2，……，n-1}，
假设β=（y1，y2，……，yn），与γ=（z1，z2，……，zn）相同，则y1=z1，y2=z2，……，yn=zn，
不妨设xi≠yi，x1=yk（k≠1），则有z1=xk，故|x1-z1|=|yk-xk|，
∵T（α，β）={0，1，2，3……，n-1}，
∴|x1-y1|≠|xi-yi|（i=2，3，4，……，n）①，
∵y1=z1=xk，
∴|x1-y1|=|xk-yk|（k≠1）②，
显然地，结论①，②前后矛盾，
故对于具有性质E（n）的α=（x1，x2，……，xn），若β=（y1，y2，……，yn）具有性质E（n），且T（α，γ）={0，1，2，……，n-1}，
则存在一个具有性质E（n）的γ=（z1，z2，……，zn），使得T（α，γ）={0，1，2，……，n-1}，
且β=（y1，y2，……，yn）与γ=（z1，z2，……，zn）不同．
并且由γ的构造过程可以知道，当α=（x1，x2，……，xn），β=（y1，y2，……，yn）确定时，γ=（z1，z2，……，zn）唯一确定．
同样地，由α，γ，也仅能构造出β．
综上，命题得证．
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