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2025-2026学年福建省泉州市惠安县第一中学、安溪县第一中学、泉州市实验中学、晋江市养正中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知a∈R，复数z=a2+（a+1）i,若z-1为纯虚数，则z=（　　）
A. 1-2i B. 1+2i C. -1+2i D. -1-2i
2.已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是（　　）
A. 2 B. 1 C. D.
3.下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（　　）
A. |z|=2 B. 复数z在复平面内对应的点在直线y=x上
C. z的共轭复数为-1-i D. z的虚部为i
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，若△ABC有两解，则b的取值范围是（　　）
A. （3，6） B. C. D.
5.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其上，下底面都为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，若盆中积水深为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为（　　）
A. B. C. D.
6.如图，甲在M处观测到河对岸的某建筑物在北偏东15°方向，顶部P的仰角为30°，往正东方向前进150m到达N处，测得该建筑物在北偏西45°方向.底部Q和M，N在同一水平面内，则该建筑物的高PQ为（　　）
A. B. C. D.
7.关于平面向量，，，下列结论正确的个数为（　　）
①若 = ，则=；
②若=（1，k），=（-2，6），∥，则k=-3；
③非零向量和满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°；
④已知向量，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
8.已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°， =-2，则||的最小值是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下面四个命题中的真命题为（　　）
A. 若复数z满足，则z∈R
B. 若复数z满足，则|z|=1
C. 已知z1，z2∈C，若z1z2∈R，则
D. 已知z1，z2，z3∈C，若z1z2=z1z3，则z2=z3
10.已知△ABC是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（　　）
A. 若角，则
B. 若，则
C. 若，则，的夹角为
D. 若，则BC为圆O的一条直径
11.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O1，O2为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r=2，则（　　）
A. 球与圆柱的体积之比为2：3
B. 四面体CDEF的体积的取值范围为（0，32]
C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为
D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+PF的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，已知△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′=4，则△ABC的边AB上的高为______.
13.已知m是实数，关于x的方程x2-（m+2）x+m2+3m+1=0的两个虚数根为z1，z2.若|z1-z2|=2，则m的值为 .
14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且2S=a2-（b-c）2，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的，球的半径为R（单位：cm）.正四棱柱的底面边长为2R，高为7R.正四棱台的上、下底面边长分别为4R和6R，斜高（即侧面梯形的高）为3R.
（1）求这种型号的奖杯的表面积（用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；
（2）已知R=3cm,若为奖杯表面镀金所用的材料每2g可以涂1m2，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他材质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（π取3.14，精确到0.01g）
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,2b=a（2cosC-cosB）-bcosA.
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，D为AC的中点，当BD取得最小值时，求BC的长.
17.(本小题15分)
如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，E在边AB上，与CE交于点O.
（1）以为基底表示；
（2）若，求x,y的值；
（3）若，求的值.
18.(本小题17分)
如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，AC=2，P为ΔABC内一点，D为BC上一点，，且.
（1）若，求PA；
（2）若∠APB=120°，求ΔABP的面积S.
19.(本小题17分)
（1）如图1，正四棱锥P-ABCD，AB=PA=4.
（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；
（ⅱ）M为PC上一点，求MA+MB的最小值；
（2）将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】BCD
11.【答案】AD
12.【答案】8
13.【答案】
14.【答案】[2，）
15.【答案】（168R2+4πR）cm2 26.02 g
16.【答案】；
．
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】（i）；（ii）
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