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2025-2026学年北京师范大学附属实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.下列各角中，与27°角终边相同的是（　　）
A. -27° B. 153° C. 207° D. 387°
2.下列函数中，周期为的奇函数为（　　）
A. y=sin2x B. y=cos4x C. y=tan2x D. y=sin22x
3.在△ABC中，A为钝角，则点P（tanA，cosB）（　　）
A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限
4.若，则符合条件的角α有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.如果角α的终边在直线y=3x上，则=（　　）
A. B. C. D.
6.已知向量，，，则=（　　）
A. B. C. 4 D.
7.把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为（　　）
A. y=cos2x B. y=-sin2x C. D.
8.已知，则cos（α-β）=（　　）
A. B. C. D.
9.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=2，则的取值范围是（　　）
A. [-4，15] B. [-2，10] C. [-6，14] D. [-14，6]
10.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f（x）=sinx+sin2x（x∈R），则下列结论正确的是（　　）
A. f（x）的一个周期为π B. f（x）的最大值为
C. f（x）的图象关于直线x=π对称 D. f（x）在区间[0，2π]上有3个零点
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为______．
12.已知向量，若与垂直，则m= .
13.已知函数的部分图象如图所示.则ω= ，φ= .
14.将函数的图像向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图像，记函数G（x）=f（x）-g（x），若G（x）=0，则φ的最小值为 ；若G（x）的最大值为2，则φ的一个取值为 .
15.已知函数f（x）=|cosx+a|.给出下列四个结论：
①任意a∈R，函数f（x）的最大值与最小值的差为2；
②存在a∈R，使得对任意x∈R，f（x）+f（π-x）=2a；
③当a≠0时，对任意非零实数x,；
④当a=0时，存在T∈（0，π），x0∈R，使得对任意n∈Z，都有f（x0）=f（x0+nT）.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为.
（1）求tanβ的值；
（2）求的值.
17.(本小题14分)
已知函数.
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数y=f（ωx）（ω＞0）在上无零点，求ω的取值范围.
18.(本小题14分)
如图，在水平面上有两个单位圆O1和O2，在t=0时刻，质点甲从点A（AO1与水平面平行）开始按逆时针方向在圆O1上做匀速圆周运动，质点乙从点B（B为圆O2上的最低点）开始按逆时针方向在圆O2上做匀速圆周运动，甲转一周需要2π秒，乙转一周需要π秒.在t时刻，设质点甲的竖直高度为h甲，质点乙的竖直高度为h乙，设h（t）=h甲-h乙.
（1）求h（t）的解析式；
（2）若t∈[0，2π]，求h（t）的值域.
19.(本小题14分)
已知函数.
（1）求f（0）的值；
（2）从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数f（x）存在且唯一确定.当时，f（x）的值域为，求a的取值范围.
条件①：f（x）在上是单调函数；
条件②：y=f（x）图象的一个对称中心为；
条件③：对任意的x∈R，都有成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足.
（1）若A（3，0），B（0，3），求；
（2）若，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.
21.(本小题15分)
设n为正整数，集合S={α|α=（t1，t2， ，tn），ti∈{0，1}，i=1，2， ，n}.对于集合S中的元素α=（x1，x2， ，xn）和β=（y1，y2， ，yn），记k=|x1-y1|+|x2-y2|+…+|xn-yn|为元素α与β的相异系数.
（1）当n=4时，写出与元素（1，1，1，1）的相异系数为3的所有元素；
（2）当n=4时，证明：对于集合S中任意3个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于3；
（3）当n=20时，集合S中是否存在10个元素，其中任意两个不同元素的相异系数都不小于12？请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】2

14.【答案】π
（答案不唯一）

15.【答案】②
16.【答案】
17.【答案】最小正周期为π；单调递减区间，k∈Z {ω|}
18.【答案】h（t）=cos2t-sint
19.【答案】
20.【答案】 [-1，+∞）
21.【答案】（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1） 当n=4时，
任取集合S中的3个元素，记为α，β，γ．若其中有两个元素的相异系数已经小于3，结论成立．
下面只需证明不可能出现三者两两相异系数都不小于3的情形．
假设α与β的相异系数不小于3，且α与γ的相异系数也不小于3．
设β与α相异的位置集合为M，γ与α相异的位置集合为N，则|M|≥3，|N|≥3．
因为一共只有4个坐标位置，所以M与N至少有2个公共位置．
在这些公共位置上，β与α不同，γ也与α不同．
由于每个坐标只能取0或1，所以β和γ在这些公共位置上的取值相同．
因此β与γ可能相异的位置至多只剩下4-2=2个，即β与γ的相异系数小于3．
这与三者两两相异系数都不小于3矛盾．
故对于集合S中任意3个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于3 不存在．下面用反证法证明．
假设当n=20时，集合S中存在10个元素，且任意两个不同元素的相异系数都不小于12．
把这10个元素记为α1，α2， ，α10．
先从元素对的角度统计．
这10个元素共有对不同元素，每一对的相异系数都不小于12，所以所有元素对的相异系数之和不小于45×12=540．
再从坐标位置的角度统计．
对于第j个坐标位置，设这10个元素中该位置取1的元素个数为rj，则该位置取0的元素个数为10-rj．
在第j个坐标位置上取值不同的元素对共有rj（10-rj）对．
由于rj为整数，且0≤rj≤10，所以rj（10-rj）≤25．
共有20个坐标位置，所以所有元素对的相异系数之和不超过20×25=500．
于是同一个相异系数总和既不小于540，又不超过500，矛盾．
因此当n=20时，集合S中不存在10个元素，使得其中任意两个不同元素的相异系数都不小于12
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