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2025-2026学年北京师范大学第二附属中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.与-420°角终边相同的最小正角是（　　）
A. B. C. D.
2.一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形圆心角的弧度数是（　　）
A. 1.5π B. 2.5 C. 3π D. 5
3.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点P（sin30°，tan135°），则tanα=（　　）
A. B. -2 C. D. 2
4.已知，则cos2α=（　　）
A. B. C. D.
5.已知向量，，则“”是“m=2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知向量，且，则m=（　　）
A. -2 B. C. -2或 D. 2或
7.将函数f（x）=sin2x-cos2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到新的图象，已知这个新的图象关于原点中心对称，则φ的最小值为（　　）
A. B. C. D.
8.已知正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD上一点，当时，tan∠EAF=（　　）
A. B. C. D.
9.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ＜90°）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=htanθ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（　　）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
10.在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，点C（2，1），则的最大值为（　　）
A. B. C. 2 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在平面直角坐标系xOy中，角α以坐标原点O为顶点，以x轴负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则cos（α+π）= .
12.已知函数f（x）=sinx,则= ；若对任意x∈R都有f（x）+f（x+m）=0，则常数m的一个取值为 .
13.已知，，若，则实数x的取值范围为 .
14.如图为函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0）的部分图象，对于任意的x1，x2∈[a,b]，若f（x1）=f（x2），都有，则sinφ等于 .
15.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=2，以AB为直径在△ABC外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的取值范围是 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知.
（1）求及cos2α的值；
（2）若，求cos（2α+β）的值.
17.(本小题12分)
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示.
（1）求f（x）的解析式；
（2）设α，β为锐角，，，求f（β）的值.
18.(本小题12分)
已知函数.
（1）求f（x）的解析式和对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在上的单调递增区间.
19.(本小题12分)
如图所示，平行四边形OACB中已知，D点在边AC上运动，
（1）求C点坐标；
（2）判断是否存在点D，使得，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由.
20.(本小题13分)
已知点A（1，1），B（3，-1），C（k,3）.
（1）若A，B，C三点共线，求实数k的值；
（2）若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值.
21.(本小题14分)
已知n个向量，将向量按照一定顺序排成一列，可得一个n-向量序列、、 、；定义：S1（A）=x1+y1，，其中max{x,y}表示x、y最大的数.
（1）对于2-向量序列A：（1，2）、（4，3），求S1（A）、S2（A）的值；
（2）设向量，，可排成两个向量序列、，和、，在x1、y1、x2、y2四个数中最小的数分别为x1和y2两种情况下，比较S2（A1）和S2（A2）的大小；
（3）若n为奇数且n≥3，xi≥0，yi≥0，xi+yi≤2（i=1，2， ，n），设集合，证明：集合M中存在两个非空子集B1、B2，满足B1∩B2= ，B1∪B2=M，B1中所有向量的横坐标之和，B2中所有向量的纵坐标之和.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】
π

13.【答案】（1，+∞）
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】7；
17.【答案】
18.【答案】，
19.【答案】解：（1）由题意，得 ， ，
因为四边形是平行四边形，
所以 ,
所以 ；
（2） ， ，，
若 ，则 ，
化简得 ，解得 ，
故存在点，使得 ，且 .

20.【答案】k=-1；
．
21.【答案】解：（1）对于2-向量序列A：（1，2）、（4，3），由题中定义可得S1（A）=1+2=3，
S2（A）=3+max{S1（A），1+4}=3+max{3，5}=3+5=8；
（2）S2（A1）=y2+max{x1+y1，x1+x2}=max{x1+y1+y2，x1+x2+y2}，
S2（A2）=y1+max{x2+y2，x2+x1}=max{y1+x2+y2，x1+y1+x2}，
当x1为最小时，S2（A2）=y1+x2+y2，
因为y1+x2+y2x1+x2+y2，y1+x2+y2x1+y1+y2，因此S2（A2）S2（A1），
当y2为最小时，S2（A2）=x1+y1+x2，
因为x1+y1+x2x1+y1+y2，x1+y1+x2＞x1+x2+y2，因此S2（A2）S2（A1），
因此两种情况下均有S2（A2）S2（A1），当且仅当时取等号；
（3）证明：不妨设0≤x1≤x2≤ ≤xn≤2，
①若，
因为B2中任意，因此存在B2为单元素集合，B1为B2的补集即可；
②若，
因为，xi≤2，因此一定存在正整数k,
使得，
可得，
又因为yk+1+ +yn≤（2-xk+1）+ +（2-xn）≤（n-k）（2-xk+1）
，
设n+1=s,k+1=t,则
，
当且仅当时取等号，
因此，时，
，；
综上所述，存在两个非空子集B1、B2，满足题意．
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