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北京市朝阳区北京中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，使得”的否定为（ ）
A. ， B. ，都有
C. ， D. ，都有
3.某班学生的考试成绩中，数学优秀的占，语文优秀的占，两门都优秀的占，已知一学生数学优秀，则他的语文也优秀的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.“”是“不等式的解集为空集”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（　　）
A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 52种
7.，则（ ）
A. B. C. D.
8.设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
9.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A. 函数的最大值为1 B. 函数 的 最小值为1
C. 函数的最大值为1 D. 函数 的 最小值为1
10.当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合的全部非空子集的厚度之和为（ ）
A. 3200 B. 1600 C. 1550 D. 800
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.二项式的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）
12.某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为. 从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为 .
13.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到，，三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为______.（用数字作答）
14.已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为 ．
15.已知函数；若方程恰有三个根，写出一个满足条件的实数为 .
16.如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线C：y2=x3-2x+2的一部分，给出下列四个结论：
①点（1，1）在C上；
②在（1，1）处C的切线，其与C的交点的横纵坐标均为整数；
③若C在x轴上方的部分为函数f（x）的图象，则是f（x）的极小值点；
④C在y轴左边的部分到坐标原点O的距离均大于.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若是的极大值点，证明此时的极小值小于零.
18.(本小题14分)
某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV）和插混电动版（PHEV），为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）
车型 低收入群体（收入＜20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入＞50万元/年）
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
EV 50 20 40 40 30 20
PHEV 25 45 40 40 35 15
假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率.
（1）在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV）的概率p；
（2）从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV）汽车的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动（EV）汽车的概率设为pA，试比较p和pA的大小.
19.(本小题14分)
已知椭圆：的左焦点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点作斜率为且不经过焦点的直线，直线与椭圆交于不同两点，，直线，与轴正半轴分别交于点，.求证：的值为定值.
20.(本小题14分)
已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的最小值;
(2)求证:f(x)2ex-e;
(3)设g(x)=f(x-1)-2x-+3,已知g(x)<0,求x的取值范围.
21.(本小题14分)
已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，.
(1)若（），写出集合；
(2)若（），且（），求的最小值.
(3)若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】160.
12.【答案】
13.【答案】12
14.【答案】
15.【答案】/
16.【答案】①③④
17.【答案】解：（1）当时，函数，.
则.
所以曲线在处的切线方程为，
即.
（2）函数的定义域为，
.
若是的极大值点，则，即，解得.
当时，，
.
令，则或，即或；
令，则，即.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以是的极大值点，符合题意.
所以在处取得极小值，极小值为.

18.【答案】（1） （2）X的分布列为：
X 0 1 2 3
p
E（X）= （3）pA＜p
19.【答案】【详解】（1）因为椭圆：的左焦点，所以，
又，所以，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：设直线的方程为，
联立，消去并化简得，
又，其中，
且
设，则有，
所以
，
即，
又，所以，
所以的值为定值.

20.【答案】解：（1）由题得，
令得到，
在上，，所以在上单调递减；
在上，，所以在上单调递增；
所以的最小值为.
（2）由得到，
令，，
令，则，
令得到，
在上，，所以在上单调递减；
在上，，所以在上单调递增，
由，且当时，,故：
当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增，
所以，
即，所以得证.
（3）由题得，，
则，
令，则，
在单调递增，，
所以在上，，在上，,
所以时，函数取得极小值即最小值，，
所以，所以函数在上单调递增，，
所以当时，成立，当时，成立，
当时，，此时函数单调递减，
因此，而，可得，
综上得到：.

21.【答案】解：（1）.
（2）①当为偶数时：．
中含有个整数对，其中，
将所有这样的整数对交换位置变为组成，
此时每一个整数对中对应数字之差均为1，那么，则的最小值为；
②当为奇数时：
假设，，不妨设，
则或3，若则，矛盾，以此类推，值，矛盾．
所以．
将中所有数字分成个整数组，
共中含有个整数对，个整数组．
将所有这样的整数对交换位置变为．
此时每一个整数对中对应数字之差均为1，
整数组中对应数字之差为1，1，2，因此，
则的最小值为．
（3）设，
因为，所以的值只能为0或1，
故的值等于满足的坐标的个数，
所以和中有满足的个数有个，
和中有满足的个数有个，
和中有满足的个数有个．
因为，所以不可能存在互不相等的情况。
设为的个数，为的个数，
为的个数，为的个数。
则，三式相加.
因此为偶数，则，，中含有一个或者三个偶数，
即三个数中至少有一个偶数．

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