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2025-2026学年宁夏银川市第二十四中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，在数轴上有A、B、C、D四个点，实数在数轴上对应的位置是（　　）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
2.在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法，这种画平行线方法的依据是（　　）
A. 内错角相等，两直线平行
B. 同位角相等，两直线平行
C. 两直线平行，内错角相等
D. 两直线平行，同位角相等
3.如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯的正下方.在此过程中，他的影子会（　　）
A. 一直变长
B. 一直变短
C. 先变长，后变短
D. 先变短，后变长
4.深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术.一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位.据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次.设下载量的日平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的是（　　）
A. 48（1+x）=150 B. 48（1+x）2=150 C. 48（1-x）2=150 D. 48（1+x）3=150
5.袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.2，则估计袋中红球的个数为（　　）
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A. 2π-4
B. 4π-4
C. 8π-8
D. 4π-8
7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（　　）
A. B. 2 C. 1.5 D.
8.某位学生根据如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象，做出了如下判断：①当x=-1时，函数y有最小值为0；②点（-2，2）在这个函数图象上；③将这个二次函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图象的表达式为y=x2-6x+6；④若一次函数y=kx-3的图象与这个二次函数的图象有唯一的公共点，则k=6.
其中说法正确的个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.= .
10.若a,b是实数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为 .
11.已知二次函数y=x2+2x+m与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是 .
12.如图，∠C=∠D=90°，添加一个条件： （写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC，利用圆规在AC上截取CD=CB，在AB上截取AE=AD，点E就是AB的黄金分割点.若AB=4，则AE的长为 .
14.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点.根据图象写出当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围 .
15.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为3：2，则△ABC与△DEF的面积比是 .
16.实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管AB=30cm,，试管倾斜角α为10°，经测得：DE=21.7cm,MN=8cm,∠ABM=145°.实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在同一条直线上），线段DN的长度为 cm.（结果精确到0.1，参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组：.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中a=-1.
19.(本小题6分)
仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法.
（1）如图1，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结AC，使得AC=AB.
（2）如图2，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）.
（3）如图3，在 ABCD中，E是边BC上一点，请在边AD上找一点F，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）.
20.(本小题6分)
某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲、乙两位同学得分的折线图：
b.丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数和中位数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
中位数 9 n 9
根据以上信息；回答下列问题：
（1）表中m的值为______，n的值为______.
（2）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是______（填“甲”、“乙”或“丙”）.
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生歌唱比赛，用列表或树状图法求甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
21.(本小题6分)
如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E.
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若DE=AB=2，求四边形ABCD的面积.
22.(本小题6分)
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”.例如：16=52-32，24=72-52，32=92-72，所以16，24，32都是“双奇差数”.
（1）在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是______（填序号）.
（2）根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为2k+1和2k-1，其中k为正整数.
①试说明：“双奇差数”都能被8整除；
②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数.请给出验证.
23.(本小题8分)
2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元.
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值.
24.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，以CD为直径作⊙O，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AE=DE.
（1）求证：CD=BC；
（2）若BC=5，BD=6，求DE的长.
25.(本小题10分)
如图，抛物线经过坐标轴上A（1，0），B（0，-3），C（-3，0）三点，直线l过点B和点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是直线l下方抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积等于3时点P的坐标；
（3）R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点S坐标；若不存在，请说明理由.
26.(本小题10分)
如图1，已知点E为正方形ABCD内的一点，连接BE.将线段BE绕点B顺时针方向旋转90°得到BF，连接，AE，CF.
（1）【问题发现】
如图1，线段AE与CF的数量关系是______，线段AE与CF位置关系是______；
（2）【问题探究】
如图2，点E为正方形ABCD外的一点，将BE绕点B顺时针方向旋转90°得到BF，连接AE，CF，探究线段AE与CF的数量及位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为△ABC外一点，且∠BDC=45°，点O为AC的中点，连接OD，BD，CD，若OD=，BD=17，求CD的长.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】-4
10.【答案】b-a+4
11.【答案】m＜1
12.【答案】AC=AD （答案不唯一）
13.【答案】
14.【答案】-2＜x＜0或x＞1
15.【答案】9：4
16.【答案】21.8
17.【答案】-2＜x≤1．
18.【答案】解：原式=
=
=，
当a=-1时，
原式===．
19.【答案】见解答．
见解答．
见解答．
20.【答案】8.6、9；
丙；
．
21.【答案】平行四边形ABCD是菱形．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠DAC=∠ACB，
∵点O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△ADO≌△CBO（ASA）．
∴AD=CB，
又∵AM∥BN，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABN，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴平行四边形ABCD是菱形
22.【答案】② ①设两个连续的正奇数为2k+1和2k-1，则：
（2k+1）2-（2k-1）2
=[2k+1+（2k-1）][2k+1-（2k-1）]
=4k×2
=8k．
因为k为正整数，
所以“双奇差数”都能被8整除．
②设任意两个连续的“双奇差数”为8k和8（k+1），则差为8（k+1）-8k=8，
所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为8
23.【答案】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品（400- m）个，
由题意得，40（400-m）+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）由题意得，W=（a-40）[200-5（a-60）]
=（a-40）（200-5a+300）
=（a-40）（500-5a）
=500a-20000-5a2+200a
=-5（a-70）2+4500，
∵-5＜0，60≤a≤100，
∴当a-70=0，即a=70时，W最大，最大值为4500．
24.【答案】见解析；
．
25.【答案】y=x2+2x-3 P（-1，-4）或P（-2，-3） S（-2，-3）或S（2，5）或S（-4，5）
26.【答案】AE=CF，AE⊥CF；
AE=CF，AE⊥CF；理由详见解析；
7．
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