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山东济南市市中区2025-2026学年第二学期七年级期中学业质量监测数学学科试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.假设年我国量子计算技术取得重大突破，“祖冲之四号”量子芯片的单个量子比特操控精度达到秒．用科学记数法表示这个数为（ ）
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
2.下列式子运算正确的是（　　）
A. a3 a=a3 B. （a2）3=a6 C. a6÷a3=a2 D. （-3a2）3=-9a6
3.某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（）
A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95
4.如图，和相交于点，若，用“”证明还需（ ）
A. B. C. D.
5.用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（）
A. B. C. D.
6.如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（ ）
A. B. C. D.
7.已知中，，则为（ ）
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定
8.如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，在中，，分别是边上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，( )
A. B. C. D.
10.设x，y是实数，定义@的一种运算如下：x@y=（x+y）2-（x-y）2，则下列结论：①若x@y=0，则x=0或y=0；②x@（y+z）=x@y+x@z；③不存在实数x，y，满足x@y=x2+5y2；④设x，y是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当x=y时，x@y最大．其中正确的是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
12.若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是 ．
13.已知m+n=5，mn=3，则（m-1）（n-1）的值等于 .
14.如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是 ．
15.如图，四边形中，，，，．点为线段的中点．点在线段上以的速度由B向C运动，同时点在线段上由C向D运动．当与全等时，则点的速度为 ．
三、计算题：本大题共3小题，共21分。
16.计算：；
17.化简：
(1) ．
(2)
18.简便计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
已知在同一条直线上，，，，与交于点．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的度数．
20.(本小题5分)
先化简,后求值:[-(x+3y)(x-3y)+](-4y),其中x=1,y=-.
21.(本小题8分)
2023年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”深受同学们喜爱．某班准备了枚吉祥物徽章用于主题班会抽奖，其中“琮琮”徽章有9枚，“宸宸”徽章有6枚，所有徽章除图案外完全相同．
(1) 若小颖随机抽取一枚徽章，求抽到“宸宸”徽章的概率；
(2) 班会结束后，又补充了若干枚徽章，此时徽章总数变为枚．若随机抽取一枚徽章，抽到“琮琮”徽章的概率恰好为，求补充了多少枚“琮琮”徽章．
22.(本小题8分)
按要求解答下列各题：
(1) 数学课堂上老师留了道数学题，如图1，用式子表示空白部分的面积．
甲，乙，丙，丁4名同学表示的式子是：
甲：
乙：
丙：
丁：
①4名同学中正确的学生是___________；（填“甲”，“乙”，“丙”，“丁”）
②当时，求空白部分的面积．
(2) 如图2，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余进行绿化，已知两条道路的宽分别为米和米，求绿地的面积（用含，的式子来表示）．
23.(本小题10分)
小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图， 表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从 摆到 位置，此时过点B作 于点D，当小球摆到 位置时， 与 恰好垂直（图中的 A、B、O、C在同一平面上），过点C作 于点E，测得 ， ．
(1) 试说明： ；
(2) 求的长．（用含a，b的式子表示）
24.(本小题15分)
【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．
(1) 【提出问题】
观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：；公式②：；公式③：；公式④：．
图1对应公式 ，图3对应公式 ．
(2) 【解决问题】
利用图形所表示的乘法公式，解决以下问题．
①已知，，求的值；
②化简．
(3) 【能力拓展】
如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，直接写出阴影部分的面积 ．
（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）
25.(本小题15分)
【模型构建】
如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．如果把的腰看作大手，的腰看作小手，，可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”．可探究和的数量关系．
探索思路如下：
，
（___________），
即（___________），
在与中，
，
（___________），
（___________）．
(1) 请在上面（）中填写适当的理由．
，
（ ），
即（ ），
在与中，
，
（ ），
（ ）．
(2) 【深入探究】如图②，和为等腰直角三角形，，判断直线、的数量关系和位置关系并证明：
(3) 【拓展应用】如图③，在中，，点为的中点，以为边在下方构造等边，连接，，．已知点到的距离为1，的面积为，求的值．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】随机
12.【答案】
13.【答案】-1
14.【答案】或
15.【答案】或
16.【答案】解：原式
．

17.【答案】【小题1】
解：原式
．
【小题2】
解：原式
．

18.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

19.【答案】【小题1】
证明：∵在同一条直线上，，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，，
∴．
【小题2】
解：∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．

20.【答案】解：原式=（x2-4xy+4y2-x2+9y2+3y2）÷（-4y）
=（-4xy+16y2）÷（-4y）
=x-4y,
当x=1，时，
x-4y=．
21.【答案】【小题1】
解：由题意可知，总徽章数为枚，“宸宸”徽章共6枚，
故抽到“宸宸”徽章的概率为．
【小题2】
解：设补充了枚“琮琮”徽章，
由题意可得方程，
去分母得，
解得，
∴补充了枚“琮琮”徽章．

22.【答案】【小题1】
解：①空白部分的面积为：
，
丙、丁正确；
②空白部分的面积
【小题2】
解：根据题意得：.

23.【答案】【小题1】
解：∵ ，
∴
又∵ ．
∴
∴
∴
在 和 中，
∴
∴
【小题2】
∵
∴
∵
∴
答：的长为．

24.【答案】【小题1】
①
④
【小题2】
①把两边平方得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②
；
【小题3】
32

25.【答案】【小题1】
等式性质


全等三角形的对应边相等
【小题2】
解：，．
延长与交于点H，
和为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
（），
，，
，
即．
【小题3】
解：以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，
点M到的距离为1，的面积为，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
点为的中点，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．

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