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2026年上海中考冲刺 填空基础专题复习
(知识总结+考点精讲+课后巩固))
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 因式分解（提公因式、平方差公式）、幂的运算、科学记数法、分式化简、最简二次根式。
熟练运用 一元一次不等式（组）解法、无理方程解法、一元二次方程根的判别式（求参数范围、相等实数根）。
理解 正比例函数、反比例函数、二次函数的图象与性质（增减性、平移、对称轴、顶点），能根据条件求解析式或平移后解析式。
掌握 统计量（中位数、众数、概率计算）、扇形统计图与条形统计图的读取、用样本估计总体；平面向量的线性运算、菱形的性质、正多边形中心角、锐角三角比（坡度、正弦）。
体会 转化思想、数形结合、分类讨论、方程思想在填空基础题中的灵活运用。
核心：基本概念精准 · 代数运算熟练 · 几何性质清晰 · 统计概率建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 数与式
因式分解： 提公因式法（）；平方差公式（）；完全平方公式（）。
幂的运算： ，，，（）。
科学记数法： ，， 为整数。大数 为正，小数 为负。
分式运算： 同分母相加减，分母不变，分子相加减；异分母先通分。注意约分化简。
二次根式： 最简二次根式条件（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式）。
☆ 方程与不等式
一元一次不等式（组）： 解集的公共部分确定，口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”。注意不等式两边乘除负数要变号。
无理方程： 方程两边平方化为有理方程，必须验根（增根使被开方数为负或分母为零）。
一元二次方程根的判别式： 。 两个不等实根； 两个相等实根； 无实根。用于求参数范围。
二元二次方程分解： 通过因式分解化为两个一次方程（如 ）。
☆ 函数及其性质
正比例函数： （），图象过原点。 随 增大而增大； 减小。
反比例函数： （），图象为双曲线。 在一、三象限，每一象限内 随 增大而减小； 在二、四象限，每一象限内 随 增大而增大。
二次函数： 。顶点式 。平移规律“左加右减，上加下减”。对称轴 。抛物线上的对称点：纵坐标相等时，两点关于对称轴对称。
☆ 统计与几何综合
统计量： 中位数（排序后中间位置，偶数个取平均）、众数（出现次数最多）、概率（）。扇形统计图中百分比 = 圆心角/360°。用样本估计总体：样本比例×总体数量。
平面向量： 向量加法三角形法则：；减法：。平行四边形法则。向量共线、中点公式。
几何性质： 菱形四边相等，对角线垂直平分且平分内角；矩形对角线相等；正多边形中心角 = ；坡度 （坡角正切）。
圆： 垂径定理、圆心角定理；点与圆位置关系（ 与 ）。正多边形与圆的关系（边心距、半径、边长关系）。
☆ 知识总结表
类别 核心内容 常用公式/结论
数与式 因式分解、幂运算、科学记数法、分式化简 ； 指数规律
方程与不等式 不等式组解集、无理方程验根、判别式求参 ； 两边平方
函数 正比例、反比例、二次函数图象与增减性、平移 平移：左加右减，上加下减；对称轴
统计与概率 中位数、众数、概率、扇形统计图、样本估计总体 ；中位数排序后取中间
几何与向量 菱形、矩形、正多边形中心角、坡度、向量线性运算 正多边形中心角 = ；
直击考场 ·典型考点精讲
考场一：（共10小题）
1．分解因式：a2b+ab2＝　 　 ．
2．不等式组的解集是　 　 ．
3．方程2的解为　 　 ．
4．一元二次方程2x2+x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　 　 ．
5．抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　 ．
6．已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是　 　 ．（只需写出一个）
7．小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为　 　 ．
8．如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为　 　 ．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数）
9．某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人流，先对2000人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为1.8万人，其中有约　 　 人选择出租车．
10．已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么这个工具1秒可以擦除　 　 次（用科学记数法表示）．
考场二：（共10小题）
11．计算：（4x2）3＝　 　 ．
12．计算：（a+b）（b﹣a）＝　 　 ．
13．已知，则x＝　 　 ．
14．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 　 　 倍．（用科学记数法表示）
15．若正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），则y的值随x的增大而 　 　 .（选填“增大”或“减小”）
16．在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝　 　 °．
17．某种商品的销售额y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售额5000万元．则投入80万元时，销售额为 　 　 万元．
18．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 　 　 个绿球．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设，若AE＝2EC，则　 　 （结果用含，的式子表示）．
20．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有 　 　 人．
考场三：（共10小题）
21．分解因式：n2﹣9＝　 　 ．
22．化简：的结果为 　 　 ．
23．已知关于x的方程2，则x＝　 　 ．
24．函数f（x）的定义域为 　 　 ．
25．已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a的取值范围是　 　 ．
26．在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 　 　 ．
27．如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为 　 　 ．
28．一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 　 　 ．
29．如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，2AD＝BD，DE∥BC，联结DE，设向量，，那么用，表示　 　 ．
30．垃圾分类（Refusesorting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为 　 　 ．
模拟演练 · 新题型总结
演练一：（共10小题）
31．2的相反数是 　 　 ．
32．3﹣2＝　 　 ．
33．将二元二次方程x2﹣5xy﹣6y2＝0化为两个一次方程是　 　 ．
34．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x﹣c＝0有两个不相等的实数根，那么c的值可以是　 　 ．
35．如果将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向左平移m（m＞0）个单位后经过原点，那么m的值是 　 　 ．
36．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是　 　 ．
书籍数量/本 4 6 8 10 12
人数/人 3 4 5 6 2
37．如图，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有　 　 人．
38．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝11，⊙O经过点C、D和AD边上的点E，如果⊙O的半径是5，那么AE的长是　 　 ．
39．如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为3π，那么该正六边形ABCDEF的边长是　 　 ．
40．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，G为△ACD的重心，联结CG并延长交AD交于点E，设，，那么用向量、表示是　 　 ．
演练二：（共10小题）
41．计算：（a+2）（a﹣2）＝　 　 ．
42．解不等式组：的解集是　 　 ．
43．方程的解是　 　 ．
44．正八边形的中心角等于 　 　 度．
45．已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝　 　 ．
46．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为　 　 ．
47．九年级（1）班羽毛球小组共有4名队员，其中两名男生，两名女生．从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率是　 　 ．
48．将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度，如果平移后的直线经过第二象限，那么m的值可以是　 　 ．（写出一个即可）
49．如果抛物线y＝x2﹣x﹣6上的点A（﹣3，n）和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是　 　 ．
50．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，设，，那么可用、表示为　 　 ．
演练三：（共10小题）
51．因式分解：x2﹣2x＝　 　 ．
52．如果分式有意义，那么实数x的取值范围是　 　 ．
53．方程的解是　 　 ．
54．如果关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为　 　 ．
55．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（1，1）和（3，1）两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为　 　 ．
56．从﹣1，2，4这三个数中随机抽取其中的两个数，分别记作a和b．如果点P的坐标为（a，b），那么点P在第二象限内的概率是　 　 ．
57．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，那么　 　 ．
58．DeepSeek可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3.36×107．那么平均每天上线人数用科学记数法表示为　 　 ．
59．生活中很多瓶装矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费．为此数学兴趣小组对某次会议所发瓶装矿泉水的使用情况进行统计，大致可分为四种：Ⅰ．全部喝完；Ⅱ．剩约；Ⅲ．剩约一半；Ⅳ．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如图所示的两个不完整的统计图，那么参加这次会议的人中矿泉水剩约一半的人数为　 　 人．
60．已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为　 　 ．2026年上海中考冲刺 填空基础专题复习
(知识总结+考点精讲+课后巩固))
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 因式分解（提公因式、平方差公式）、幂的运算、科学记数法、分式化简、最简二次根式。
熟练运用 一元一次不等式（组）解法、无理方程解法、一元二次方程根的判别式（求参数范围、相等实数根）。
理解 正比例函数、反比例函数、二次函数的图象与性质（增减性、平移、对称轴、顶点），能根据条件求解析式或平移后解析式。
掌握 统计量（中位数、众数、概率计算）、扇形统计图与条形统计图的读取、用样本估计总体；平面向量的线性运算、菱形的性质、正多边形中心角、锐角三角比（坡度、正弦）。
体会 转化思想、数形结合、分类讨论、方程思想在填空基础题中的灵活运用。
核心：基本概念精准 · 代数运算熟练 · 几何性质清晰 · 统计概率建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 数与式
因式分解： 提公因式法（）；平方差公式（）；完全平方公式（）。
幂的运算： ，，，（）。
科学记数法： ，， 为整数。大数 为正，小数 为负。
分式运算： 同分母相加减，分母不变，分子相加减；异分母先通分。注意约分化简。
二次根式： 最简二次根式条件（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式）。
☆ 方程与不等式
一元一次不等式（组）： 解集的公共部分确定，口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”。注意不等式两边乘除负数要变号。
无理方程： 方程两边平方化为有理方程，必须验根（增根使被开方数为负或分母为零）。
一元二次方程根的判别式： 。 两个不等实根； 两个相等实根； 无实根。用于求参数范围。
二元二次方程分解： 通过因式分解化为两个一次方程（如 ）。
☆ 函数及其性质
正比例函数： （），图象过原点。 随 增大而增大； 减小。
反比例函数： （），图象为双曲线。 在一、三象限，每一象限内 随 增大而减小； 在二、四象限，每一象限内 随 增大而增大。
二次函数： 。顶点式 。平移规律“左加右减，上加下减”。对称轴 。抛物线上的对称点：纵坐标相等时，两点关于对称轴对称。
☆ 统计与几何综合
统计量： 中位数（排序后中间位置，偶数个取平均）、众数（出现次数最多）、概率（）。扇形统计图中百分比 = 圆心角/360°。用样本估计总体：样本比例×总体数量。
平面向量： 向量加法三角形法则：；减法：。平行四边形法则。向量共线、中点公式。
几何性质： 菱形四边相等，对角线垂直平分且平分内角；矩形对角线相等；正多边形中心角 = ；坡度 （坡角正切）。
圆： 垂径定理、圆心角定理；点与圆位置关系（ 与 ）。正多边形与圆的关系（边心距、半径、边长关系）。
☆ 知识总结表
类别 核心内容 常用公式/结论
数与式 因式分解、幂运算、科学记数法、分式化简 ； 指数规律
方程与不等式 不等式组解集、无理方程验根、判别式求参 ； 两边平方
函数 正比例、反比例、二次函数图象与增减性、平移 平移：左加右减，上加下减；对称轴
统计与概率 中位数、众数、概率、扇形统计图、样本估计总体 ；中位数排序后取中间
几何与向量 菱形、矩形、正多边形中心角、坡度、向量线性运算 正多边形中心角 = ；
直击考场 ·典型考点精讲
考场一：（共10小题）
1．分解因式：a2b+ab2＝ab（a+b）　 ．
【分析】先确定公因式，再提取即可．
【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），
故答案为：ab（a+b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
2．不等式组的解集是x＞2　 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由1＞0得：x＞2，
由2x+3≥x得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．方程2的解为x＝10　 ．
【分析】将原方程两边同时平方得x﹣6＝4，解得x的值后并检验即可．
【解答】解：已知方程2，
则x﹣6＝4，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
故答案为：x＝10．
【点评】本题考查无理方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
4．一元二次方程2x2+x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是m　 ．
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0，可得出1﹣8m＜0，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程2x2+x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝12﹣4×2×m＝1﹣8m＜0，
解得：m，
∴m的取值范围是m．
故答案为：m．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
5．抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为y＝3x2﹣2　 ．
【分析】根据二次函数的平移法则进行平移即可．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2向下平移两个单位，
∴y＝3x2﹣2，
故答案为：y＝3x2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的平移，掌握二次函数平移法则是解题的关键．
6．已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是y（答案不唯一）　 ．（只需写出一个）
【分析】根据反比例函数的性质解答．
【解答】解：根据反比例函数的性质，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，
∴k＞0，
∴这个解析式可以是y（答案不唯一）．
故答案为：y（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
7．小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为　　 ．
【分析】得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：由题意知，共有4种等可能结果，其中抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的有2种结果，
所以抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：根据概率的定义计算出这个事件的概率．
8．如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为　1.2　 ．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数）
【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先得到BD与CE、CD与EB间关系，再利用线段的和差关系求出AE的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E．
由题意易知四边形CDBE是矩形，
∴CD＝BE＝1.8m，BD＝CE．
∴AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9m．
在Rt△ACE中，
∵tanA，
∴CE＝tanA AE≈1.33×0.9＝1.197≈1.2（m）．
∴BD＝1.2m．
故答案为：1.2m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质和判定是解决本题的关键．
9．某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人流，先对2000人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为1.8万人，其中有约　0.18万　 人选择出租车．
【分析】用总人数乘出站选择出租车的人数所占的百分比即可．
【解答】解：某日高铁站出站客流约为1.8万人，其中选择出租车约有1.8×（1﹣15%﹣15%﹣60%）＝0.18（万人）．
故答案为：0.18万．
【点评】本题考查了扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么这个工具1秒可以擦除　2.5×109 次（用科学记数法表示）．
【分析】用1秒除以400皮秒，答案写成科学记数法即可．
【解答】解：这个工具1秒可以擦除1÷（400×1×10﹣12）＝2.5×109（次）．
故答案为：2.5×109．
【点评】本题考查了科学记数法—表示较小的数，熟练掌握运算法则是关键．
考场二：（共10小题）
11．计算：（4x2）3＝　64x6 ．
【分析】幂的乘方，底数不变指数相乘．
【解答】解：（4x2）3＝64x6，
故答案为：64x6．
【点评】本题考查了幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
12．计算：（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2 ．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（a+b）（b﹣a）
＝（b+a）（b﹣a）
＝b2﹣a2，
故答案为：b2﹣a2．
【点评】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
13．已知，则x＝　1　 ．
【分析】根据算术平方根的定义，进行计算．
【解答】解：∵，
∴2x﹣1＝1，
∴x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，利用两边平方进行解题即可．
14．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 　8×103 倍．（用科学记数法表示）
【分析】利用科学记数法的定义列式计算即可．
【解答】解：2×105＝200000，
则200000÷25＝8000＝8×103，
即蓝光唱片的容量是普通唱片的8×103倍，
故答案为：8×103．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
15．若正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），则y的值随x的增大而 　减小　 .（选填“增大”或“减小”）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k的值，由k0，利用正比例函数的性质，可得出y的值随x的增大而减小．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），
∴﹣13＝7k，
解得：k．
∵k0，
∴y的值随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
16．在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝　57　 °．
【分析】由菱形的性质得到AB＝BC，推出∠BAC＝∠BCA，而∠ABC＝66°，由三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠ABC＝66°，
∴∠BAC（180°﹣66°）＝57°．
故答案为：57．
【点评】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质推出AB＝BC．
17．某种商品的销售额y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售额5000万元．则投入80万元时，销售额为 　4500　 万元．
【分析】设y＝kx+b，根据当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售额5000万元，可得y＝50x+500，令x＝80得y＝50×80+500＝4500．
【解答】解：设y＝kx+b，
∵当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售额5000万元，
∴，
解得，
∴y＝50x+500，
当x＝80时，y＝50×80+500＝4500，
故答案为：4500．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式．
18．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 　3　 个绿球．
【分析】直接由概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，
∴袋子中至少有3个绿球，
故答案为：3．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设，若AE＝2EC，则　　 （结果用含，的式子表示）．
【分析】由AE＝2EC得出，再根据平面向量三角形运算法则求出，再由平行四边形的性质即可得出结果．
【解答】解：∵，AE＝2CE，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟记平面向量的三角形运算法则是解题的关键．
20．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有 　2000　 人．
【分析】用总人数乘以需要AR增强讲解的人数所占的百分比即可．
【解答】解：在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有200002000（人）．
故答案为：2000．
【点评】本题考查了条形统计图，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
考场三：（共10小题）
21．分解因式：n2﹣9＝　（n+3）（n﹣3）　 ．
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【解答】解：n2﹣9＝（n+3）（n﹣3），
故答案为：（n+3）（n﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
22．化简：的结果为 　2　 ．
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
23．已知关于x的方程2，则x＝　18　 ．
【分析】方程两边平方得出x﹣14＝4，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：2，
方程两边平方得：x﹣14＝4，
解得：x＝18，
经检验x＝18是原方程的解．
故答案为：18．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
24．函数f（x）的定义域为 x≠23　 ．
【分析】根据函数有意义的条件求解即可．
【解答】解：函数f（x）有意义，则x﹣23≠0，
解得x≠23，
故答案为：x≠23．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数有意义的条件是解题的关键．
25．已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a的取值范围是a＞9　 ．
【分析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，
∴Δ＜0且a≠0，即62﹣4a＜0且a≠0，
解得：a＞9，
故答案为：a＞9．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．
26．在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 　　 ．
【分析】从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：由题意知，从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，
所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
27．如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为 　18　 ．
【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
【解答】解：360°÷20°＝18．
故这个正多边形的边数为18．
故答案为：18．
【点评】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
28．一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+1（答案不唯一）　 ．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系求解（答案不唯一）．
【解答】解：由题意得：b＝0，a＜0，c＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
29．如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，2AD＝BD，DE∥BC，联结DE，设向量，，那么用，表示　　 ．
【分析】由三角形法则求得的值；然后结合平行线截线段成比例求得线段DE的长度，继而求得向量的值．
【解答】解：在△ABC中，，，则．
∵2AD＝BD，DE∥BC，
∴．
∴DEBC．
∴，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平面向量和平行线截线段成比例．注意：平面向量既有大小又有方向．
30．垃圾分类（Refusesorting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为 　1500吨　 ．
【分析】先用60除以可回收垃圾所占百分比，得到该市试点区域的垃圾总量，乘以10得到全市垃圾总量，然后乘以干垃圾所占的百分比即可．
【解答】解：该市试点区域的垃圾总量为60÷（1﹣50%﹣29%﹣1%）＝300（吨），
估计全市可收集的干垃圾总量为300×10×50%＝1500（吨）．
故答案为：1500吨．
【点评】本题考查的是扇形统计图，利用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
模拟演练 · 新题型总结
演练一：（共10小题）
31．2的相反数是 　﹣2　 ．
【分析】根据相反数的定义可知．
【解答】解：2的相反数是﹣2．
故答案为：﹣2
【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．
32．3﹣2＝　　 ．
【分析】根据幂的负整数指数运算法则计算．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】本题考查的是幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
33．将二元二次方程x2﹣5xy﹣6y2＝0化为两个一次方程是x﹣6y＝0，x+y＝0　 ．
【分析】二元二次方程x2﹣5xy﹣6y2＝0的中间项﹣5xy＝﹣6xy+xy，根据十字相乘法分解即可．
【解答】解：∵x2﹣5xy﹣6y2＝0，
∴（x﹣6y）（x+y）＝0，
∴x﹣6y＝0，x+y＝0．
故答案为：x﹣6y＝0，x+y＝0．
【点评】本题考查了高次方程，熟练运用十字相乘法，是解答本题的关键，考查了学生熟练分解因式的能力．
34．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x﹣c＝0有两个不相等的实数根，那么c的值可以是　0（答案不唯一，满足c＞﹣1即可）　 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围，即可得到符合要求的c的值．
【解答】解：由题意可得：
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣c）＞0，
解得c＞﹣1，
那么c的值可以是：0（答案不唯一，满足c＞﹣1即可）．
【点评】本题考查根的判别式，正确进行计算是解题关键．
35．如果将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向左平移m（m＞0）个单位后经过原点，那么m的值是 　3　 ．
【分析】根据二次函数图象平移规律“左加右减”，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的图象向左平移m个单位后，新函数解析式为y＝（x+m﹣1）2﹣4．
∵平移后函数图象经过原点，
∴0＝（0+m﹣1）2﹣4，即（m﹣1）2﹣4＝0，
∴m﹣1＝2或m﹣1＝﹣2，
∴m＝3或m＝﹣1，
∵m＞0，
∴m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握“左加右减”的法则是解题的关键．
36．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是　8　 ．
书籍数量/本 4 6 8 10 12
人数/人 3 4 5 6 2
【分析】根据中位数的定义，先确定20个数据从小到大排列后中位数的位置，再找到对应位置的数据计算即可得到结果．
【解答】解：将数据从小到大排列后，中位数为第10个和第11个数据的平均数，由图可得：
分享4本的累计人数为3，
分享6本的累计人数为3+4＝7，
分享8本的累计人数为7+5＝12，
因此第10个和第11个数据都为8，
则．
故答案为：8．
【点评】本题考查中位数，正确进行计算是解题关键．
37．如图，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有　22　 人．
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中蓝色部分的数据求出调查的总人数，再计算出红色部分的人数，最后用总人数减去绿、红、蓝三部分的人数即可得出喜欢黄色的人数．
【解答】解：根据条形统计图和扇形统计图中蓝色部分的数据求出调查的总人数可知：
喜欢蓝色的有15人，占总人数的15%，则调查的总人数为15÷15%＝100（人）．
喜欢红色的人数为100×25%＝25（人）．
喜欢黄色的人数为100﹣38﹣25﹣15＝22（人）．
故答案为：22．
【点评】本题考查了条形统计图．扇形统计图，熟练掌握以上知识点是关键．
38．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝11，⊙O经过点C、D和AD边上的点E，如果⊙O的半径是5，那么AE的长是　5　 ．
【分析】过点O作OP⊥CD于P，OQ⊥AD于Q，连接OD，根据垂径定理得到PDCD＝4，EQ＝QD，根据矩形的性质求出QD，进而求出AE．
【解答】解：如图，过点O作OP⊥CD于P，OQ⊥AD于Q，连接OD，
则PDCD＝4，EQ＝QD，
由勾股定理得：OP3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠QDP＝90°，
∵OP⊥CD，OQ⊥AD，
∴四边形QOPD为矩形，
∴QD＝OP＝3，
∴ED＝2QD＝6，
∴AE＝AD﹣ED＝11﹣6＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键．
39．如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为3π，那么该正六边形ABCDEF的边长是　3　 ．
【分析】根据正多边形内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵正六边形的内角是，阴影部分的面积为3π，
设正六边形的边长为r，
∴，
解得r＝3．
则正六边形的边长为3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握其相关知识点是解题的关键．
40．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，G为△ACD的重心，联结CG并延长交AD交于点E，设，，那么用向量、表示是　　 ．
【分析】根据向量的基本运算法则及重心的性质进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为四边形ABCD是平行四边形且，，
所以，
所以．
因为G为△ACD的重心，
所以点E为AD的中点，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形的重心、平行四边形的性质及平面向量，熟知向量的基本运算法则及重心的性质是解题的关键．
演练二：（共10小题）
41．计算：（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4　 ．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2求出即可．
【解答】解：（a+2）（a﹣2）＝a2﹣22＝a2﹣4，
故答案为：a2﹣4．
【点评】本题考查的知识点是平方差公式，解此题的关键是正确运用公式展开，题目比较好，难度不大．
42．解不等式组：的解集是　﹣2≤x＜1　 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：解不等式x﹣1＜0得x＜1；
解不等式2x+3得x≥﹣2；
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
故答案为：﹣2≤x＜1．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
43．方程的解是x＝1　 ．
【分析】将原方程两边同时平方并解得x的值，然后检验即可．
【解答】解：原方程两边同时平方得：3x+1＝4，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查无理方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
44．正八边形的中心角等于 　45　 度．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；
故答案为45．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．
45．已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝　　 ．
【分析】坡比＝坡角的正切值，设竖直直角边为x，水平直角边为2x，由勾股定理求出斜边，进而可求出α的正弦值．
【解答】解：如图所示：
由题意，得：tanα＝i，
设竖直直角边为x，水平直角边为2x，
则斜边x，
则sinα．
故答案为．
【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．
46．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为　2.668×107 ．
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时n是负整数，由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：2668万＝26680000＝2.668×107．
故答案为：2.668×107．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
47．九年级（1）班羽毛球小组共有4名队员，其中两名男生，两名女生．从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率是　　 ．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
，
由上可得，一共有12种等可能性，其中从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的可能性有8种，
∴从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
48．将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度，如果平移后的直线经过第二象限，那么m的值可以是n＝2　 ．（写出一个即可）
【分析】先根据一次函数平移规律写出平移后的直线解析式，再结合第二象限的特征，分析直线与 y轴交点的位置，确定n的取值范围．
【解答】解：直线y＝3x﹣1向上平移n个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得到新直线解析式：y＝3x﹣1+n，
一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象，当b＞0时，直线会经过第二象限，
本题中k＝3＞0，因此只需满足b＝﹣1+n＞0，即n＞1，
因此只要n＞1即可，例如n＝2（答案不唯一），
故答案为：n＝2．
【点评】本题考查一次函数图象的平移规律与象限分布特征，熟练掌握“上加下减”的平移规则和一次函数的图象性质是解题的关键．
49．如果抛物线y＝x2﹣x﹣6上的点A（﹣3，n）和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是　（4，6）　 ．
【分析】先求出点A的坐标，再根据A，B两点关于抛物线的对称轴对称，求出点B坐标即可．
【解答】解：由题知，
将点A（﹣3，n）代入y＝x2﹣x﹣6得，
n＝（﹣3）2﹣（﹣3）﹣6＝6，
所以点A坐标为（﹣3，6）．
因为抛物线y＝x2﹣x﹣6的对称轴为直线x，
则，
所以点B的坐标为（4，6）．
故答案为：（4，6）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
50．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，设，，那么可用、表示为　　 ．
【分析】根据平面向量的三角形减法运算法则求解．
【解答】解：在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的三角形运算法则是解题的关键．
演练三：（共10小题）
51．因式分解：x2﹣2x＝x（x﹣2）　 ．
【分析】原式提取公因式x即可得到结果．
【解答】解：原式＝x（x﹣2），
故答案为：x（x﹣2）．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
52．如果分式有意义，那么实数x的取值范围是x≠4　 ．
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：由题意得x﹣4≠0，
解得x≠4．
故答案为：x≠4．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
53．方程的解是　　 ．
【分析】将方程两边平方转化为一元一次方程求解，求解后需检验根的有效性．
【解答】解：原方程两边平方得 3﹣4x＝1，
移项得﹣4x＝1﹣3，
合并同类项得﹣4x＝﹣2，
系数化为1得 ，
检验：当时，左边右边，
因此是原方程的解．
故答案为：．
【点评】本题考查了解无理方程，熟练掌握该知识点是关键．
54．如果关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为　1　 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝22﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
55．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（1，1）和（3，1）两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为　直线x＝4　 ．
【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点坐标求出原抛物线的对称轴，再根据抛物线平移规律得到平移后抛物线的对称轴．
【解答】解：由条件可知两点关于抛物线的对称轴对称，
∴原抛物线的对称轴为：直线，
∵将抛物线向右平移2个单位时，对称轴同步向右平移2个单位，
∴平移后抛物线的对称轴为直线 x＝2+2＝4．
故答案为：直线x＝4．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键．
56．从﹣1，2，4这三个数中随机抽取其中的两个数，分别记作a和b．如果点P的坐标为（a，b），那么点P在第二象限内的概率是　　 ．
【分析】先列举出所有等可能的结果，再根据第二象限内点的坐标特征找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可．
【解答】解：列举所有等可能的点P（a，b），共有6种等可能的结果，
分别为：（﹣1，2），（﹣1，4），（2，﹣1），（2，4），（4，﹣1），（4，2），
第二象限内点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0，
符合该特征的点有2个，分别为（﹣1，2），（﹣1，4），
根据概率公式可得点P在第二象限内的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的计算，熟练掌握该知识点是关键．
57．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，那么　　 ．
【分析】利用勾股定理计算，然后根据向量加法的三角形法则求解．
【解答】解：如图，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平面向量，掌握其相关知识点是解题的关键．
58．DeepSeek可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3.36×107．那么平均每天上线人数用科学记数法表示为　1.6×106 ．
【分析】先求出平均每天上线人数，再根据科学记数法的要求表示结果，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：平均每天上线人数为：（3.36×107）÷21＝（3.36÷21）×107＝0.16×107＝1.6×106．
故答案为：1.6×106．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
59．生活中很多瓶装矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费．为此数学兴趣小组对某次会议所发瓶装矿泉水的使用情况进行统计，大致可分为四种：Ⅰ．全部喝完；Ⅱ．剩约；Ⅲ．剩约一半；Ⅳ．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如图所示的两个不完整的统计图，那么参加这次会议的人中矿泉水剩约一半的人数为　10　 人．
【分析】根据样本推算总体后即可求解．
【解答】解：参加这次会议的有：25÷50%＝50（人），
则矿泉水剩约一半的人数为：50﹣10﹣25﹣5＝10（人）．
故答案为：10．
【点评】本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键．
60．已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为　　 ．
【分析】先根据正多边形内角和与外角和的关系求出边数，再将正多边形分解为若干个全等的等腰三角形，通过计算单个等腰三角形面积，求和得到正多边形的面积．
【解答】解：设正多边形的边数为n，半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，
根据题意得，（n﹣2） 180°＝3×360°
解得n＝8，
∴该正多边形为正八边形，如图正八边形ABCDEFG，连接AE，BF，CG，DH交于点O，过点A作AI⊥OH于I，
∵半径为2
∴OA＝OH＝2，∠AOH＝360°÷8＝45°，
∵AI⊥OH
∴，
∴，
∴正八边形ABCDEFG的面积．
故答案为：8．
【点评】本题考查正多边形和圆，正确进行计算是解题关键．
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