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2026年上海中考冲刺 填空压轴(17~18题)专题复习
(知识总结+考点精讲+模拟演练)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 翻折、旋转、轴对称等图形变换的本质，能利用对应边角相等、对称轴垂直平分等性质建立方程。
熟练运用 相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）与性质（比例线段、面积比），结合勾股定理、三角比解决几何计算。
理解 圆的基本性质（垂径定理、圆心角、圆周角），正多边形与圆的关系，圆与圆、直线与圆的位置关系中的半径、圆心距、弦长计算。
掌握 新定义问题（“等弦圆”、“n-优点”、“开口大小”等）的转化方法，能根据定义建立方程或不等式求解。
体会 分类讨论、数形结合、转化思想、极端位置法在压轴填空题中的核心地位。
核心：图形变换 · 相似与勾股 · 圆与正多边形 · 新定义建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 翻折与旋转
翻折（轴对称）： 对应点连线被对称轴垂直平分；翻折前后图形全等，对应边、对应角相等；翻折后形成等腰三角形、角平分线等。
旋转： 对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等；旋转前后图形全等；常与正多边形、三角形全等结合，构造等边、等腰三角形。
常见模型： 矩形中的翻折（求线段比）、三角形旋转后共线、正多边形旋转后重合。
☆ 相似三角形与几何计算
判定： 两角对应相等（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）、三边成比例（SSS）。
性质： 对应边成比例，对应角相等，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
常用模型： A字型、8字型、母子型、一线三等角；常与平行线、中线、角平分线结合。
解直角三角形： 锐角三角比（sin,cos,tan），特殊角30°、45°、60°，勾股定理，坡比（i=tanα）。
☆ 圆与正多边形
圆的基本性质： 垂径定理（垂直于弦的直径平分弦及其所对弧）；圆心角、弧、弦之间的关系；圆周角定理。
点、直线、圆的位置关系： 点与圆（d与r）；直线与圆（相离、相切、相交，d与r）；圆与圆（外离、外切、相交、内切、内含，d与R±r）。
正多边形： 边长、半径、边心距、中心角（360°/n）、内角（(n-2)·180°/n）；正多边形与圆的内接、外切关系。
扇形面积弧长： ，。
☆ 函数与新定义
二次函数： 顶点式 ，对称轴、最值；平移规律“左加右减，上加下减”。
新定义问题： 理解定义并转化为代数方程或不等式（如“n-优点”满足 ，，“开口大小”=2|x’-h|）。
几何最值： 垂线段最短、两点之间线段最短、圆外一点到圆上点的最值（d±r）、轨迹法（如中位线确定动点轨迹）。
☆ 知识总结表
类别 核心内容 常用公式/结论
翻折旋转 对应点连线被对称轴垂直平分；旋转全等；旋转角相等 折叠后出现等腰三角形、角平分线；旋转90°→垂直
相似三角形 AA、SAS、SSS判定；比例线段；面积比=相似比平方 ；母子型
圆与正多边形 垂径定理；圆心角、弧、弦关系；位置关系判定；正多边形中心角 弦长 ；中心角
三角函数 直角三角形边角关系；特殊角三角函数值；坡比 ，，
新定义与最值 根据定义列方程（组）；轨迹法求最值；临界位置 点圆最值： 最小， 最大
直击考场 ·典型考点精讲
第17题专题精讲（共19小题）
1．已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE，若四边形ABEF是菱形，那么的值为　 　 ．
2．在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cos∠ABC＝　 　 ．
3．如图，在△ABC中，∠C＝35°，将△ABC绕着点A旋转α（0°＜α＜180°），旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，联结AD，AD是∠BAC的角平分线，则α＝　 　 ．
4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则　 　 ．
5．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 　 　 ．
6．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝6．将△ABC沿过点A的直线翻折，使点C落在斜边AB上，折痕与边BC的交点记为E．如果△CAE∽△CBA，那么折痕AE的长为　 　 ．
7．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，将菱形ABCD沿着EF翻折，使点B恰好与△ACD的重心G重合．若菱形ABCD的面积为18，则△BEF的面积为　 　 ．
8．如图，已知弦AB、CD在圆心O的同侧，且AB是⊙O内接正三角形的一条边，CD是⊙O内接正六边形的一条边，AB∥CD．如果AC也是⊙O的内接正n边形的一条边，那么n的值为　 　 ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，．点D在边AB上，点E在边BC上，联结DE，把△BDE沿DE翻折得到△FDE，联结AF、AE，如果四边形AFDE为平行四边形，那么CE的长是　 　 ．
10．在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点A（x，y）满足x2＝﹣ny+k，y2＝nx+k，其中x+y≠0，那么称点A为“n﹣优点”．比如当n＝2，k＝12时，点B（2，4）为“2﹣优点”（这是因为满足22＝﹣2×4+12，42＝2×2+12，2+4≠0）．已知点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，且它还是“2026﹣优点”，那么点C的坐标是　 　 ．
11．如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高AB为2.24米，扣球点C距离地面的高度CD为2.8米，且CD垂直于地面．排球从C点扣出的飞行路线近似为射线CA，当该射线与水平方向所成的夹角为16°时，球恰好擦网而过．此时，起跳点D到球网底部B的水平距离BD为　 　 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°0.96，tan16°≈0.29）
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC，垂足为点O，点G是△ABC的重心，BC＝18，AO＝12．点D为边AB上一动点，如果以点O为圆心OG为半径的⊙O与以点D为圆心的⊙D相切，那么⊙D的半径r的取值范围是　 　 ．
13．已知AB是圆O1和O2的公共弦，如果弦AB是圆O1的内接正方形的一边，也是圆O2的内接正六边形的一边，那么圆O1与O2的半径之比是　 　 ．
14．已知正方形ABCD，AB＝1，分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在圆A外，且圆A与圆C外切，那么圆C的半径长r的取值范围是　 　 ．
15．如图，已知在正六边形ABCDEF中，AB＝4，点G是边BC的中点，联结FG并延长，交DC延长线于点H，则CH的长为　 　 ．
16．如图，在矩形ABCD中，将△BCD绕点B旋转至△BC′D′的位置，点D在BA的延长线上，AD与BC′交于点E，如果AE＝4，DE＝5，那么四边形AEC′D′的面积是 　 　 ．
17．我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中直径最小的覆盖圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如图，线段MN的覆盖圆有无数个，其中以MN为直径的⊙O是其最小覆盖圆．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2．那么矩形ABCD的最小覆盖圆的半径为　 　 ．
18．如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝∠B，AC＝BD＝1，DC＝x，那么的值等于　 　 ．
19．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P、Q分别在边AB、BC上，如果△ACP是以AP为腰的等腰三角形，且CP⊥PQ，那么PQ的长是　 　 ．
第18题专题精讲（共19小题）
20．已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 　 　 度．
21．对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 　 　 ．
22．在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD＝DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是 　 　 ．
23．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　 　 ．
24．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为 　 　 ．
25．定义：如果一个圆的圆心与一个正多边形的中心重合，那么称该正多边形为这个圆的同心正多边形．已知一个圆的半径为1，该圆的同心正六边形的边长为．设点P在圆上，点Q在正六边形的边上，那么P、Q两点之间的最小距离为　 　 ．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点O在边AB上，如果⊙O与△ABC的一边所在的直线相切，且经过△ABC的一个顶点，那么OB的长是 　 　 ．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D，E分别在边AC、BC上，且的值为．以E为圆心，ED为半径作圆，如果⊙E与△ABC的三边有三个公共点，那么CD的值为　 　 ．
28．已知抛物线和，它们的顶点分别为（m，k）和（k，m），我们称C1和C2互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，且C1的顶点在C2上，那么k的值是　 　 ．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC．将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别是点D、E，如果点A恰好在直线DE上，且CE∥AB，那么的值为 　 　 ．
30．如图，已知矩形ABCD，AB＝2AD，E是边AB的中点，F是边DC上一点，将四边形AEFD沿直线EF翻折，得到四边形EMND，（点M、N分别与点A、D对应）．如果点E、M、C在同一条直线上，那么DF：FC的值是 　 　 ．
31．如图，四边形ABCD是平行四边形，将CD绕点D顺时针旋转90°，点C恰好落在BA延长线上的点E处，作∠BCD的平分线交DE的延长线于点F，联结BF，如果，那么∠FBE的正切值是　 　 ．
32．如图，正方形EFGH内接于正方形ABCD，即点E、F、G、H分别在正方形ABCD的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于HE、EF、FG、GH的对称点P、Q、R、S，如果四边形PQRS的面积恰好是正方形ABCD面积的一半，那么的值是　 　 ．
33．如图，在平行四边形ABCD中，，点E是边CD上一点，EF∥AC，如果点D关于直线EF的对称点G恰好在边AB上，那么AG的长是　 　 ．
34．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC沿着过点B的直线l翻折，使点C落在AB边上的点D处，点E是边AC上一点，若四边形BCED是“等对角四边形”，则的值为 　 　 ．
35．定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”，如果等腰三角形ABC是“等接圆三角形”，那么△ABC的面积与其外接圆面积的比值是　 　 ．（保留π）
36．如图，已知⊙O的直径为10，翻折劣弧BC使其与直径AB交于点D，如果BD＝8，那么折痕BC的长为 　 　 ．
37．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BF⊥CE，垂足为点P，已知CP＝9，PF＝7，那么BF的长为 　 　 ．
38．联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦AB与抛物线的对称轴垂直，垂足为点C，抛物线的顶点为D，当AB＝4CD时，AB的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线y＝3x2﹣2x+1的特征值是　 　 ．
模拟演练 · 新题型总结
第17题针对性练习（共12小题）
【练习1】在矩形ABCD中，点E在AD边上，△BCE是以BE为一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝6，则线段DE的长为　 　 ．
【练习2】定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为　 　 ．
【练习3】如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝14，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝6，联结AD，如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为
　 　 ．
【练习4】
如图，四边形ABCD为平行四边形，△ABF≌△CDH，∠AFB＝90°，BF＝5，AF＝12，延长DH，BF，交AF，CH于点E，G，若tan∠DAE＝2，直线EG经过CD中点，则AD的长度为 　 　 ．
【练习5】若二次函数y＝x2+x+a+3的图象与一次函数y＝3x的图象在0≤x≤3的部分有交点，则实数a的取值范围是 　 　 ．
【练习6】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是　 　 ．
【练习7】同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程x2+mx+n＝0的一次项系数m的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项n的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是　 　 ．
【练习8】已知等腰三角形ABC的底边BC长为8，它的外接圆⊙O半径为5，那么圆心O到腰AB的距离为　 　 ．
【练习9】定义：抛物线C1上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的k倍后得到新的抛物线C2，C2叫C1的“k倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线L2”．设抛物线L2上一点P′（x，y），则点P′在抛物线L1上的对应点为，因为点P在抛物线L1上，所以，整理得到，即抛物线L2的表达式为.参考上述方法，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的“k倍衍生抛物线”的表达式为　 　 ．
【练习10】如图，已知正五边形ABCDE的边长是4，联结AC、BD交于点F，那么CF的长是　 　 ．
【练习11】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE＝BF＝DG，联结CE、FG，交于点H，如果AE：BE＝1：2，那么的值为 　 　 ．
【练习12】如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，联结AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，取结BE．已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，则∠EBF的正弦值为 　 　 ．
第18题针对性练习（共10小题）
【练习1】如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连接BE，那么线段BE的长为　 　 ．
【练习2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanB，E是边AB上一点，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B′，如果AB′∥BC，那么的值为 　 　 ．
【练习3】如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，联结CD，点E是CD的中点，联结BE，那么BE长度的取值范围是 　 　 ．
【练习4】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，点O在边BC上，BO＝2，以BO为半径作⊙O．将矩形ABCD翻折，使点D落在⊙O上，点D的对应点为点D′，折痕与边AD交于点M，如果直线DD′经过点O，那么DM的长为　 　 ．
【练习5】如图，在△ABC中，AB＝BC，点M是AC的中点，将线段AM绕点M逆时针旋转，点A落在边CB延长线上的点D处，联结MD，与边AB交于点E，AE＝3，DE＝2，那么AC的长为　 　 ．
【练习6】在矩形ABCD中，AB＝5．将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形EBFG，点A的对应点为点E，且在边CD上，如果，联结CG，那么CG的长为 　 　 ．
【练习7】如图，已知扇形AOB的半径为18，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是弧AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝10，则O到折痕EF的距离为 　 　 ．
【练习8】如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为1的相似三角形，那么称这个四边形为“相似分割四边形”．如图，已知一个梯形是“相似分割四边形”，AB＝AD，BC＝2AD，那么该梯形最小内角的余弦值是 　 　 ．
【练习9】已知矩形ABCD中，AB＝5，以AD为半径的圆A和以CD为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线BC的距离不超过3，设AD的长度为m，则m的取值范围是 　 　 ．
【练习10】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，△AOB是边长为4的等边三角形，点C，D分别在边OB和AB上，△CDB是边长为2的等边三角形．现将△CDB绕点B顺时针旋转，得到△EFB，旋转角为α，点C，D的对应点分别是点E和F，连接OE，AF，若点G，H分别是OE，AF的中点，连接BG，GH，BH，得△BGH，设△BGH的面积是S，则S的取值范围为 　 　 ．2026年上海中考冲刺 填空压轴(17~18题)专题复习
(知识总结+考点精讲+模拟演练)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 翻折、旋转、轴对称等图形变换的本质，能利用对应边角相等、对称轴垂直平分等性质建立方程。
熟练运用 相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）与性质（比例线段、面积比），结合勾股定理、三角比解决几何计算。
理解 圆的基本性质（垂径定理、圆心角、圆周角），正多边形与圆的关系，圆与圆、直线与圆的位置关系中的半径、圆心距、弦长计算。
掌握 新定义问题（“等弦圆”、“n-优点”、“开口大小”等）的转化方法，能根据定义建立方程或不等式求解。
体会 分类讨论、数形结合、转化思想、极端位置法在压轴填空题中的核心地位。
核心：图形变换 · 相似与勾股 · 圆与正多边形 · 新定义建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 翻折与旋转
翻折（轴对称）： 对应点连线被对称轴垂直平分；翻折前后图形全等，对应边、对应角相等；翻折后形成等腰三角形、角平分线等。
旋转： 对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等；旋转前后图形全等；常与正多边形、三角形全等结合，构造等边、等腰三角形。
常见模型： 矩形中的翻折（求线段比）、三角形旋转后共线、正多边形旋转后重合。
☆ 相似三角形与几何计算
判定： 两角对应相等（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）、三边成比例（SSS）。
性质： 对应边成比例，对应角相等，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
常用模型： A字型、8字型、母子型、一线三等角；常与平行线、中线、角平分线结合。
解直角三角形： 锐角三角比（sin,cos,tan），特殊角30°、45°、60°，勾股定理，坡比（i=tanα）。
☆ 圆与正多边形
圆的基本性质： 垂径定理（垂直于弦的直径平分弦及其所对弧）；圆心角、弧、弦之间的关系；圆周角定理。
点、直线、圆的位置关系： 点与圆（d与r）；直线与圆（相离、相切、相交，d与r）；圆与圆（外离、外切、相交、内切、内含，d与R±r）。
正多边形： 边长、半径、边心距、中心角（360°/n）、内角（(n-2)·180°/n）；正多边形与圆的内接、外切关系。
扇形面积弧长： ，。
☆ 函数与新定义
二次函数： 顶点式 ，对称轴、最值；平移规律“左加右减，上加下减”。
新定义问题： 理解定义并转化为代数方程或不等式（如“n-优点”满足 ，，“开口大小”=2|x’-h|）。
几何最值： 垂线段最短、两点之间线段最短、圆外一点到圆上点的最值（d±r）、轨迹法（如中位线确定动点轨迹）。
☆ 知识总结表
类别 核心内容 常用公式/结论
翻折旋转 对应点连线被对称轴垂直平分；旋转全等；旋转角相等 折叠后出现等腰三角形、角平分线；旋转90°→垂直
相似三角形 AA、SAS、SSS判定；比例线段；面积比=相似比平方 ；母子型
圆与正多边形 垂径定理；圆心角、弧、弦关系；位置关系判定；正多边形中心角 弦长 ；中心角
三角函数 直角三角形边角关系；特殊角三角函数值；坡比 ，，
新定义与最值 根据定义列方程（组）；轨迹法求最值；临界位置 点圆最值： 最小， 最大
直击考场 ·典型考点精讲
第17题专题精讲（共19小题）
1．已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE，若四边形ABEF是菱形，那么的值为　　 ．
【分析】由轴对称的性质可得DF＝DE，设DF＝DE＝m，则EF＝DE+DF＝2m，由菱形的性质得到 AB＝AF＝EF＝2m，证明∠ADF＝90°，利用勾股定理可得，据此可得答案．
【解答】解；∵E关于直线AD的对称点为F，
∴DF＝DE，
设DF＝DE＝m，则EF＝DE+DF＝2m，
∵四边形AFEB是菱形，
∴AB＝AF＝EF＝2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴，
∴，
故答案为：，
【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，掌握以上性质是解题的关键．
2．在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cos∠ABC＝　或　 ．
【分析】分别考虑C'在AB之间时和C′在BA的延长线上时两种情况，根据题意假设出每条线段的长度，根据翻折的性质可知各个角之间的关系，即可求解．
【解答】解：当C′在AB之间时，如图，
根据AC'：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7，
由翻折的性质知：∠FCD＝∠FC'D'，
∵CD沿直线l翻折至AB所在直线，
∴∠BC′F+∠FC′D′＝∠FCD+∠FBA，
∴∠BC′F＝∠FBA，
∴，
过F作AB的垂线交于E，
∴，
∴，
当C′在BA的延长线上时，如图，
根据AC′：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7，
同理知：，
过点F作AB的垂线交于E，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．
3．如图，在△ABC中，∠C＝35°，将△ABC绕着点A旋转α（0°＜α＜180°），旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，联结AD，AD是∠BAC的角平分线，则α＝　　 ．
【分析】由AB＝AD，∠BAD＝α及角平分线的定义得∠CAD＝∠BAD＝α，根据三角形外角性质得∠ADB＝35°+α，即有∠B＝∠ADB＝35°+α，由三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB＝AD，∠BAD＝α，AD是∠BAC 的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝α，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝35°+α，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝35°+α，
在△ABC中，∠C+∠CAB+∠B＝180°，
∴35°+2α+35°+α＝180°，
解得：；
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质 及三角形的内角和等知识，孰练掌握相关图形的性质是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则　或　 ．
【分析】利用平行线截线段成比例解答．
【解答】解：∵D为AB中点，
∴．
当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，则；
当DE与BC不平行时，DE＝DE′，
在三角形ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠C＝∠DEE′＝60°，∠B＝∠ADE＝90°．
∴△DEE′是等边三角形，∠A＝∠ADE′＝30°．
∴DE＝DE′＝EE′，DE′＝AE′．
∴ED′＝AE′EC．
∴．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
5．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 　　 ．
【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG＝BH，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到BG＝2AG，接着证明HG＝AG可得结论．
【解答】解：如图，∵△ABG≌△BCH，
∴AG＝BH，
∵∠ABG＝30°，
∴BG＝2AG，
即BH+HG＝2AG，
∴HG＝AG＝1，
∴中间正六边形的面积＝612，
故答案为：．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出HG．
6．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝6．将△ABC沿过点A的直线翻折，使点C落在斜边AB上，折痕与边BC的交点记为E．如果△CAE∽△CBA，那么折痕AE的长为　2　 ．
【分析】利用折叠的性质，直角三角中30°角的性质进行求解．
【解答】解：如图，点C与点F重合，
∵△CAE∽△CBA，
∴∠CAE＝∠CBA，
∵∠CAE＝∠BAE，
∵∠CAE+∠BAE+∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAE＝30°，
∵∠C＝90°，AB＝6，
∴AC＝3，
cos30°，
∴AE，
故答案为：2．
【点评】本题考查了折叠变换，利用折叠的性质，直角三角形的性质，三角函数是解题的关键．
7．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，将菱形ABCD沿着EF翻折，使点B恰好与△ACD的重心G重合．若菱形ABCD的面积为18，则△BEF的面积为　4　 ．
【分析】连接BD，由菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，△ABC的面积＝9，由三角形的重心的性质得到OD＝3OG，BG＝4OG，由轴对称的性质得到EF垂直平分BG，因此BM＝2OG，求出，判定△BEF∽△BAC，推出，求出S△BEF＝4．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，△ABC的面积＝菱形ABCD面积的一半＝189，
∴△ACD的重心G在OD上，
∴OD＝3OG，
∴OB＝3OG，
∴BG＝OB+OG＝4OG，
∵B和G关于EF对称，
∴EF垂直平分BG，
∴BM＝MGBG＝2OG，
∴，
∵EF⊥BD，AC⊥BD，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∴S△BEF＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查菱形的性质，三角形的重心，相似三角形的判定和性质，折叠问题，三角形的面积，关键是判定△BEF∽△BAC，推出．
8．如图，已知弦AB、CD在圆心O的同侧，且AB是⊙O内接正三角形的一条边，CD是⊙O内接正六边形的一条边，AB∥CD．如果AC也是⊙O的内接正n边形的一条边，那么n的值为　12　 ．
【分析】根据圆内接正三角形，圆内接正六边形的性质求出中心角∠AOB＝120°，∠COD＝60°，再根据平行弦所夹的弧相等以及圆心角、弧、弦之间的关系求出∠AOC的度数，进而求出n的值即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，
∵AB是⊙O内接正三角形的一边，
∴∠AOB120°，
∵CD是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠COD60°，
∵AB与CD在圆心O的同侧，且AB∥CD，
∴，
∴∠AOC＝∠BOD30°，
即圆O内接正n边形的中心角是30°，
∴n12，
即AC是圆内接正十二边形的一边，
故答案为：12．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正三角形、正六边形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系是正确解答的关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，．点D在边AB上，点E在边BC上，联结DE，把△BDE沿DE翻折得到△FDE，联结AF、AE，如果四边形AFDE为平行四边形，那么CE的长是　2　 ．
【分析】设AD与EF交于点G，根据正切的定义得到，求出BC＝2AC＝8，根据勾股定理得到，根据翻折的性质得到∠DFE＝∠B，FD＝BD，设FD＝BD＝x，根据平行四边形的性质得到AE∥FD，AE＝FD＝x，，通过证明△AEG∽△ABE，得到，列出关于x的方程，求出x的值，得到，最后在Rt△ACE 中利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，设AD与EF交于点G，
在Rt△ABC中，，
∴BC＝2AC＝2×4＝8，
∴，
∵△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴∠DFE＝∠B，FD＝BD，
设FD＝BD＝x，则，
∵四边形AFDE为平行四边形，
∴AE∥FD，AE＝FD＝x，，
∴∠DFE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠B，
又∵∠EAG＝∠BAE，
∴△AEG∽△ABE，
∴，即，
整理得：，
解得，（舍去），
∴，
在Rt△ACE中，，即CE的长是2，
解法二：先证AE＝AD，设AE＝AD＝x，则BD＝BF，因为AE＝BF，所以x，再利用勾股求出CE．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10．在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点A（x，y）满足x2＝﹣ny+k，y2＝nx+k，其中x+y≠0，那么称点A为“n﹣优点”．比如当n＝2，k＝12时，点B（2，4）为“2﹣优点”（这是因为满足22＝﹣2×4+12，42＝2×2+12，2+4≠0）．已知点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，且它还是“2026﹣优点”，那么点C的坐标是　（2，2028）或（﹣6，2020）　 ．
【分析】先根据“2026﹣优点”的定义，将两式相减求出x+y＝2026，再结合抛物线方程联立求解点C的坐标．
【解答】解：已知点C（x，y）是“2026﹣优点”，满足：
，
两式相减得：
x2﹣y2＝﹣2026y+2026x，
（x﹣y）（x+y）＝﹣2026（x+y），
∵x+y≠0，两边同除以x+y得：
x﹣y＝﹣2026，
∴y＝x+2026，
又点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，代入得：
x+2026﹣x＝﹣x2﹣3x+2038，
整理得：
x2+4x﹣12＝0，
解得：
（x+6）（x﹣2）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣6
对应y值：
当x＝2时，y＝2+2026＝2028，此时x+y＝2023≠0，符合条件；
当x＝﹣6时，y＝﹣6+2026＝2020，此时x+y＝2014≠0，符合条件．
故答案为：（2，2028）或（﹣6，2020）．
【点评】本题考查自定义概念与二次函数的综合应用，熟练掌握定义式的变形化简、解一元二次方程的方法是解题的关键．
11．如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高AB为2.24米，扣球点C距离地面的高度CD为2.8米，且CD垂直于地面．排球从C点扣出的飞行路线近似为射线CA，当该射线与水平方向所成的夹角为16°时，球恰好擦网而过．此时，起跳点D到球网底部B的水平距离BD为　1.9　 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°0.96，tan16°≈0.29）
【分析】根据题意求出CE，再根据正切的定义求出AE，进而求出BD．
【解答】解：由题意可知：四边形EDBA为矩形，
∴ED＝AB＝2.24米，BD＝AE，
∵CD＝2.8米，
∴CE＝2.8﹣2.24＝0.56（米），
在Rt△ACE中，∠CAE＝16°，
∵tan∠CAE，
∴AE1.9（米），
∴BD≈1.9米，
故答案为：1.9．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC，垂足为点O，点G是△ABC的重心，BC＝18，AO＝12．点D为边AB上一动点，如果以点O为圆心OG为半径的⊙O与以点D为圆心的⊙D相切，那么⊙D的半径r的取值范围是　或　 ．
【分析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点F，首先利用三线合一求出，利用勾股定理求出，利用等面积法求出，然后由重心的性质求出，然后根据题意分⊙O与⊙D外切和⊙O与⊙D内切两种情况讨论，分别求解即可．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点F，
∵在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AO＝12，点G是△ABC的重心，
∴，
∵以点O为圆心OG为半径的⊙O与以点D为圆心的⊙D相切，
当⊙O与⊙D外切时，如图，当点D在点E处时，
∴，
∴⊙D的半径r取得最小值，即EF的长度；
如图，当点D在点A处时，
∴AG＝AO﹣GO＝12﹣4＝8，
∴⊙D的半径r取得最大值，即AG的长度8；
∴；
当⊙O与⊙D内切时，如图，当点D在点E处时，⊙O与EO的延长线交于点H，
∴，
∴⊙D的半径r取得最小值，即EH的长度；
如图，当点D在点A处时，⊙O与GO的延长线交于点I，
∴AI＝AO+OI＝12+4＝16，
∴⊙D的半径r取得最大值，即AI的长度16；
∴．
综上所述，⊙D的半径r的取值范围是或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了轨迹，切线的性质，三角形的重心，等腰三角形的性质，圆与圆的位置关系，掌握其相关知识点是解题的关键．
13．已知AB是圆O1和O2的公共弦，如果弦AB是圆O1的内接正方形的一边，也是圆O2的内接正六边形的一边，那么圆O1与O2的半径之比是　　 ．
【分析】如图，连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，AB交O1O2于点D．设AB＝2a，解直角三角形求出两圆半径可得结论．
【解答】解：如图，连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，AB交O1O2于点D．
设AB＝2a．
∵O1A＝O1B，O2A＝O2B，
∴O1O2垂直平分线段AB，
∴AD＝DBAB＝a，
∵弦AB是圆O1的内接正方形的一边，也是圆O2的内接正六边形的一边，
∴∠AO1B＝90°，∠AO2B＝60°，
∴∠AO1D∠AO1B＝45°，∠AO2D∠AO2B＝30°，
∴AO2a，AO2＝2a，
圆O1与O2的半径之比．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形与圆，相交两圆的性质，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．已知正方形ABCD，AB＝1，分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在圆A外，且圆A与圆C外切，那么圆C的半径长r的取值范围是　　 ．
【分析】首先根据题意求得对角线AC的长，设圆A的半径为R，根据点B在圆A外，得出0＜R＜1，则﹣1＜﹣R＜0，再根据圆A与圆C外切可得R+r，利用不等式的性质即可求出r的取值范围．
【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝1，
∴AC，
设圆A的半径为R，
∵点B在圆A外，
∴0＜R＜1，
∴﹣1＜﹣R＜0，
∴1R．
∵以A、C为圆心的两圆外切，
∴两圆的半径的和为，
∴R+r，rR，
∴1＜r．
故答案为：1＜r．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，正方形的性质，勾股定理，不等式的性质．掌握位置关系与数量之间的关系是解题的关键．
15．如图，已知在正六边形ABCDEF中，AB＝4，点G是边BC的中点，联结FG并延长，交DC延长线于点H，则CH的长为　　 ．
【分析】如图，延长FE，CD交于点J．由CG∥FJ，推出，构建方程求解．
【解答】解：如图，延长FE，CD交于点J．
在正六边形ABCDEF中，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝4，BC∥EJ，∠CDE＝∠DEF＝120°，
∴∠JDE＝∠JED＝60°，
∴∠J＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△DEJ是等边三角形，
∴DE＝DJ＝JE＝4，
∴FJ＝EF+EJ＝8，
∵G是BC的中点，
∴CG＝GB＝2，
∵CG∥FJ，
∴，
∴．
解得CH，
经检验CH是分式方程的解．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
16．如图，在矩形ABCD中，将△BCD绕点B旋转至△BC′D′的位置，点D在BA的延长线上，AD与BC′交于点E，如果AE＝4，DE＝5，那么四边形AEC′D′的面积是 　15　 ．
【分析】先根据矩形的性质得到BC＝AD＝AE+DE＝4+5＝9，AB＝CD，∠BAD＝∠C＝90°，再根据旋转的性质得到△BC′D′≌△BCD，∠C′BD′＝∠CBD，接着证明Rt△ABE∽Rt△CBD，利用相似比可求出CD＝6，然后根据三角形面积公式，利用四边形AEC′D′的面积＝S△BC′D′﹣S△ABE进行计算．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝AE+DE＝4+5＝9，AB＝CD，∠BAD＝∠C＝90°，
∵△BCD绕点B旋转至△BC′D′的位置，点D在BA的延长线上，
∴△BC′D′≌△BCD，∠C′BD′＝∠CBD，
∵∠ABE＝∠CBD，
∴Rt△ABE∽Rt△CBD，
∴AB：CB＝AE：CD，
即CD：9＝4：CD，
解得CD＝6，
∵S△BC′D′＝S△BCD9×6＝27，S△ABE6×4＝12，
∴四边形AEC′D′的面积＝S△BC′D′﹣S△ABE＝27﹣12＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了矩形的性质．
17．我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中直径最小的覆盖圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如图，线段MN的覆盖圆有无数个，其中以MN为直径的⊙O是其最小覆盖圆．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2．那么矩形ABCD的最小覆盖圆的半径为　　 ．
【分析】矩形ABCD的外接圆是它的最小覆盖圆，连接AC、BD交于点O，则OA＝OB＝OC＝OD，以点O为圆心，以OA长为半径作⊙O，则⊙O是矩形ABCD的外接圆，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：如图，矩形ABCD的外接圆是它的最小覆盖圆，
连接AC、BD交于点O，
∵OA＝OCAC，OB＝ODBD，且AC＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
以点O为圆心，以OA长为半径作⊙O，则⊙O是矩形ABCD的外接圆，
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC，
∴OAAC，
∴矩形ABCD的最小覆盖圆的半径为．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形与圆，矩形的性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝∠B，AC＝BD＝1，DC＝x，那么的值等于　1　 ．
【分析】先证明△ACD∽△BCA，利用得方程，去分母得x2+x﹣1＝0，再将方程两边同除以x再移项即可．
【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴，
∴x（1+x）＝1，
整理得x2+x﹣1＝0，
方程两边同除以x，，
∴，
故答案为：1．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定和分式方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P、Q分别在边AB、BC上，如果△ACP是以AP为腰的等腰三角形，且CP⊥PQ，那么PQ的长是　或　 ．
【分析】先由勾股定理求出AB的长度，根据△ACP是以AP为腰的等腰三角形，分AP＝AC和AP＝PC两种情况讨论，利用相似三角形的判定与性质以及解直角三角形进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：，
当PA＝PC时，
∴∠A＝∠1，
∵∠ACB＝90°
∴∠1+∠2＝90°，∠A+∠B＝90°
∴∠B＝∠2，
∴PC＝PB，
∴，
∵∠B＝∠2，
∴tan∠2＝tan∠B，
∵CP⊥PQ
∴
∴
∴；
当AP＝AC＝6时，则BP＝AB﹣AP＝4，过点AG⊥CP于点G，
∴∠1＝∠4
∵∠ACB＝90°，CP⊥PQ
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠4＝90°
∴∠2＝∠3，
∵∠B＝∠B
∴△BPQ∽△BCP，
∴，
∴BP2＝BQ×BC，即42＝8BQ
解得BQ＝2，
∴CQ＝8﹣2＝6，，
设PQ＝x，CP＝2x，
在Rt△CPQ中，由勾股定理得，x2+（2x）2＝62，
解得（舍负），
∴
故答案为：或．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，正确进行计算是解题关键．
第18题专题精讲（共19小题）
20．已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 　108或36　 度．
【分析】分两种情况，由正多边形的性质，即可求解．
【解答】解：如图：
∵∠MPN是正五边形的一个内角，
∴∠MPN108°；
如图：
∵∠OAB和∠OBA是正五边形的两个外角，
∴∠OAB＝∠OBA72°，
∴∠AOB＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴这个角的度数为108°或36°．
故答案为：108或36．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，正多边形和圆，多边形的内角和外角，关键是要分两种情况讨论．
21．对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 　4　 ．
【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据题意即可求得抛物线“开口大小”．
【解答】解：∵抛物线（x）2，
∴x′（x′）20，
解得x′2，
∴抛物线“开口大小”为2|x′|＝2×|﹣2|＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
22．在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD＝DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是 　r≤2　 ．
【分析】利用勾股定理可得，由题意当点D在边AC上，点E在CA延长线上时，⊙B与⊙E有公共点，求出点E与点A重合时的半径以及点D与A重合时的半径可得结论．
【解答】解：如图：
在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝3，
∴AC2，
∵⊙B过点A，⊙E过点D，CD＝DE，
∴当点D在边AC上，点E在CA延长线上时，⊙B与⊙E有公共点，
当点E与A重合时，r，
当点D与A重合时，r＝2，
∴⊙E半径r的取值范围是r≤2．
故答案为：r≤2
【点评】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．
23．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　2　 ．
【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：如图，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
∴圆心O就是三角形的内心，
∴当⊙O过点C时，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此时⊙O最大，
过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB，
∵CG＝CF＝DE，
∴OP＝OM＝ON，
∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝BC，
∴AC＝BC2，
由S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，
∴AC OPBC ONAB OM＝S△ABCAC BC，
设OM＝x，则OP＝ON＝x，
∴xx+2x，
解得x1，
即OP＝ON1，
在Rt△CON中，OCON＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键．
24．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为 　2d≤1　 ．
【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD各边的中点时，d最大，OP过正方形ABCD的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案．
【解答】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d＝PE最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d＝PA最小，
如图①：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，
∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，
∴OE＝1，
∵OP＝2，
∴d＝PE＝1；
如图②：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，
∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，
∴OA，
∵OP＝2，
∴d＝PA＝2；
∴d的取值范围为2d≤1．
故答案为：2d≤1．
【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点P的位置是解题的关键．
25．定义：如果一个圆的圆心与一个正多边形的中心重合，那么称该正多边形为这个圆的同心正多边形．已知一个圆的半径为1，该圆的同心正六边形的边长为．设点P在圆上，点Q在正六边形的边上，那么P、Q两点之间的最小距离为　　 ．
【分析】根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系求出正六边形的边心距OQ的值即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O作OQ⊥AB，垂足为Q，OQ交⊙O于点P，此时PQ最小，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴∠AOB60°，
又∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴AB＝OA＝OB，
在Rt△AOQ中，∠AOQ∠AOB＝30°，OA，
∴OQOA，
又∵OM＝OP＝ON＝1，
∴PQ1，
即PQ的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点O在边AB上，如果⊙O与△ABC的一边所在的直线相切，且经过△ABC的一个顶点，那么OB的长是 　或　 ．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BM⊥CA，交CA的延长线于点M，由等腰三角形性质得BD＝CCDBC＝4，由勾股定理得AD＝3，由此得sin∠ABC，再由三角形面积公式得BM4.8，进而得sinBAM，再分两种情况讨论如下：
①当⊙O与BC相切且经过点A时，设且点为E，连接OE，设OB＝a，则OA＝OE＝5﹣a，在Rt△OEB中，由sin∠ABC，据此的OB＝a，
②当⊙O与直线AC相切且经过点B时，设且点为F，连接OF，设OB＝OF＝x，则OA＝5﹣x，在Rt△OFA中，由sinBAM，据此得OB＝x，综上所述即可得出OB的长．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BM⊥CA，交CA的延长线于点M，如图1所示：
∴△ABD和△ABM都是直角三角形，
在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BD＝CCDBC＝4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD3，
∴sin∠ABC，
由三角形面积公式得：S△ABCAC BMBC AD，
∴BM4.8，
在Rt△ABM中，sinBAM，
依题意有以下两种情况：
①当⊙O与BC相切且经过点A时，设且点为E，连接OE，如图2所示：
∴OE⊥BC，OE＝OA，
∴∠OEB＝90°，
∴△OBE是直角三角形，
设OB＝a，则OA＝AB﹣OB＝5﹣a，
在Rt△OEB中，sin∠ABC，
∴，
解得：a，
∴OB＝a，
②当⊙O与直线AC相切且经过点B时，设且点为F，连接OF，如图2所示：
∴OF⊥直线AC，OF＝OB，
∴∠OFA＝90°，
∴△OFA是直角三角形，
设OB＝x，
∴OF＝OB＝x，
则OA＝AB﹣OB＝5﹣x，
在Rt△OFA中，sinBAM，
∴，
解得：x，
∴OB＝x，
综上所述：OB的长是或．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了切线的性质，解直角三角形，理解切线的性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D，E分别在边AC、BC上，且的值为．以E为圆心，ED为半径作圆，如果⊙E与△ABC的三边有三个公共点，那么CD的值为　或4　 ．
【分析】利用勾股定理表示出圆的半径，通过相似三角形或三角函数关系表示出圆心到斜边的距离，最后根据距离与半径的关系列方程．
【解答】解：设CD＝3x，则CE＝4x．
在Rt△CDE中，，即⊙E的半径r＝5x．
在Rt△ABC中，．
过点E作EH⊥AB于点H．
∵∠B＝∠B，∠C＝∠EHB＝90°，
∴△EBH∽△ABC，
∴，即，
若⊙E与△ABC的三边有三个公共点，则⊙E与边AB相离（因为AC上有2个点，BC上有1个点，若AB上有交点则总数≥4）．
∴EH＞r，
60﹣20x＞65x，
85x＜60，
，
∴，
考虑到题目求特定值，取边界值（即圆与AB相切时）：，
另一种情况：
已知CD＝3x，CE＝4x，⊙E半径r＝5x，BC＝12，
则BE＝BC﹣CE＝12﹣4x．
当⊙E与△ABC的三边有三个公共点时，除了圆与AB相切的情况，还存在圆经过点B的情况：
此时BE＝r（B在圆上），即：12﹣4x＝5x9x＝12，
，
此时验证各边交点：AC上：E到AC的距离为CE＝4x，圆与AC有1个交点（在AC边上）；
BC上：B在圆上，圆与BC有1个交点（B）；（除B外的另一个交点）；
总交点数为1+1+1＝3，符合题意．
此时．
故答案为：或4．
【点评】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、直线与圆的位置关系．重难点在于理解“圆与三角形三边有三个公共点”这一几何条件，并将其转化为代数方程求解．
28．已知抛物线和，它们的顶点分别为（m，k）和（k，m），我们称C1和C2互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，且C1的顶点在C2上，那么k的值是　2或3　 ．
【分析】依据题意，由抛物线（x﹣k）2+3可得其顶点为（k，3），结合抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，从而C2为y＝（x﹣3）2+k，结合C1的顶点在C2上，可得（k﹣3）2+k＝3，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线（x﹣k）2+3，
∴其顶点为（k，3）．
∵抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，
∴C2为y＝（x﹣3）2+k，
又∵C1的顶点在C2上，
∴（k﹣3）2+k＝3．
∴k＝2或3．
故答案为：2或3．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC．将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别是点D、E，如果点A恰好在直线DE上，且CE∥AB，那么的值为 　　 ．
【分析】如图，设∠BAC＝α，先根据旋转的性质得到∠D＝∠BAC＝α，∠DCE＝∠CB＝90°，CA＝CD，则∠CAD＝∠D＝α，再根据平行线的性质得到∠ACE＝∠BAC＝α，接着利用三角形内解和定理可计算出α＝30°，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到DE＝2CE，然后证明AE＝CE，所以AD＝3AE．
【解答】解：如图，设∠BAC＝α，
∵将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别是点D、E，点A恰好在直线DE上，
∴∠D＝∠BAC＝α，∠DCE＝∠CB＝90°，CA＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝α，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝α，
∵∠CAD+∠D+∠ACD＝180°，
∴α+α+α+90°＝180°，
解得α＝30°，
在Rt△DCE中，∵∠D＝30°，
∴DE＝2CE，
∵∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴AE＝CE，
∴AD＝3AE，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
30．如图，已知矩形ABCD，AB＝2AD，E是边AB的中点，F是边DC上一点，将四边形AEFD沿直线EF翻折，得到四边形EMND，（点M、N分别与点A、D对应）．如果点E、M、C在同一条直线上，那么DF：FC的值是 　　 ．
【分析】设BC＝AD＝a，则CD＝AB＝2a，由点E是边AB的中点得BE＝a，在Rt△BCE中，由勾股定理得CE，设DF＝x，则FC＝2a﹣x，根据AB∥CD得∠CFE＝∠AEF，再由翻折性质得∠AEF＝∠CEF，则∠CFE＝∠CEF，进而得CF＝CE，则，由此得x，进而得FC＝2a﹣x，据此可得DF：FC的值．
【解答】解：翻折后，当点E、M、C在同一条直线上时，如图所示：
设AD＝a，则AB＝2AD＝2a，
∵点E是边AB的中点，
∴BEAB＝a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝a，CD＝AB＝2a，∠B＝90°，AB∥CD，
∴△BCE是直角三角形，
在Rt△BCE中，CE，
设DF＝x，则FC＝CD﹣DF＝2a﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠AEF，
由翻折性质得：∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴，
解得：x，
∴DF＝x，FC＝2a﹣x，
∴，
即DF：FC的值是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
31．如图，四边形ABCD是平行四边形，将CD绕点D顺时针旋转90°，点C恰好落在BA延长线上的点E处，作∠BCD的平分线交DE的延长线于点F，联结BF，如果，那么∠FBE的正切值是　　 ．
【分析】如图，过点F作FG⊥BC于点G，设AE＝8x，AB＝15x，得到BE＝BA+AE＝23x，利用勾股定理表示出，设FE＝y，证明出Rt△FGC≌Rt△FDC（HL），得到GC＝CD＝15x，利用勾股定理得到FE＝10x，进而求解即可．
【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，将CD绕点D顺时针旋转90°，点C恰好落在BA延长线上的点E处，如图，过点F作FG⊥BC于点G，
∵．
∴设AE＝8x，AB＝15x．
∴BE＝BA+AE＝23x，
∵CD＝AB＝15x，AB∥CD，BC＝AD，
根据题意得，DE＝CD＝15x，∠CDE＝90°，
∴∠AFE＝∠AED＝90°，
∴，
设FE＝y，
∵FG⊥BC，FC平分∠BCD，
∴FG＝FD＝FE+DE＝y+15x，
又∵∠FGC＝∠FDC＝90°，FC＝FC，
∴Rt△FGC≌Rt△FDC（HL），
∴GC＝CD＝15x，
∴BG＝BC﹣GC＝2x，
∵BG2+FG2＝BF2＝BE2+FE2，
∴（2x）2+（y+15x）2＝（23x）2+y2，
∴y＝10x，
∴FE＝10x，
∵∠AFE＝90°，
∴，
∴∠FBE的正切值是．
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质，正确进行计算是解题关键．
32．如图，正方形EFGH内接于正方形ABCD，即点E、F、G、H分别在正方形ABCD的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于HE、EF、FG、GH的对称点P、Q、R、S，如果四边形PQRS的面积恰好是正方形ABCD面积的一半，那么的值是　　 ．
【分析】先证明△EAH≌△HDG≌△GCF≌△FBE，然后得到点P在SH上，同理，点Q，R，S在PE，FQ，RG上，由对称可设
S△EAH＝S△EPH＝S△DHG＝S△SHG＝S△CFG＝S△RFG＝S△FBE＝S△FQE＝m根据，求出S正方形ABCD＝16m，S四边形PQRS＝8m，则S正方形EFGH＝4m+8m＝12m，再由正方形EFGH﹣正方形ABCD求解即可．
【解答】解：，
∵四边形ABCD，EFGH是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝∠EHG＝90°，EH＝HG，
∴∠3＝∠5＝90°﹣∠1，∠1+∠3＝90°，
∴△EAH≌△HDG（AAS），
同理，△EAH≌△HDG≌△GCF≌△FBE，
由对称可得，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2（∠1+∠3）＝180°，
∴点P在SH上，
同理，点Q，R，S在PE，FQ，RG上，
由对称可设S△EAH＝S△EPH＝S△DHG＝S△SHG＝S△CFG＝S△RFG＝S△FBE＝S△FQE＝m，
S△EAH+S△EPH+S△DHG+S△SHG+S△CFG+S△RFG+S△FBE+S△FQE+S四边形PQRS＝S正方形ABCD，
∴8m+S四边形PQRS＝S正方形ABCD，
∵S四边形PQRS＝2S正方形ABCD，
∴S正方形ABCD＝16m，S四边形PQRS＝8m，
∴S正方形EFGH＝4m+8m＝12m，
正方形EFGH∽正方形ABCD，
∴，
．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，属于中档题．
33．如图，在平行四边形ABCD中，，点E是边CD上一点，EF∥AC，如果点D关于直线EF的对称点G恰好在边AB上，那么AG的长是　　 ．
【分析】过点C作CM⊥AB于点M，连接FG，EG，DG，过点G作GH⊥AD于点H，先求得AC＝BC＝5，证明∠HAG＝∠B＝∠CAG＝α，设GH＝4k，则AG＝5k，AH＝3k，证明△AHG≌△AKG（AAS），得出GK＝GH＝4k，AK＝AH＝3k，KC＝AC﹣AK＝5﹣3k，在Rt△ADK，Rt△CDK中，根据勾股定理求得，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，连接FG，EG，DG，过点G作GH⊥AD于点H，
∵BC＝5，，
∴CM＝4，
∴，
∴AM＝BM＝3，
∴，
∴CA＝CB，
设∠B＝α，
∴∠CAG＝∠B＝α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥|BC，AD＝BC＝5，CD＝AB＝6，
∴∠HAG＝∠B＝∠CAG＝α，
∴，
设GH＝4k，则AG＝5k，AH＝3k，
∵点D关于直线EF的对称点G恰好在边AB上，
∴DG⊥EF，
又∵EF∥AC，
∴DG⊥AC，
设DG，AC交于点K，
∵∠HAG＝∠KAG＝α，∠H＝∠AKG＝90°，AG＝AG，
∴△AHG≌△AKG（AAS），
∴GK＝GH＝4k，AK＝AH＝3k，
∴KC＝AC﹣AK＝5﹣3k，
在Rt△ADK中，KD2＝AD2﹣AK2＝52﹣（3k）2，
在Rt△CDK中，KD2＝CD2﹣KC2＝62﹣（5﹣3k）2，
∴52﹣（3k）2＝62﹣（5﹣3k）2，
解得，
∴．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，轴对称的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
34．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC沿着过点B的直线l翻折，使点C落在AB边上的点D处，点E是边AC上一点，若四边形BCED是“等对角四边形”，则的值为 　或　 ．
【分析】先求出∠ABC＝∠C＝72°，设过点B的直线l与AC相交于点P，连接PD，由翻折性质得∠BDP＝∠C＝72°，BD＝BC，∠DBP＝∠CBP＝36°，再两种情况讨论如下：
①当∠BDE＝∠C＝72°时，此时点E与点P重合，求出∠DEC＝144°DE∠DEC≠∠ABC，因此四边形BCED是“等对角四边形”，设AE＝x，AB＝AC＝a，则CE＝a﹣x，，证明BE＝AE＝BC＝x，再证明△ABC和△BEC相似得，即，据此可得；
②当∠DEC＝∠ABC＝72°时，同理求出∠BDE＝144°得∠BDE≠∠C，因此四边形BCED是“等对角四边形”，设AE＝y，AB＝AC＝a，则，证明DE＝AE＝y，再证明△ADE和△ABP相似得AD AP＝AE AB，由①可知BC＝BD＝BP＝AP＝x，则，由此得AD，再根据AD＝AB﹣BD得，由此得，综上所述即可得出的值．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）＝72°，
设过点B的直线l与AC相交于点P，连接PD，
由翻折性质得：∠BDP＝∠C＝72°，BD＝BC，∠DBP＝∠CBP∠ABC＝36°，
当四边形BCED是“等对角四边形”时，有以下两种情况：
①当∠BDE＝∠C＝72°时，
∵∠BDP＝∠C＝72°，
∴点E与点P重合，如图1所示：
此时∠DEC＝360°﹣（∠ABC+∠BDE+∠C）＝360°﹣（72°+72°+72°）＝144°，
∴∠DEC≠∠ABC，
∴四边形BCED是“等对角四边形”，
设AE＝x，AB＝AC＝a，其中x＞0，a＞0，
∴CE＝AC﹣AE＝a﹣x，，
∵∠A＝∠DBP＝36°，
∴BE＝AE＝x，
由折叠性质得：∠BEC∠DEC＝72°，
∴∠BEC＝∠C＝72°，
∴BC＝BE＝x，
在△ABC和△BEC中，
∠CBP＝∠A＝36°，∠C＝∠C＝72°，
∴△ABC∽△BEC，
∴，
∴，
整理得：x2﹣ax﹣a2＝0，
解得：x，x，不合题意舍去，
∴当x时，，
∴，
②当∠DEC＝∠ABC＝72°时，如图2所示：
同理得：∠BDE＝144°，
∴∠BDE≠∠C，
∴四边形BCED是“等对角四边形”，
设AE＝y，AB＝AC＝a，则，
∵∠EDA＝180°﹣∠BDE＝180°﹣144°＝36°，
∴∠EDA＝∠A＝36°，
∴DE＝AE＝y，
∵∠EDA＝∠DBP＝36°，
∴DE∥BP，
∴△ADE∽△ABP，
∴，
∴AD AP＝AE AB，
由①可知：BC＝BD＝BP＝AP＝x，
∴，
∴AD，
∵AD＝AB﹣BD，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的值为或．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
35．定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”，如果等腰三角形ABC是“等接圆三角形”，那么△ABC的面积与其外接圆面积的比值是　　 ．（保留π）
【分析】易得等腰三角形的底边与半径相等，画出不同情况，求得等腰三角形的面积，进而与外接圆相比即可．
【解答】解：∵等腰三角形ABC是“等接圆三角形”，
∴等腰三角形的底边与圆的半径相等．
设圆的半径为r，AB＝AC，BC＝r．
①如图1，连接AO并延长交BC于点M，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴点A，O在线段BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∴∠OMB＝90°，BM，
∴OMr，
∴AM＝rr，
∴S△ABCBC AMr2，
∴△ABC的面积与其外接圆面积的比为；
②如图，连接OA交BC于点M，则AM＝rr，
∴S△ABCBC AMr2，
∴△ABC的面积与其外接圆面积的比为：．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的外接圆的相关知识．分类探讨等腰三角形ABC是“等接圆三角形”的不同情况是解决本题的关键．
36．如图，已知⊙O的直径为10，翻折劣弧BC使其与直径AB交于点D，如果BD＝8，那么折痕BC的长为 　　 ．
【分析】连接AC，DC，过点C作CE⊥AB于点E，依题意得∠BDC＝90°，AB＝10，则AD＝2，∠ACB＝90°，由翻折性质得，由此得所在的圆与⊙O是等圆，再根据圆周角定理得，由此得AC＝DC，则AE＝DEAD＝1，BE＝9，在Rt△BCD和Rt△ABC中，cos∠ABC，继而得，据此可得折痕BC的长．
【解答】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：
∴∠BDC＝90°，
∴△BCD是直角三角形，
∵⊙O的直径AB＝10，BD＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝2，∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由翻折性质得：，
∴所在的圆与⊙O是等圆，
∵所对的圆周角是∠ABC，所对的圆周角是∠ABC，
∴，
∴AC＝DC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵CE⊥AB于点E，
∴AE＝DEAD＝1，
∴BE＝BD+DE＝9，
在Rt△BCD中，cos∠ABC，
在Rt△ABC中，cos∠ABC，
∴，
∴，
∴BC，
∴折痕BC的长为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，理解图形的翻折变换及其性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，灵活利用锐角三角函数的定义计算是解决问题的关键．
37．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BF⊥CE，垂足为点P，已知CP＝9，PF＝7，那么BF的长为 　10或13　 ．
【分析】证明△ABF和△BCE全等得BF＝CE，设EP＝a，BP＝b，则BF＝b+7，CE＝a+9，由此得b+7＝a+9，则a＝b﹣2①，证明△BPE和△CPB相似得，则，由此得b2＝9a②，由①②解得b＝3，b＝6，由此得当b＝3时，BF＝b+7＝10，当b＝6时，BF＝b+7＝13，据此可得出BF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BPE＝∠BPC＝90°，
∴△BPC是直角三角形，
在Rt△BPC中，∠BCE+∠CBP＝90°，
又∵∠CBE＝∠ABF+∠CBP＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BF＝CE，
设EP＝a，BP＝b，
∵CP＝9，PF＝7，
∴BF＝BP+PF＝b+7，CE＝EP+CP＝a+9，
∴b+7＝a+9，
∴a＝b﹣2①，
在△BPE和△CPB中，
∠BPE＝∠BPC＝90°，∠ABF＝∠BCE，
∴△BPE∽△CPB，
∴，
∴，
∴b2＝9a②，
将①代入②得：b2＝9（b﹣2），
整理得：b2﹣9b+18＝0，
解得：b＝3，b＝6，
当b＝3时，BF＝b+7＝10，
当b＝6时，BF＝b+7＝13，
∴BF的长为10或13．
故答案为：10或13．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
38．联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦AB与抛物线的对称轴垂直，垂足为点C，抛物线的顶点为D，当AB＝4CD时，AB的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线y＝3x2﹣2x+1的特征值是　　 ．
【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线y＝3x2﹣2x+1的特征值是即为抛物线y＝3x2的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可．
【解答】解：∵平移不改变抛物线的特征值，
∴y＝3x2﹣2x+1的特征值即为y＝3x2的特征值，如图：
∴此时y＝3x2的对称轴为y轴，
∵AB＝4CD，AB⊥y轴
∴AB＝2BC＝4CD，即BC＝2CD
设BC＝m，
∴，
∴，
∴，
∴或m＝0（舍去）
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
模拟演练 · 新题型总结
第17题针对性练习（共12小题）
【练习1】在矩形ABCD中，点E在AD边上，△BCE是以BE为一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝6，则线段DE的长为　3或6﹣2　 ．
【分析】需要分类讨论：①BE＝EC，此时点E是BC的中垂线与AD的交点；②BE′＝BC，在直角△ABE′中，利用勾股定理求得AE′的长度，然后求得DE′的长度即可．
【解答】解：①当BE＝EC时，点E是BC的中垂线与AD的交点，DEADBC＝3；
②当BC＝BE′＝6时，在直角△ABE′中，AB＝4，则AE′2，
所以DE′＝AD﹣BE′＝6﹣2．
综上所述，线段DE的长为3或6﹣2．
故答案为：3或6﹣2．
【点评】考查矩形的性质和等腰三角形的性质，在此题中，没有确定等腰三角形的底边，所以需要分类讨论，以防漏解．
【练习2】定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为　3≤k＜4　 ．
【分析】由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点，求得直线与抛物线相切时和直线过点（3，0）时的k的值，结合图象即可求得．
【解答】解：由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点，
令y＝﹣x2+3x＝0，解得x＝0或3，
∴二次函数y＝﹣x2+3x的图象与x轴的交点为（0，0），（3，0），
令﹣x2+3x＝k﹣x，
方程整理得x2﹣4x+k＝0，
当直线y＝k﹣x与抛物线相切时，Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4，
当直线过点（3，0）时，0＝k﹣3，
解得k＝3，
∴若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为3≤k＜4．
故答案为：3≤k＜4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．
【练习3】如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝14，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝6，联结AD，如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为
　3　 ．
【分析】如图，过点E作EH⊥BC于H．首先证明△ABD是等边三角形，解直角三角形求出EH即可．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．
∵BC＝14，CD＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝8，
∵AB＝8＝BD，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE＝120°，
∴∠EDH＝60°，
∵EH⊥BC，
∴∠EHD＝90°，
∵DE＝DC＝6，
∴EH＝DE sin60°＝3，
∴E到直线BD的距离为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【练习4】
如图，四边形ABCD为平行四边形，△ABF≌△CDH，∠AFB＝90°，BF＝5，AF＝12，延长DH，BF，交AF，CH于点E，G，若tan∠DAE＝2，直线EG经过CD中点，则AD的长度为 　　 ．
【分析】由tan∠DAE＝2，设AE＝x，DE＝2x，再表示出EH＝2x﹣5，HG＝12﹣x，由直线EG经过CD中点，EG∥AD，tan∠EGH＝2，即EH＝2HG，列方程解出x的值，再利用勾股定理求出AD．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，
∵△ABF≌△CDH，
∴∠BAF＝∠DCH，
∴∠DAE＝∠BCG，
同理∠ADE＝∠CBG，
∴△ADE≌△CBG（ASA），
∴CG＝AE，
∵tan∠DAE＝2，
∴DE＝2AE，
设AE＝CG＝x，
则DE＝2x，
∵DH＝BF＝5，
∴EH＝2x﹣5，
∵CH＝AF＝12，
∴HG＝12﹣x，
连接EG，
∵直线EG经过CD中点，
∴直线EG必经过AB中点，
∴EG∥AD，
∴∠GEH＝∠ADE，
∴∠AED＝∠EGH，
∴tan∠EGH＝2，
∴EH＝2HG
∴2x﹣5＝2（12﹣x），
∴x，
∴AE，DE，
∴AD．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形性质的应用及全等三角形的应用，三角函数的相关计算是解题关键．
【练习5】若二次函数y＝x2+x+a+3的图象与一次函数y＝3x的图象在0≤x≤3的部分有交点，则实数a的取值范围是 　﹣6≤a≤﹣2　 ．
【分析】根据二次函数的图象性质即可求出答案．
【解答】解：令x2+x+a+3＝3x，整理得x2﹣2x+a+3＝0，
∵若二次函数y＝x2+x+a+3的图象与一次函数y＝3x的图象有交点，
∴Δ＝4﹣4（a+3）≥0，
∴a≤﹣2，
x2+x+a+3由二次函数y＝x2+x+a+3可知图象开口向上，对称轴为直线x，
当x＝0时，y＝3x＝0；当x＝3时，y＝3x＝9，
把（0，0）代入y＝x2+x+a+3求得a＝﹣3，
把（3，9）代入y＝x2+x+a+3求得a＝﹣6，
∵二次函数y＝x2+x+a+3的图象与一次函数y＝3x的图象在0≤x≤3的部分有交点，
∴实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2．
故答案为：﹣6≤a≤﹣2．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
【练习6】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是　1.6＜r＜6.4　 ．
【分析】过C点作CD⊥AB于D点，利用勾股定理计算出AB的长度，再利用等面积法计算出CD的长度，再根据切线的性质得到CD为圆的半径，然后利用两圆相交的性质得到r﹣2.4＜4＜2.4+r，最后解不等式即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，如图，过C点作CD⊥AB于D点，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵⊙C与AB相切，
∴CD为⊙C的半径，即⊙C的半径为2.4，
∵⊙A与⊙C相交，
∴r﹣2.4＜4＜2.4+r，
解得：1.6＜r＜6.4，
故答案为：1.6＜r＜6.4．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，切线的性质，解答本题的关键要明确相交圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，若两圆半径为R、r，圆心距为d，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r（R＞r）．
【练习7】同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程x2+mx+n＝0的一次项系数m的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项n的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是　　 ．
【分析】若方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，则Δ＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0．列表可得出所有等可能的结果数以及满足m2﹣4n＝0的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：若方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
则Δ＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0．
列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
共有36种等可能的结果，其中满足m2﹣4n＝0的结果有：（2，1），（4，4），共2种，
∴得到的方程有两个相等的实数根的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、一元二次方程的一般形式、根的判别式，熟练掌握列表法与树状图法、根的判别式是解答本题的关键．
【练习8】已知等腰三角形ABC的底边BC长为8，它的外接圆⊙O半径为5，那么圆心O到腰AB的距离为　或2　 ．
【分析】分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，先根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得OE的值即可．
【解答】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，
如图一，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，
连接OA并延长交BC于D，连接OB，
∵AB＝AC，
∴，
∴AD⊥BC，
∴CDBC＝4，
∵OB＝5，
∴OD3，
∴AD＝8，
∴AB4，
过O作OE⊥AB于E，
∵OA＝OB，
∴AEAC＝2，
∴OE，
∴圆心O到腰AB的距离为；
若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，
连接OA交BC于D，连接OB，
∵AB＝AC，
∴，
∴AD⊥BC，
∴CDBC＝4，
∵OB＝5，
∴OD3，
∴AD＝2，
∴AB2，
过O作OE⊥ACB于E，
∵OA＝OB，
∴AEAB，
∴OE2，
∴圆心O到腰AB的距离为2；
综上所述，圆心O到腰AB的距离为或2；
故答案为：或2．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等三角形的性质，勾股定理，关键是掌握圆周角定理．
【练习9】定义：抛物线C1上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的k倍后得到新的抛物线C2，C2叫C1的“k倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线L2”．设抛物线L2上一点P′（x，y），则点P′在抛物线L1上的对应点为，因为点P在抛物线L1上，所以，整理得到，即抛物线L2的表达式为.参考上述方法，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的“k倍衍生抛物线”的表达式为yx2+bx+ck ．
【分析】依据题意，设抛物线L2上一点P′（x，y），则点P′在抛物线y＝ax2+bx+c上的对应点为P（，），从而a（）2+b c，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，设抛物线L2上一点P′（x，y），则点P′在抛物线y＝ax2+bx+c上的对应点为P（，），
∴a（）2+b c．
∴yx2+bx+ck．
故答案为：yx2+bx+ck．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【练习10】如图，已知正五边形ABCDE的边长是4，联结AC、BD交于点F，那么CF的长是　22　 ．
【分析】根据正五边形的性质求出∠ABC＝∠BCD＝108°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA＝36°，证明AF＝AB＝4，再证明△CBF∽△CAB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠BCD108°，AB＝BC＝CD，
∴∠BAC＝∠BCA36°，
同理可得：∠CBD＝36°，
∴∠ABF＝108°﹣36°＝72°，∠AFB＝∠FBC+∠FCB＝72°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∵∠CBF＝∠CAB，∠BCF＝∠ACB，
∴△CBF∽△CAB，
∴，即，
∴CF2+4CF﹣16＝0，
解得：CF1＝22，CF2＝﹣22（舍去），
故答案为：22．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的性质、相似三角形的判定是解题的关键．
【练习11】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE＝BF＝DG，联结CE、FG，交于点H，如果AE：BE＝1：2，那么的值为 　　 ．
【分析】延长DA、CE交于点P，设AE＝m，则AE＝BF＝DG＝m，由AE：BE＝1：2，得BE＝2AE＝2m，由正方形的性质得AD＝BC＝AB＝3m，所以AG＝CF＝2m，由AP∥BC，证明△APE∽△BCE，由，所以APBCm，则PGm，再证明△PGH∽△CFH，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长DA、CE交于点P，设AE＝m，
∵AE＝BF＝DG，AE：BE＝1：2，
∴AE＝BF＝DG＝m，BE＝2AE＝2m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AB＝m+2m＝3m，AD∥BC，
∴AG＝CF＝3m﹣m＝2m，
∵AP∥BC，
∴△APE∽△BCE，
∴，
∴APBC3mm，
∴PG＝2mmm，
∵PG∥CF，
∴△PGH∽△CFH，
∴，
故答案为：．
【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
【练习12】如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，联结AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，取结BE．已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，则∠EBF的正弦值为 　　 ．
【分析】由AAS可证△ABF≌△DEA得到BF＝AE，设AE＝x，则BF＝x，DE＝AF＝2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到 x x x 2＝24，解方程求出x得到AE＝BF＝6，则EF＝x﹣2＝4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝AD，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，
∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
在△ABF和△DEA中
，
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴BF＝AE，DE＝AF＝2，
设AE＝x＝BF，
∵四边形ABED的面积为24，
∴ x x x 2＝24，解得x1＝6，x2＝﹣8（舍去），
∴EF＝x﹣2＝4，
在Rt△BEF中，BE2，
∴sin∠EBF．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
第18题针对性练习（共10小题）
【练习1】如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连接BE，那么线段BE的长为　　 ．
【分析】证△ABC∽△DAC，得出AC2＝BC×CD＝2，AC，由勾股定理得出AD，由折叠的性质得ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，得出BD＝ED，作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，证△BDF∽△DAC，求出BF，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵BC＝2，点D是边BC的中点，
∴BD＝CD＝1，
∵∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴AC：CD＝BC：AC，
∴AC2＝BC×CD＝2×1＝2，
∴AC，
∴AD，
由折叠的性质得：ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，
∴BD＝ED，
作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，
∴∠BDF+∠ADC180°＝90°，
∵∠ADC+∠DAC＝90°，
∴∠BDF＝∠DAC，
又∵∠DFB＝∠C＝90°，
∴△BDF∽△DAC，
∴，即，
∴BF，
∴BE＝2BF；
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
【练习2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanB，E是边AB上一点，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B′，如果AB′∥BC，那么的值为 　或　 ．
【分析】根据，设AC＝4x，BC＝5x，运用勾股定理可得，分类讨论：如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B′，AB'∥BC，设AB，CB'交于点F，运用勾股定理可得AB＝3x，由平行可证△AB'F∽△BCF，可得解得，，再证△B'EF∽△AEB'，可得即可求解；将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB'∥BC，延长B'A，CE交于点G，运用勾股定理可得AB'＝3x，由折叠与平行的性质可得BC＝B'C＝B'G，则AG＝2x，再证△AGE∽△BCE，得到即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
设AC＝4x，BC＝5x，
∴，
如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB′∥BC，设AB，CB'交于点F，
∴BC＝B'C＝5x，∠B'AC＝∠ACB＝90°，
在Rt△AB'C中，，
∵AB'∥BC，
∴△AB'F∽△BCF，
∴，
∵CF+B'F＝CB'＝5x，
∴CF＝5x﹣B'F，
∴，
解得：，
同理，，
∴，
∴，
解得：，
∵折叠，
∴∠CBE＝∠CB'E，BE＝B'E，
∵AB'∥BC，
∴∠CBA＝∠B'AB，
∴∠EB'F＝∠EAB'，且∠B'EF＝∠AEB'，
∴△B'EF∽△AEB'，
∴，即，
整理得，，
∵B'E＝BE，
∴；
如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB'∥BC，延长B'A，CE交于点G，
∴B'G∥BC，
∴∠G＝∠BCG，∠B'AC＝∠ACB＝90°，
∵折叠，
∴∠BCG＝∠B'CG，BC＝B'C＝5x，
∴∠G＝∠B'CG，
∴B'C＝B'G＝5x，
在Rt△ACB'中，，
∴AG＝B'G﹣AB'＝5x﹣3x＝2x，
∵AG∥BC，
∴△AGE∽△BCE，
∴；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．
【练习3】如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，联结CD，点E是CD的中点，联结BE，那么BE长度的取值范围是 　4≤BE≤6　 ．
【分析】取AC的中点F，根据三角形中位线定理得出EF＝1，据此得出点E的轨迹，再结合勾股定理即可解决问题．
【解答】解：取AC的中点F，连接EF，
∵点E和点F分别为DC和AC的中点，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF，
则点E在以点F为圆心，1为半径的圆上．
连接BF，
在Rt△BCF中，
BF，
∴5﹣1≤BE≤5+1，
即4≤BE≤6．
故答案为：4≤BE≤6．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系、三角形三边关系及三角形中位线定理，能根据题意得出点E的运动轨迹及熟知勾股定理是解题的关键．
【练习4】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，点O在边BC上，BO＝2，以BO为半径作⊙O．将矩形ABCD翻折，使点D落在⊙O上，点D的对应点为点D′，折痕与边AD交于点M，如果直线DD′经过点O，那么DM的长为　　 ．
【分析】分类讨论：当D'在线段OD上时，当D'在线段OD延长线上时，求出DO长，即可得到DD'的长，求出DE的长，最后即可得解．
【解答】解：①设折痕与直线DD'交于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝8，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．
∵OB＝2，
∴OC＝BC﹣OB＝8﹣2＝6，
∴OD3，
∴，
翻折性质知DD'⊥ME，
，
∵，
即，
∴ME，
∴DMME；
②如图设折痕与直线DD'交于点E，
同理可得DD'＝32，
∴DEDD'，
∵，
即，
∴ME
∴DMME；
综上，DM的长为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【练习5】如图，在△ABC中，AB＝BC，点M是AC的中点，将线段AM绕点M逆时针旋转，点A落在边CB延长线上的点D处，联结MD，与边AB交于点E，AE＝3，DE＝2，那么AC的长为　3　 ．
【分析】连接AD，过A作AF∥BC交DM延长线于F，推导出△AEM∽△DEB，得到，设ME＝3k，则EB＝2k，AC＝4+6k，进而推导出，即，解答即可得解．
【解答】解：如图，连接AD，过A作AF∥BC交DM延长线于F，点M是AC的中点，
由题意知∠ADC＝90°，AM＝DM＝CMAC，AC＝DF，
∴∠MDC＝∠BAC＝∠ACB，
∴∠AEM＝∠DEB，
∴△AEM∽△DEB，
∴，
设ME＝3k，则EB＝2k，AC＝DF＝4+6k，
∴EF＝4+6k﹣2＝2+6k，
∵AF∥BC，
∴，即，
解得：k（负值已舍去），
∴AC＝4+6k＝4+63，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
【练习6】在矩形ABCD中，AB＝5．将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形EBFG，点A的对应点为点E，且在边CD上，如果，联结CG，那么CG的长为 　　 ．
【分析】过G作GH⊥CD于点H，根据旋转变换的性质得到BA＝BE，AD＝EG，根据解直角三角形求出CE，BC，证明△BCE∽△EHG，进而求得EH、GH、CH 根据勾股定理便可求得CG．
【解答】解：过G作GH⊥CD于点H，
由旋转变换的性质可知，BA＝BE＝5，
∵t，
∴，
设CE＝4x，则BC＝3x，
由勾股定理得，CE2＝BE2﹣BC2，即（4x）2＝52﹣（3x）2，
解得x＝1，
∴CE＝4，BC＝3，
∵∠CBE+∠CEB＝∠CEB+∠HEG＝90°，
∴∠CBE＝∠HEG，∠BCE＝∠EHG＝90°，
∴△BCE∽△EHG，
∴，即，
∴，GH，
∴CH＝CE﹣EH，
∴CG，
故答案为：．
【点评】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【练习7】如图，已知扇形AOB的半径为18，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是弧AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝10，则O到折痕EF的距离为 　　 ．
【分析】过点G作OG的垂线，交A′E的延长线于O′，连接OO′交EH于H，连接AO′，则点A′、G、F在以点O′为圆心，O′G为半径的圆上，证明四边形AO′GO为矩形，求出AO′的长，再求出OO′的长，证明OO′⊥EF，得出OH＝O′H，进而可得，即可得解．
【解答】解：如图，过点G作OG的垂线，交A′E的延长线于O′，连接OO′交EH于H，连接AO′，则点A′、G、F在以点O′为圆心，O′G为半径的圆上，
，
∵将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，
∴，
∴⊙O与⊙O'是等圆，
∴O′G＝OA，
∵AO⊥OB，O′G⊥OB，
∴AO∥O′G，
∴四边形AO′GO为矩形，
∴AO′⊥AO，
在直角三角形AO′E中，由勾股定理得：，
∵A′E＝AE，O′A′＝O′G＝OA，
∴EO′＝EO，
∵OE＝10，扇形AOB的半径为18，
∴AE＝8，EO′＝10，
∴AO′＝6，
在直角三角形AOO′中，由勾股定理得：，
连接AA′，由折叠的性质可得AA′⊥EF，
∵∠AEA′＝∠OEO′，∠AA′E＝∠A′AE，∠EOO′＝∠EO′O，∠AEA′+∠AA′E+∠A′AE＝∠OEO′+∠EOO′+∠EO′O＝180°，
∴∠AA′E＝∠EO′O，
∴AA′∥OO′，
∴OO′⊥EF，
∴OH＝O′H，
∴，
∴O到折痕EF的距离为，
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，翻折变换（折叠问题），熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【练习8】如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为1的相似三角形，那么称这个四边形为“相似分割四边形”．如图，已知一个梯形是“相似分割四边形”，AB＝AD，BC＝2AD，那么该梯形最小内角的余弦值是 　　 ．
【分析】假设AD＝AB＝x，BC＝2AD＝2x，AD∥BC，得到△ABD∽△DCB，推出，∠C＝∠ABD，得到，过点A作AE⊥BD于点E，根据，即可求解．
【解答】解：设AD＝AB＝x，BC＝2AD＝2x，AD∥BC，
则△ABD∽△DCB，
∴，即，
∴，
过点A作AE⊥BD于点E，则，
∴，
∴该梯形最小内角的余弦值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，梯形，相似图形及解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识．
【练习9】已知矩形ABCD中，AB＝5，以AD为半径的圆A和以CD为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线BC的距离不超过3，设AD的长度为m，则m的取值范围是 　m≤10　 ．
【分析】如图，当E在AB的左侧时，连接AC，AE，CE，过E作ER⊥BC于R，作ES⊥AB于S，如图，当E在AB的右侧时，连接AC，AE，CE，过E作EH⊥BC于H，交AD于Q，再分别求解m的值，从而得到答案．
【解答】解：如图，当E在AB的左侧时，连接AC，AE，CE，过E作ER⊥BC于R，作ES⊥AB于S，
∵已知矩形ABCD，AB＝5，AD＝m，
∴四边形ERBS为矩形，AD＝CB＝m，AB＝CD＝5，
∵ES＝BR，ER＝BS＝3，
∴AS＝5﹣3＝2，
∵A，C为圆心，
∴AC是DE的垂直平分线，
∴AD＝AE＝m，CD＝CE＝5，
∵ER＝3，
∴CR4，
∴ES＝BR＝4﹣m，
在Rt△AES中，m2＝（4﹣m）2+22，
解得：m，
如图，当E在AB的右侧时，连接AC，AE，CE，过E作EH⊥BC于H，交AD于Q，
∵已知矩形ABCD，AB＝5，AD＝m，
∴AD＝CB＝m，AB＝CD＝5，四边形CDQH为矩形，
∴QH＝CD＝5，
同理可得：
AD＝AE＝m，CD＝CE＝5，
∵EH＝3，
∴QD＝CH4，
∴AQ＝m﹣4，
∵EQ＝5+3＝8
在Rt△AEQ中，m2＝（m﹣4）2+82，
∴m＝10，
综上所述：点E到直线BC的距离不超过3，则m≤10；
故答案为：m≤10．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等，确定临界点是解答本题的关键．
【练习10】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，△AOB是边长为4的等边三角形，点C，D分别在边OB和AB上，△CDB是边长为2的等边三角形．现将△CDB绕点B顺时针旋转，得到△EFB，旋转角为α，点C，D的对应点分别是点E和F，连接OE，AF，若点G，H分别是OE，AF的中点，连接BG，GH，BH，得△BGH，设△BGH的面积是S，则S的取值范围为 　　 ．
【分析】先证明△ABF≌△OBE，进而证明△FBH≌△EBG，进而得出△BGH是等边三角形，延长BG至R，使GR＝BG，连接RE，过H作HM⊥BG于点M，可推出，四边形OREB是平行四边形，从而OR＝BE＝2，由三角形三边关系2≤RB≤6，进一步得出结果．
【解答】解：∵△OAB和△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝∠ABO＝60°，OB＝AB，BF＝BE，
∴∠ABF＝∠EBO，
∴△ABF≌△OBE（SAS），
∴AF＝OE，∠AFB＝∠BEO，
∵点G，H分别是OE，AF的中点，
∴，，
∴HF＝EG，
∴△FBH≌△EBG（SAS），
∴BH＝BG，∠FBH＝∠GBE，
∴∠FBH+∠EBH＝∠GBE+∠EBH，
∴∠GBH＝∠EBF＝60°，
∴△BGH是等边三角形，
延长BG至R，使GR＝BG，连接RE，过H作HM⊥BG于点M，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵OG＝EG，
∴四边形OREB是平行四边形，
∴OR＝BE＝2，
∴OB﹣OR≤RB≤OB+OR，
∴2≤RB≤6，
∴1≤BG≤3，
∵，
∴，
所以S的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形及熟练掌握知识点的应用．
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