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2026年上海中考冲刺 选择专题复习
(知识总结+考点精讲+课后巩固))
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 实数的有关概念（相反数、倒数、无理数、科学记数法），熟练进行幂运算、二次根式化简及有理化。
理解 不等式的基本性质，能判断一元二次方程根的情况（判别式），掌握分式方程的换元法。
熟练运用 正比例函数、反比例函数、一次函数的图象与性质（增减性、象限、交点），能根据图象解不等式。
掌握 统计量（平均数、中位数、众数、方差）的意义与计算，理解统计图的选择；掌握四边形、圆、向量等几何基础知识及图形变换（中心对称、轴对称、旋转）。
体会 数形结合、转化思想、分类讨论在选择题中的灵活应用。
核心：基础概念辨析 · 函数性质判定 · 几何图形性质 · 统计量分析。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 数与式
实数的分类： 有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数，如π、√2）。
相反数、倒数、绝对值： 相反数符号相反；倒数乘积为1；绝对值非负。
科学记数法： ，其中 ， 为整数。
幂的运算： 同底数幂相乘 ，幂的乘方 ，积的乘方 ，同底数幂相除 。
整式运算： 合并同类项、去括号、乘法公式（平方差、完全平方）。
二次根式： 最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式）；有理化因式：两个含有根式的代数式相乘后不含根号。
☆ 方程与不等式
不等式基本性质： 两边加（减）同数方向不变；乘（除）正数方向不变；乘（除）负数方向改变。
一元二次方程根的判别式： 。 → 两个不等实根； → 两个相等实根； → 无实根。
分式方程： 常用换元法将复杂分式转化为整式方程，注意验根（增根）。
☆ 函数及其性质
正比例函数： ()，图象过原点。 过一、三象限， 随 增大而增大； 过二、四象限， 随 增大而减小。
反比例函数： ()，图象为双曲线。 图象在一、三象限，每一象限内 随 增大而减小； 图象在二、四象限，每一象限内 随 增大而增大。
一次函数： ()， 决定方向， 决定与 轴交点。两直线平行 。
函数增减性： 对于正比例、一次函数，看 的符号；对于反比例函数，需强调“在每个象限内”。
☆ 统计与几何综合
统计量： 平均数 、中位数（排序后中间数）、众数（出现次数最多）、方差越小数据越稳定。
统计图选择： 条形图——比较数量；折线图——反映变化趋势；扇形图——占比。
四边形： 矩形（对角线相等且互相平分）、菱形（对角线垂直平分且平分内角）、正方形、梯形。中点四边形、等腰梯形性质。
圆： 点与圆的位置关系（ 与 比较），直线与圆的位置关系（相离、相切、相交），圆与圆的位置关系（圆心距与半径和/差）。
平面向量： 向量加法三角形法则、平行四边形法则；向量的模、平行向量。
图形变换： 轴对称（沿直线翻折重合）、中心对称（绕点旋转180°重合）、旋转（正多边形旋转后与自身重合的条件是旋转角为360°的约数）。
三角形、尺规作图： 角平分线、中垂线、等腰三角形构造。
☆ 知识总结表
类别 核心内容 常用公式/判定
数与式 实数分类、幂运算、二次根式 科学记数法：；最简二次根式条件
方程与不等式 不等式性质、判别式、换元法
函数 正比例、反比例、一次函数图象与性质 随 增大而增大/减小判定
统计与概率 平均数、中位数、众数、方差 方差越小越稳定
几何与图形 四边形、圆、向量、对称、旋转 两圆相交条件：
直击考场 ·典型考点精讲
考场一：（共6小题）
1．下列运算中，正确的是（　　）
A．m3+m3＝2m3 B．m3+m3＝m6 C．m3 m3＝m9 D．（m3）3＝m6
【分析】A、B选项均根据合并同类项法则计算，然后判断即可；
C．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
D．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵m3+m3＝2m3，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
B．∵m3+m3＝2m3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵m3 m3＝m6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（m3）3＝m9，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则和合并同类项法则．
2．下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（　　）
A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2
【分析】先列出前半部分“x与y的差”，即x﹣y，再列后半部分“的平方”，即可得出答案．
【解答】解：根据题目可列出（x﹣y）2，
故选B．
【点评】本题考查的是根据题意列出代数式．
3．下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C．y D．y
【分析】根据形如y＝kx（k≠0）的是正比例函数，逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：A．y＝3x+1是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意；
B．y＝3x2是二次函数，故不符合题意；
C．y是反比例函数，故不符合题意；
D．y是正比例函数，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握定义是关键．
4．如图是某校体育组60人的某科成绩，下列说法中正确的是（　　）
A．中位数是21 B．中位数是75
C．众数是21 D．众数是85
【分析】分别根据中位数和众数的定义解答即可．
【解答】解：由统计图可知，把该校体育组60人的某科成绩中出现最多的是85分，故众数是85．
故选：D．
【点评】本题考查条形统计图、众数、中位数，能够从统计图中获取必要信息是解答本题的关键．
5．在正方形ABCD中，||：||的值是（　　）
A． B． C． D．2
【分析】利用三角形法则，等腰直角三角形的性质求解．
【解答】解：如图，连接AC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝90°，
∴ACCD，
∵，
∴||：||．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形法则．
6．在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　）
A．2 B．5 C．8 D．10
【分析】根据题意，等腰△ABC 的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD＝3；当⊙D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5﹣r|＜OD＜5+r，代入数值求解r的范围，进而确定选项．
【解答】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴BD＝DC＝4，OD⊥BC，
锐角三角形ABC中，AB＝AC，
∴外接圆心O在AD上，
连接OB，由勾股定理得：，
设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：|5﹣r|＜OD＜5+r，
即|5﹣r|＜3＜5+r，
解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键．
考场二：（共6小题）
7．如果x＞y，那么下列正确的是（　　）
A．x+5≤y+5 B．x﹣5＜y﹣5 C．5x＞5y D．﹣5x＞﹣5y
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：如果x＞y，两边同时加上5得x+5＞y+5，则A不符合题意；
如果x＞y，两边同时减去5得x﹣5＞y﹣5，则B不符合题意；
如果x＞y，两边同时乘5得5x＞5y，则C符合题意；
如果x＞y，两边同时乘﹣5得﹣5x＜﹣5y，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．函数的定义域是（　　）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＝3 D．x≠3
【分析】根据题意可得x﹣3≠0，解得x的取值范围即可．
【解答】解：由题意得x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故选：D．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
9．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0
【分析】求出x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6，x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3，可知A，B不符合题意；由x2﹣6x+6＝0得Δ＝36﹣24＝12＞0，知C不符合题意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，知D符合题意．
【解答】解：x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6，
∴x2﹣6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意；
x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3，
∴x2﹣9＝0有两个不等实数根，故B不符合题意；
由x2﹣6x+6＝0知Δ＝36﹣24＝12＞0，
∴x2﹣6x+6＝0有两个不等实数根，故C不符合题意；
由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，
∴x2﹣6x+9＝0有两个相等实数根，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足Δ＝0．
10．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（　　）
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
【分析】先找出平均数小的种类，再根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：∵甲种类和乙种类开花时间最短，
∴从甲种类和乙种类进行选，
∵甲的方差大于乙的方差，
∴开花时间最短的并且最平稳的是乙种类．
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（　　）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【分析】先证明四边形PQRS为平行四边形，再证明△ABQ≌△DCS，得到BQ＝CS，得到PQ＝PS，再根据菱形的判定定理判断即可．
【解答】解：∵BF⊥AC，DH⊥AC，
∴PB∥DR，
同理可得：AR∥CP，
∴四边形PQRS为平行四边形，
∵四边形ABCD矩形，
∴∠BAC＝∠BDC，AB＝CD，
∵BF⊥AC，CG⊥BD，
∴∠ABF＝∠DCG，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴PB＝PC，
在△ABQ和△DCS中，
，
∴△ABQ≌△DCS（ASA），
∴BQ＝CS，
∴PQ＝PS，
∴四边形PQRS为菱形，
故选：A．
【点评】本题考查的是矩形的性质、菱形的判定，熟记四条边相等的四边形是菱形是解题的关键．
12．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
【分析】根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案．
【解答】解：∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切，
∴圆A含在圆P内，即PA＝3﹣1＝2，
∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示：
∴当到P'位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为，
∵，
∴圆P与圆B相交，
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，涉及勾股定理，熟记圆的位置关系是解决问题的关键．
考场三：（共6小题）
13．下列运算正确的是（　　）
A．a5÷a2＝a3 B．a3+a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．a
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a5÷a2＝a3，故A符合题意；
B、a3+a3＝2a3，故B不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故C不符合题意；
D、|a|，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．在分式方程5中，设y，可得到关于y的整式方程为（　　）
A．y2+5y+5＝0 B．y2﹣5y+5＝0 C．y2+5y+1＝0 D．y2﹣5y+1＝0
【分析】设y，则，原方程可变为：y5，再去分母得y2+1＝5y，即可得出结论．
【解答】解：设y，则，
分式方程5可变为：y5，
去分母得：y2+1＝5y，
整理得：y2﹣5y+1＝0，
故选：D．
【点评】本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
15．下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y D．y
【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
【解答】解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，y的函数值随着x增大而减小，
故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，y的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
16．如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（　　）
A．小车的车流量比公车的车流量稳定
B．小车的车流量的平均数较大
C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值
D．小车与公车车流量的变化趋势相同
【分析】观察图象，再逐项判断各选项即可．
【解答】解：观察小车与公车的车流量图可知，小车的车流量在每个时段都大于公车的车流量，
∴小车的车流量的平均数较大，选项B正确；
而选项A，C，D都与图象不相符合，
故选：B．
【点评】本题考查折线统计图，解题的关键是能从图象中获取有用的信息．
17．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
【分析】由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的长为AD与BC间的距离，
∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
18．已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC（a+b）；②AD，则下列说法正确的是（　　）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①②均正确 D．①②均错误
【分析】根据题意，作出图形，若梯形ABCD为等腰梯形，可得①；②，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．
【解答】解：过B作BE∥CA，交DC延长线于E，如图所示：
若AD＝BC，AB∥CD，则四边形ACEB是平行四边形，
∴CE＝AB，AC＝BE，
∴AB∥DC，
∴∠DAB＝∠CBA，
∵AB＝AB，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴AC＝BD，即BD＝BE，
∵AC⊥BD，
∴BE⊥BD，
在Rt△BDE 中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，
∴DE＝DC+CE＝b+a，
∴，此时①正确；
过B作BF⊥DE于F，如图所示：
在Rt△BFC中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，DE＝b+a，
∴，，
∴BC，此时②正确；
但已知中，梯形ABCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD是AB∥CD还是AD∥BC，并未确定，
∴无法保证①②正确，
故选：D．
【点评】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，孰练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
考场四：（共6小题）
19．8的相反数是（　　）
A．8 B． C．﹣8 D．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：8的相反数为：﹣8．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
20．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断．
【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项不符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用以及合并同类项法则，积的乘方的运算法则，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．
21．已知反比例函数y（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：因为反比例函数y（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
所以k＜0，
A．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；
B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；
C．3×0＝0，故本选项不符合题意；
D．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
22．我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，小明和小红分别计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：因为计算了点单的总额和不计算外卖费的总额，
所以两种情况计算出的数据一样的是方差，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
23．下列说法正确的是（　　）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
【分析】根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可．
【解答】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
24．有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n的值可能为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案．
【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；
D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题的关键．
模拟演练 · 新题型总结
1.下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可．
【解答】解：，，都是最简二次根式，
中被开方数含分母，不是最简二次根式，
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.如果函数y＝（k+1）x与的图象有公共点，那么下列k的值中，满足条件的是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】两个函数图象有公共点，说明联立两个函数的解析式得到的方程组有非零解，利用平方的非负性得到k的取值范围，再结合选项判断即可．
【解答】解：由题意可得：联立有解，且x≠0．
消去y得：，
两边同乘x（x≠0）得：（k+1）x2＝k﹣1，
整理得：，
∵x2＞0（x≠0），
∴，即分子分母同号．
可得两种情况：
①，解得k＞1；
②，解得k＜﹣1；
结合选项，只有k＝2满足条件．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，正确记忆相关知识点是解题关键．
3.解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（　　）
A．y2﹣2y﹣3＝0 B．y2﹣2y+3＝0 C．y2+2y﹣3＝0 D．y2+2y+3＝0
【分析】先利用倒数关系用含y的代数式表示出，再去分母把分式方程化为整式方程得结论．
【解答】解：令，则3，
∴原方程可变形为：y2．
整理，得y2﹣2y﹣3＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程，掌握换元法是解决本题的关键．
4.下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（　　）
A．上海市16个区的人口数
B．张爷爷连续7天定时测得的体温
C．九（3）班36个学生的体重
D．向阳菜市场15种蔬菜的价格
【分析】根据条形统计图、扇形统计图与折线统计图各自的特点求解即可．
【解答】解：A．上海市16个区的人口数适合用条形图，不符合题意；
B．张爷爷连续7天定时测得的体温适合用折线图，符合题意；
C．九（3）班36个学生的体重适合用条形图，不符合题意；
D．向阳菜市场15种蔬菜的价格适合用条形图，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．而条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能反映部分与整体的关系．
5.如图，坐标平面内圆A，已知圆A的半径为2，圆心A（5，4），下列直线中，与圆A相交，且被圆A所截得的弦最长的是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣x C． D．
【分析】利用正比例函数解析式可判断直线yx经过点A，所以直线yx被圆A所截得的弦为直径，最长．
【解答】解：∵A（5，4），
∴直线yx经过点A，
∴直线yx被圆A所截得的弦最长，截得的弦为直径．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
6.如图，现有两个全等三角形，它们的三边长分别为3、4、5，将它们拼接成一个图形，拼接方式满足：（1）两个三角形间有一条等长边完全重合；（2）两个三角形拼接在等长边的两侧，那么共能拼接成形状不同的四边形的种数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分别以3、4、5为重合边进行拼接，从而得到不同的四边形．
【解答】解：两个三角形在边长为5的两侧拼接，可形成2个不同的四边形；两个三角形在边长为3的两侧拼接，可形成1个平行四边形；两个三角形在边长为4的两侧拼接，可形成1个平行四边形．
所以共能拼接成形状不同的4个四边形．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
7.下列实数中，无理数的是（　　）
A． B． C． D．0.00
【分析】根据有理数和无理数的分类标准进行判断即可．
【解答】解：∵2是有理数，
故A不符合题意；
∵是分数，是有理数，
故B不符合题意；
∵π是无理数，
∴是无理数，
故C符合题意；
∵0.00是有理数，
故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查分数指数幂和无理数，掌握有理数和无理数的分类标准是关键．
8.下列运算中，正确的是（　　）
A．a3+a3＝2a3 B．2a3﹣a3＝2 C．a3 a3＝a9 D．（a3）3＝a6
【分析】A．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；
B．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；
C．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
D．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵a3+a3＝2a3，
∴此选项的计算正确，
故此选项不符合题意；
B．∵2a3﹣a3＝a3，
∴此选项的计算错误，
故此选项不符合题意；
C．∵a3 a3＝a6，
∴此选项的计算错误，
故此选项不符合题意；
D．∵（a3）3＝a9，
∴此选项的计算错误，
故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的有关计算，解题关键是熟练掌握合并同类项法则、同底数幂相乘法则和幂的乘方法则．
9.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为关于x的方程为x2+1＝0，
则Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
所以此方程没有实数根．
故A选项不符合题意；
因为关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，
则Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
所以此方程有两个相等的实数根．
故B选项不符合题意；
因为关于x的方程为x2+x+1＝0，
则Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
所以此方程没有实数根．
故C选项不符合题意；
因为关于x的方程为x2+x﹣1＝0，
则Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
所以此方程有两个不相等的实数根．
故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10.下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（　　）
A． B． C．y＝x2﹣2 D．y＝2x﹣2
【分析】分别根据反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质解答即可．
【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；
B、∵k＝2＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；
C、∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，不符合题意；
D、∵k＝2＞0，
∴函数值y随自变量x的值增大而增大，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．
11.在平面直角坐标系xOy中，已知点M（8，6），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
【分析】先求出点M到x轴、y轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．
【解答】解：∵点M的坐标是（8，6），
∴点M到x轴的距离是6，到y轴的距离是8，
∵点M（8，6），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，
∴r的取值范围是6＜r＜8，
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
12.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，连接AE，如果要求出∠CAE的度数，只需知道下列哪个角的度数（　　）
A．∠ABC B．∠ACB C．∠BAC D．∠AEC
【分析】过点E作AB、AC、BC所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点E到AB、AC的距离相等，进而判定AE平分∠FAG，建立∠CAE与∠BAC的数量关系即可求解．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G，EH⊥BC交BC的延长线于点H，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∵CE平分∠ACD，EG⊥AC，EH⊥BC（D、B、C共线），
∴EG＝EH，
∴EF＝EG，
∵EF⊥AB，EG⊥AC，
∴AE平分∠FAG．
∴，
∴只要求出∠CAE的度数，只需知道∠BAC的度数．
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质与判定．角平分线的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
13.下列实数中，比0小的是（　　）
A．（﹣1）2 B．﹣（﹣1） C．|﹣1| D．﹣1的倒数
【分析】计算每个选项的结果，将结果与0比较大小，即可得到正确选项．
【解答】解：逐一计算各选项结果并比较大小：
A选项 （﹣1）2＝1，1＞0，∴A不符合要求
B选项﹣（﹣1）＝1，1＞0，∴B不符合要求
C选项|﹣1|＝1，1＞0，∴C不符合要求
D选项﹣1的倒数是﹣1，﹣1＜0，∴D符合要求，
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数大小比较，相反数，绝对值，倒数，掌握其相关知识点是解题的关键．
14.下列函数，图象不是一条直线的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝1 D．y＝x
【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可．
【解答】解：根据一次函数图象特征作出判断如下：
A：y＝x2是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意；
B：y＝x+1是一次函数，图象是一条直线，不符合题意；
C：y＝1是一条平行于x轴的直线，不符合题意；
D：y＝x是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，正确进行计算是解题关键．
15.下列运算正确的是（　　）
A．a3 a3＝a9 B．a3+a3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）3＝a9
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则（同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加）去判断；
B、根据合并同类项法则（同类项法则：系数相加字母及指数不变）去判断；
C、根据同底数幂的除法法则（同底数幂的除法法则：底数不变指数相减）去判断；
D、根据幂的乘方法则（幂的乘方法则：底数不变指数相乘）去判断．
【解答】解：A．a3 a3＝a6，故此项错误，不符合题意；
B．a3+a3＝2a3，故此项错误，不符合题意；
C．a6÷a3＝a3，故此项错误，不符合题意；
D．（a3）3＝a9，故此项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方与合并同类项，同底数幂的乘法与除法，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．
16.博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A、该图形不属于中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不属于中心对称图形，不符合题意；
C、该图形属于中心对称图形，符合题意；
D、该图形不属于中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的内容是关键．
17.在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了10次，球的落地位置如图所示．已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这10次成绩的方差的描述正确的是（　　）
A． B．
C． D．无法确定
【分析】根据方差来衡量数据波动大小、离散程度，进行判断即可．
【解答】解：根据方差来衡量数据波动大小、离散程度可知：甲的成绩比乙的成绩更加分散，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了方差，熟练掌握该知识点是关键．
18.如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为S．当扇面张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，如果，那么m与n关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t，表示出，然后得到，进而求解即可．
【解答】解：当扇面张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，
设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t，
∴，
当扇面张开的角度为n°时，扇面面积，
∴，
∴m与n成正比例关系，
∴m与n关系的大致图象是：
．
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算，正确进行计算是解题关键．
19.下列计算正确的是（　　）
A．x3 x3＝2x3 B．（x2）3＝x5
C．（﹣xy）4＝x4y4 D．x3+x5＝x8
【分析】A选项：根据合并同类项法则，x3 x3＝x6，而非2x3，错误．
B选项：根据幂的乘方法则（am）n＝amn，（x2）3＝x2×3＝x6，而非x5，错误．
C选项：根据积的乘方法则（ab）n＝anbn，（﹣xy）4＝（﹣1）4x4y4＝x4y4，正确．
D选项：根据合并同类项法则，x3+x5，不能合并同类项，而非x8，错误．
【解答】解：A选项，根据合并同类项法则，同类项相减时，系数相减，字母和指数不变；x3 x3＝x3+3＝x6，而不是2x3，所以A选项错误；
B选项，根据幂的乘方法则：（am）n＝amn，则（x2）3＝x2×3＝x6，不是x5，所以B选项错误；
C选项，根据积的乘方法则：（ab）n＝anbn，则（﹣xy）4＝（﹣1）4x4y4＝x4y4，所以C选项正确；
D选项，根据合并同类项法则，同类项相加时，系数相加，字母和指数不变．x3+x5，不是同类项，不能合并，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算．
20.全民阅读有助于提升国家和民族的精神力量．上海各区和高校都有开放型图书馆提供给市民，以下是其中四个图书馆标志，其图案（忽略文字部分）不是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可．
【解答】解：A、B、C均是轴对称图形，
D不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．
21.下列函数中，y的值随x的增大而减小的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据正比例函数与反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：A、∵k0，
∴y随x的增大而增大，不符合题意；
B、∵k0，
∴y随x的增大而减小，符合题意；
C、∵k＝2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、∵k＝﹣2＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键．
22.在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，下列说法不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平面向量的线性运算逐一判断即可．
【解答】解：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
∴，，，
故选项ACD正确；
，
故选项B错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量，三角形中位线定理，熟记平面向量的线性运算，三角形中位线定理是解题的关键．
23.某学校组织了一场体能测试，抽出50个人的成绩（分数）进行统计，结果如图所示．关于这50人的分数，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是15 B．众数是15
C．中位数是75 D．众数是85
【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可．
【解答】解：现抽出50个人的体育考试分数，并对此进行统计如图所示：
75分和85分出现的次数最多，故众数是75和85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第25与26个数，故中位数是（75+75）＝75，
故选项C说法正确．
故选：C．
【点评】本题考查了众数与中位数，正确进行计算是解题关键．
24.如图，已知∠ABC＝60°，半径为1cm的⊙O与边BA、BC均相切，如果⊙O1与∠ABC的两边都相切，且与⊙O相交，那么⊙O1的半径长可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过O点作OE⊥BC于E点，O1D⊥BC于D点，如图，根据切线的性质和切线长定理得到OE＝1，OB平分∠ABC，则∠OBC＝30°，所以BO＝2，再判断点O1在射线BO上，所以BO1＝2r，当⊙O1与⊙O外切时，设⊙O1的半径为r，利用两圆外切的性质得OO1＝BO1﹣BO或OO1＝BO﹣BO1，即1+r＝2r﹣2或1+r＝2﹣2r，求出r，从而得到⊙O1与⊙O相交时，r的取值范围为r＜3且r≠1，然后利用此范围对各选项进行判断．
【解答】解：过O点作OE⊥BC于E点，O1D⊥BC于D点，如图，
∵⊙O与边BA、BC均相切，
∴OE＝1，OB平分∠ABC，
∴∠OBC＝30°，
∴BO＝2OE＝2，
∵⊙O1与∠ABC的两边都相切，
∴点O1到∠ABC的两边相等，
∴点O1在射线BO上，
∴BO1＝2r，
当⊙O1与⊙O外切时，设⊙O1的半径为r，则OO1＝BO1﹣BO或OO1＝BO﹣BO1，
即1+r＝2r﹣2或1+r＝2﹣2r，
解得r＝3或r，
∴⊙O1与⊙O相交时，r的取值范围为r＜3且r≠1．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
25.下列各式中，的有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】只需找到与相乘后积不含根号的选项．
【解答】解：根据题意可知，，结果不含根号，符合有理化因式的定义，
其余选项与相乘后，结果仍含有根号，不符合要求．
故选：B．
【点评】本题考查了分母有理化，掌握分母有理化的方法是关键．
26.已知氧原子的直径大约是0.00000014毫米，那么数据0.00000014用科学记数法表示是（　　）
A．0.14×10﹣8 B．0.14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣7
【分析】根据形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数进行计算．
【解答】解：数据0.00000014用科学记数法表示为：1.4×10﹣7．
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，掌握形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
27.下列函数中，函数值y随着x增大而减小是（　　）
A．y＝﹣x2 B． C．y＝﹣x D．y＝﹣1
【分析】只需根据各类函数的性质，逐一判断选项即可得到结果．
【解答】解：只需根据各类函数的性质，逐一判断选项可得：
A：y＝﹣x2是开口向下的二次函数，对称轴为x＝0，∵当x＜0时，y随x增大而增大，∴A不符合要求；
B：是反比例函数，k＝﹣1＜0，∵在每个象限内y随x增大而增大，且在整个定义域不满足y随x增大而减小，∴B不符合要求；
C：y＝﹣x是一次函数，比例系数为﹣1＜0，∴在全体实数范围内，y随x增大而减小，C符合要求；
D：y＝﹣1是常函数，函数值不随x变化而改变，∴D不符合要求．
故选：C．
【点评】本题考查不同函数的增减性，正确进行计算是解题关键．
28.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，如果搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么红球的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设红球个数为x，根据摸到白球的概率列方程求解即可．
【解答】解：设红球的个数为x，则袋子中总球数为（3+x）个，由题意可得：
∴，
解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，
∴红球的个数为2．
故选：A．
【点评】本题考查概率公式，正确进行计算是解题关键．
29.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，利用尺规作图，把它分成两个三角形，使其中一个三角形是等腰三角形．下列作图中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据作图痕迹一一判断即可．
【解答】解：选项A中，△ADC，△BCD都是等腰三角形；
选项C中，△ABD是等腰三角形；
选项D中，△ABD是等腰三角形．
选项B中，没有等腰三角形．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是读懂图象信息．
30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，根据勾股定理求得AC＝3，因为以点A为圆心，r为半径作圆，点C在⊙A内且点B在⊙A外，所以AC＜r＜AB，则3＜r＜5，可知r的值可能是4，而不可能是2或3或5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC3，
∵以点A为圆心，r为半径作圆，点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴AC＜r＜AB，
∴3＜r＜5，
∴r的值可能是4，而不可能是2或3或5，
故选：C．
【点评】此题重点考查勾股定理、点与圆的位置关系等知识，正确地求出AC的长并且推导出AC＜r＜AB是解题的关键．
31.下列实数中，比3小的无理数是（　　）
A． B． C．π D．
【分析】先根据平方根定义和二次根式的性质计算A，D选项中的式子，再估算的大小，从而进行判断即可．
【解答】解：，，π＞3，
∵，即，
∴比3小的无理数是，
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握平方根定义和二次根式的性质．
32.上海市2025年全年地区生产总值约为5.67万亿元，其中5.67万亿用科学记数法表示为（　　）
A．5.67×1010 B．5.67×1011 C．5.67×1012 D．5.67×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：5.67×104×108＝5.67×1012，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
33.已知⊙O及其所在平面内的直线1，P为直线1上的一点，如果⊙O半径为3，且PO＝3，那么下列对直线l的表述不正确的是（　　）
A．直线1可能经过圆心O B．直线1可能与⊙O相交
C．直线1可能与⊙O相切 D．直线1可能与⊙O相离
【分析】根据圆心到直线的距离是3，则直线和圆相交或相切，据此可以得到公共点的个数．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，P为⊙O所在平面内某直线l上一点，OP＝3，
∴直线PQ与圆相切或相交，
故公共点的个数为1或2．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键．
34.在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6，6，7，5，6，那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（　　）
A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是6 D．方差是6
【分析】分别根据中位数、众数、算术平均数以及极差的定义解答即可．
【解答】解：该组数据的平均数是6，故选项A说法正确，不符合题意；
该组数据的中位数是6，故选项B说法正确，不符合题意；
该组数据的众数是6，故选项C说法正确，不符合题意；
该组数据的方差为0.4，故选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了极差，算术平均数，中位数以及众数，掌握相关统计量的定义是解答本题的关键．
35.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形ABCD（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形
B．四边形ABCD的周长是
C．四边形ABCD的面积是6
D．∠ABC＝∠ADC＝45°
【分析】根据菱形的判定，勾股定理，菱形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AD，BC＝CD2，
∵2，
∴AB≠BC，
∴四边形ABCD不是菱形，故A不符合题意；
四边形ABCD的周长是AB+AD+BC+CD＝42，故B不符合题意；
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是AC BD3×4＝6，故C符合题意，
∵∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠ABC＝∠ADC＞45°，故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
第1页（共1页）2026年上海中考冲刺 选择专题复习
(知识总结+考点精讲+课后巩固))
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课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 实数的有关概念（相反数、倒数、无理数、科学记数法），熟练进行幂运算、二次根式化简及有理化。
理解 不等式的基本性质，能判断一元二次方程根的情况（判别式），掌握分式方程的换元法。
熟练运用 正比例函数、反比例函数、一次函数的图象与性质（增减性、象限、交点），能根据图象解不等式。
掌握 统计量（平均数、中位数、众数、方差）的意义与计算，理解统计图的选择；掌握四边形、圆、向量等几何基础知识及图形变换（中心对称、轴对称、旋转）。
体会 数形结合、转化思想、分类讨论在选择题中的灵活应用。
核心：基础概念辨析 · 函数性质判定 · 几何图形性质 · 统计量分析。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 数与式
实数的分类： 有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数，如π、√2）。
相反数、倒数、绝对值： 相反数符号相反；倒数乘积为1；绝对值非负。
科学记数法： ，其中 ， 为整数。
幂的运算： 同底数幂相乘 ，幂的乘方 ，积的乘方 ，同底数幂相除 。
整式运算： 合并同类项、去括号、乘法公式（平方差、完全平方）。
二次根式： 最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式）；有理化因式：两个含有根式的代数式相乘后不含根号。
☆ 方程与不等式
不等式基本性质： 两边加（减）同数方向不变；乘（除）正数方向不变；乘（除）负数方向改变。
一元二次方程根的判别式： 。 → 两个不等实根； → 两个相等实根； → 无实根。
分式方程： 常用换元法将复杂分式转化为整式方程，注意验根（增根）。
☆ 函数及其性质
正比例函数： ()，图象过原点。 过一、三象限， 随 增大而增大； 过二、四象限， 随 增大而减小。
反比例函数： ()，图象为双曲线。 图象在一、三象限，每一象限内 随 增大而减小； 图象在二、四象限，每一象限内 随 增大而增大。
一次函数： ()， 决定方向， 决定与 轴交点。两直线平行 。
函数增减性： 对于正比例、一次函数，看 的符号；对于反比例函数，需强调“在每个象限内”。
☆ 统计与几何综合
统计量： 平均数 、中位数（排序后中间数）、众数（出现次数最多）、方差越小数据越稳定。
统计图选择： 条形图——比较数量；折线图——反映变化趋势；扇形图——占比。
四边形： 矩形（对角线相等且互相平分）、菱形（对角线垂直平分且平分内角）、正方形、梯形。中点四边形、等腰梯形性质。
圆： 点与圆的位置关系（ 与 比较），直线与圆的位置关系（相离、相切、相交），圆与圆的位置关系（圆心距与半径和/差）。
平面向量： 向量加法三角形法则、平行四边形法则；向量的模、平行向量。
图形变换： 轴对称（沿直线翻折重合）、中心对称（绕点旋转180°重合）、旋转（正多边形旋转后与自身重合的条件是旋转角为360°的约数）。
三角形、尺规作图： 角平分线、中垂线、等腰三角形构造。
☆ 知识总结表
类别 核心内容 常用公式/判定
数与式 实数分类、幂运算、二次根式 科学记数法：；最简二次根式条件
方程与不等式 不等式性质、判别式、换元法
函数 正比例、反比例、一次函数图象与性质 随 增大而增大/减小判定
统计与概率 平均数、中位数、众数、方差 方差越小越稳定
几何与图形 四边形、圆、向量、对称、旋转 两圆相交条件：
直击考场 ·典型考点精讲
考场一：（共6小题）
1．下列运算中，正确的是（　　）
A．m3+m3＝2m3 B．m3+m3＝m6 C．m3 m3＝m9 D．（m3）3＝m6
2．下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（　　）
A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2
3．下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C．y D．y
4．如图是某校体育组60人的某科成绩，下列说法中正确的是（　　）
A．中位数是21 B．中位数是75
C．众数是21 D．众数是85
5．在正方形ABCD中，||：||的值是（　　）
A． B． C． D．2
6．在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　）
A．2 B．5 C．8 D．10
考场二：（共6小题）
7．如果x＞y，那么下列正确的是（　　）
A．x+5≤y+5 B．x﹣5＜y﹣5 C．5x＞5y D．﹣5x＞﹣5y
8．函数的定义域是（　　）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＝3 D．x≠3
9．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0
10．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（　　）
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
11．四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（　　）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
12．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
考场三：（共6小题）
13．下列运算正确的是（　　）
A．a5÷a2＝a3 B．a3+a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．a
14．在分式方程5中，设y，可得到关于y的整式方程为（　　）
A．y2+5y+5＝0 B．y2﹣5y+5＝0 C．y2+5y+1＝0 D．y2﹣5y+1＝0
15．下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y D．y
16．如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（　　）
A．小车的车流量比公车的车流量稳定
B．小车的车流量的平均数较大
C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值
D．小车与公车车流量的变化趋势相同
17．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
18．已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC（a+b）；②AD，则下列说法正确的是（　　）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①②均正确 D．①②均错误
考场四：（共6小题）
19．8的相反数是（　　）
A．8 B． C．﹣8 D．
20．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
21．已知反比例函数y（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）
22．我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，小明和小红分别计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
23．下列说法正确的是（　　）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
24．有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n的值可能为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
模拟演练 · 新题型总结
1.下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2.如果函数y＝（k+1）x与的图象有公共点，那么下列k的值中，满足条件的是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3.解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（　　）
A．y2﹣2y﹣3＝0 B．y2﹣2y+3＝0 C．y2+2y﹣3＝0 D．y2+2y+3＝0
4.下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（　　）
A．上海市16个区的人口数
B．张爷爷连续7天定时测得的体温
C．九（3）班36个学生的体重
D．向阳菜市场15种蔬菜的价格
5.如图，坐标平面内圆A，已知圆A的半径为2，圆心A（5，4），下列直线中，与圆A相交，且被圆A所截得的弦最长的是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣x C． D．
6.如图，现有两个全等三角形，它们的三边长分别为3、4、5，将它们拼接成一个图形，拼接方式满足：（1）两个三角形间有一条等长边完全重合；（2）两个三角形拼接在等长边的两侧，那么共能拼接成形状不同的四边形的种数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7.下列实数中，无理数的是（　　）
A． B． C． D．0.00
8.下列运算中，正确的是（　　）
A．a3+a3＝2a3 B．2a3﹣a3＝2 C．a3 a3＝a9 D．（a3）3＝a6
9.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
10.下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（　　）
A． B． C．y＝x2﹣2 D．y＝2x﹣2
11.在平面直角坐标系xOy中，已知点M（8，6），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
12.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，连接AE，如果要求出∠CAE的度数，只需知道下列哪个角的度数（　　）
A．∠ABC B．∠ACB C．∠BAC D．∠AEC
13.下列实数中，比0小的是（　　）
A．（﹣1）2 B．﹣（﹣1） C．|﹣1| D．﹣1的倒数
14.下列函数，图象不是一条直线的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝1 D．y＝x
15.下列运算正确的是（　　）
A．a3 a3＝a9 B．a3+a3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）3＝a9
16.博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
17.在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了10次，球的落地位置如图所示．已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这10次成绩的方差的描述正确的是（　　）
A． B．
C． D．无法确定
18.如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为S．当扇面张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，如果，那么m与n关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
19.下列计算正确的是（　　）
A．x3 x3＝2x3 B．（x2）3＝x5
C．（﹣xy）4＝x4y4 D．x3+x5＝x8
20.全民阅读有助于提升国家和民族的精神力量．上海各区和高校都有开放型图书馆提供给市民，以下是其中四个图书馆标志，其图案（忽略文字部分）不是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
21.下列函数中，y的值随x的增大而减小的是（　　）
A． B． C． D．
22.在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，下列说法不正确的是（　　）
A． B． C． D．
23.某学校组织了一场体能测试，抽出50个人的成绩（分数）进行统计，结果如图所示．关于这50人的分数，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是15 B．众数是15
C．中位数是75 D．众数是85
24.如图，已知∠ABC＝60°，半径为1cm的⊙O与边BA、BC均相切，如果⊙O1与∠ABC的两边都相切，且与⊙O相交，那么⊙O1的半径长可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
25.下列各式中，的有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
26.已知氧原子的直径大约是0.00000014毫米，那么数据0.00000014用科学记数法表示是（　　）
A．0.14×10﹣8 B．0.14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣7
27.下列函数中，函数值y随着x增大而减小是（　　）
A．y＝﹣x2 B． C．y＝﹣x D．y＝﹣1
28.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，如果搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么红球的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
29.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，利用尺规作图，把它分成两个三角形，使其中一个三角形是等腰三角形．下列作图中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
31.下列实数中，比3小的无理数是（　　）
A． B． C．π D．
32.上海市2025年全年地区生产总值约为5.67万亿元，其中5.67万亿用科学记数法表示为（　　）
A．5.67×1010 B．5.67×1011 C．5.67×1012 D．5.67×1013
33.已知⊙O及其所在平面内的直线1，P为直线1上的一点，如果⊙O半径为3，且PO＝3，那么下列对直线l的表述不正确的是（　　）
A．直线1可能经过圆心O B．直线1可能与⊙O相交
C．直线1可能与⊙O相切 D．直线1可能与⊙O相离
34.在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6，6，7，5，6，那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（　　）
A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是6 D．方差是6
35.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形ABCD（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形
B．四边形ABCD的周长是
C．四边形ABCD的面积是6
D．∠ABC＝∠ADC＝45°

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