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安徽宿州市皖北十三校2025-2026学年高二下学期5月期中教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从甲地去乙地，可以乘船，也可以坐火车，还可以乘飞机，一天中，乘船有个班次，坐火车有个班次，乘飞机有个班次，则从甲地去乙地一天中不同的走法种数为( )
A. B. C. D.
2.已知，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
3.多项式展开后的项数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数若函数在上单调递减，则实数的最小值为 ( )
A. B. C. D.
5.展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，，则下列结论正确的是( )
A. 数列是公差为的等差数列 B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公比为的等比数列
7.已知随机事件，，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递减
B. 当时，取得极大值
C. 当时，取得极小值
D. 是在上的最大值
10.下列说法正确的是( )
A.
B. 被除的余数为
C. 甲、乙、丙、丁等人排成一排，甲、乙、丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有种排法
D. 现有本不同的书，分成三份，每份本，共有种分法
11.已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，，，则以下说法正确的是( )
A. B.
C. ，，成等差数列 D. ，，成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则的值为 ．
13.给如图所示的花圃中，，，四块区域种花，中间圆形区域不种花．现有种不同的花可供选择，每块区域种种花，且相邻区域种不同的花．则不同的种法总数为 ．
14.已知数列的前项和满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极大值为．
求，的值；
求函数在区间上的最大值．
16.本小题分
已知其中，，，，且展开式中仅有第项的二项式系数最大．
求值及二项式系数最大项；
求用数值作答；
求的值用数值作答．
17.本小题分
已知各项均为正数的等差数列满足，．
求的通项公式；
记，求数列的前项和．
18.本小题分
一个盒子中有个外形相同的小球，其中个白球，个黑球．从盒子中随机取出一个小球不放回，然后再从盒子中随机取出一个小球．
在第一次取到白球的条件下，求第二次取到黑球的概率；
在第二次取到黑球的条件下，求第一次取到白球的概率；
设表示两次取球取到白球的个数，求的分布列和均值．
19.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若在上有两个零点，求实数的取值范围；
若函数有两个极值点，，证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：，
依题意得，解得．
经检验，上述结果满足题意．
由得，
，
令，得或；
令，得，
的单调递增区间为和，的单调递减区间是，
，，又，
所以函数在区间上的最大值为．

16.解：因为 展开式中仅有第项的二项式系数最大，
当 为偶数时，仅有中间一项的二项式系数最大，即 ，所以 ，
故 ．
即 ，二项式系数最大项为第项： ；
令 ，得 ，
所以 ．
令 ，得 ，
令 ，得 ．
两式相加可得 ．

17.解：各项均为正数的等差数列满足，，
整理得，
由于，
所以，
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以．
解：由可得，
所以．

18.解：记事件为“第一次取到白球”，事件为“第二次取到黑球”，
由题意得，在第一次取到白球的条件下，盒子中剩余个小球，其中个白球，个黑球，
故所求概率为．
记事件为“第一次取到白球”，事件为“第二次取到黑球”。
由题意得，，，，
则，
则；
随机变量表示两次取球取到白球的个数，的可能取值为，，，
；
；
，
故的分布列为：
则．
19.时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增 因为有两个极值点，，
所以，有两个实数根，，
所以，可得，
设，将代入，得，
所以，
所以要证，只需证，即．
设，则．
令，则，可知在上为增函数．
又，所以时，，在上为增函数．
所以，即成立，所以成立
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