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山东烟台市芝罘区2025-2026学年高二第二学期期中学业水平诊断
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知离散型随机变量的期望，则( )
A. B. C. D.
3.某班名同学报名参加个社团活动，每位同学只能参加其中个社团，且每个社团招收人数不限，则这位同学可能的报名结果种数为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.关于的一组样本数据，，，，若由这组样本数据得到的经验回归方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.某单位在周一到周五的五天中安排人值夜班，每天安排人，每人值夜班至少次，至多次，且每个人均不在相邻两天连续值夜班，则该单位可能的值夜班安排种数为( )
A. B. C. D.
7.设，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，则( )
A. B. C. D.
8.设离散型随机变量的所有可能取值为，，，，，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 若服从标准正态分布，则
B. 若，则越小，正态密度曲线越“瘦高”
C. 若，且，则
D. 若，且，则
10.连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有，，，，，的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为”，表示事件“第二次正面朝上的点数为偶数”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为”，表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
11.某校举办象棋比赛，最终有甲、乙、丙、丁四名同学进入决赛，决赛的比赛规则为：四名同学进行单循环比赛即每名同学都要与其他各名同学进行一局比赛，每名同学胜一局得分，平一局得分，负一局得分，且每局比赛中，每名同学胜、平、负的概率均为若各局比赛结果相互独立，则在比赛结束时，下列结论正确的有
A. 甲同学积分为分的概率为 B. 甲同学胜局且乙同学胜局的概率为
C. 甲同学积分的数学期望为 D. 四名同学积分总和的方差为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.由数字，，，组成的没有重复数字的四位数中偶数的个数为 用数字作答．
13.的展开式中的系数为 ．
14.一个正八面体骰子，八个面分别标以数字，，，，，，，，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间设事件，事件，若事件满足，，，则满足条件的事件的个数为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
俗称“龙虾”是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具某单位为了解员工是否喜欢使用，对不同年龄段的名员工进行了调查统计，得到如下列联表：
年龄 是否喜欢使用 合计
是 否
不超过岁
超过岁
合计
完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用”与年龄有关联
若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过岁和不超过岁的员工中各随机抽取人，求这两人中至少有人喜欢使用的概率．
参考公式：，其中．
16.本小题分
某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所示：
机器编号
故障率
从这台机器中任取一台，求该机器故障率小于的概率
从表中故障率小于的机器中任取台，用随机变量表示其中故障率小于的机器台数，求的分布列和数学期望
以这台机器中故障率小于的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于的概率，现从工厂所有此类机器中随机抽取台，求其中至少有台机器故障率小于的概率．
17.本小题分
电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第个月到个月的充电桩的建成数量单位：千个如下表所示：
第个月
充电桩建成数量千个
根据表中数据，拟使用模型和模型对两个变量，进行拟合．
请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好；
根据的分析，选取拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第个月时，全市的充电桩建成数量．
参考公式：对于一组数据，其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
参考数据：，，令，，，；令，，，．
18.本小题分
已知甲盒中有个白球和个黑球乙盒中有个白球和个黑球，所有小球除颜色外完全相同定义一次“双向置换”操作：先从甲盒中随机取出个球放入乙盒，搅拌均匀后，再从乙盒中随机取出个球放入甲盒．
完成次“双向置换”后，求甲盒中恰有个白球的概率
若已连续完成次“双向置换”．
(ⅰ)求此时乙盒中白球个数的分布列和数学期望
(ⅱ)已知此时乙盒中有白球，求乙盒中恰有个白球的概率．
19.本小题分
一商场联合某商品生产商举行有奖竞猜活动，每次活动分为两轮，若顾客成功通过第一轮活动，则获得基础抵扣券，其中获得元的基础抵扣券的概率为，获得元的基础抵扣券的概率为，且须继续参加第二轮活动否则，不获得基础抵扣券，活动结束若顾客成功通过第二轮活动，则可获得元的进阶抵扣券两种抵扣券可叠加使用购买该商品，且每位顾客只能参加一次竞猜活动已知该商品每件的售价为元，原进货成本为元，商场承担所有抵扣券金额的，其余的由商品生产商承担．
若顾客成功通过第一轮活动的概率为，成功通过第二轮活动的概率为，记顾客购买一件该商品的实际支付金额为单位：元，求的分布列和数学期望
设顾客甲成功通过了第一轮活动，其成功通过第二轮活动的概率为，且顾客甲至多购买一件该商品假设顾客甲成功通过两轮活动后使用抵扣券购买该商品的概率为，记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望单位：元为顾客甲未成功通过第二轮活动使用抵扣券购买该商品的概率为，记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望为若，求的取值范围．
定义：毛利润期望顾客购买概率顾客实际支付金额的期望原进货成本商场承担的抵扣券成本的期望
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：列联表如下：
零假设为“是否喜欢使用”与年龄无关联．
根据列联表中的数据，得．
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即“是否喜欢使用”与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于．
由题意知：年龄超过岁的员工中喜欢使用的频率为，
不超过岁的员工中喜欢使用的频率为，
故这两人中至少有人喜欢使用的概率．
16.解：表中故障率小于的机器共有台，总机器数为台，
故所求的概率．
故障率小于的机器共有台，其中故障率小于的有台，
所以随机变量的所有可能取值为，，，，且服从超几何分布，
所以，，，，
故的分布列为
所以的期望．
由知，此类机器故障率小于的概率为，
从工厂中的全部机器总中随机抽取台机器，设为其中故障率小于的台数，
则，
故至少有台故障率小于的概率，
所以．
故至少有台故障率小于的概率为．
17.解：对于模型，令，代入公式得．
对于模型，令，代入公式得．
因为，所以的拟合程度更好．
，．
根据最小二乘估计，．
因此关于的经验回归方程为．
当时，代入得．
因此预测到第个月时，全市充电桩建成数量为千个．

18.解设“完成次双向置换后，甲盒中恰有个白球”为事件，
则．
设连续完成次双向置换后，乙盒中白球个数为随机变量，
则的所有可能取值为，，，，，
所以，
，
，
，
．
所以的分布列为
所以．
设“连续完成次双向置换后，乙盒中有白球”为事件，
“甲乙两盒完成次小球置换后，乙盒中有个白球”为事件，
则，
，
所以在乙盒中有白球的条件下，乙盒中恰有个白球的概率为．
19.解：由题知，的所有可能取值为，，，，
，
，
，
．
所以的分布列为
所以．
设顾客成功通过两轮活动后抵扣券金额为，支付金额为，
则，
．
则，
设顾客未成功通过第二轮时的抵扣券金额为，支付金额为，
则，
．
即，
若，即，即，
所以．
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