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第二十三章 一次函数
人教版2026·八年级下册
23.3 一次函数与方程、不等式
1. 理解并掌握一次函数与方程（组）、不等式的转化关系及其本质联系.(重点)
2. 能初步运用函数的图象解释方程（组）的解、不等式的解集，并能通过函数图象求方程（组）的解、不等式的解集，利用一次函数图象的性质，解决实 际问题.(难点)
3. 掌握用图象求解方程（组）、不等式的方法，进一步体会数形结合思想的应用.(难点)
素养目标
　　 今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”.
二元一次方程
一次函数
到我这里来
到我这里来
x + y = 5
这是怎么回事？ x + y = 5 应该坐在哪里呢？
情境导入
思考：如图，一次函数 y = 2x - 1 的图象与 x 轴交点的横坐标是 0.5.
当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是多少？
-1
-0.5
0.5
0.5
y = 2x - 1
一次函数 y = 2x - 1的图象与轴交点的横坐标为 0.5，纵坐标为 0.
这表明当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是 0.
新知探究
由此可以得出一元一次方程 2x - 1 = 0 的解吗
-1
-0.5
0.5
0.5
y = 2x - 1
从函数图象看：求一次函数 y = 2x - 1与 x 轴交点的横坐标.
从函数值看：当 y = 0 时，求 x 的值.
x = 0.5.
x 轴交点的横坐标为 0.5.
新知探究
求一元一次方程
kx + b = 0 的解
我们知道任何一元一次方程都可以转化 kx + b = 0 的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗
一次函数 y = kx+b
中，y = 0时 x 的值
从“函数值”看
求一元一次方程
kx + b = 0 的解
求直线 y = kx+b
与 x 轴交点的横
坐标
从“函数图象”看
归纳总结
-10
0
-10
5
0
1. 直线 y＝2x + 20 与 x 轴交点坐标为( ， )，这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____.
2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，则直线 y＝kx＋2 与 x 轴交点坐标为(____，_____).
跟踪训练
思考：如图，利用一次函数 y = 2x - 1 的图象，你能得出函数值大于 0 时 x 的取值范围吗？函数值小于 0 时呢？
-1
-0.5
0.5
0.5
y = 2x - 1
函数值大于 0 时，x 的取值范围是 x＞0.5；
函数值小于 0 时，x 的取值范围是 x＜0.5.
新知探究
思考：由此，你能分别得出一元一次不等式 2x - 1＞0 与 2x - 1＜0 的解集吗
从函数图象看：确定直线
y = 2x - 1 在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x 取值范围
从函数值看：当 y = 2x - 1的值大于(或小于) 0 时，求 x 的取值范围.
-1
-0.5
0.5
0.5
y = 2x - 1
2x - 1＞0，则 x＞0.5
2x - 1＜0，则 x＜0.5
新知探究
求 kx+b＞0(或<0)
(k ≠ 0)的解集
y = kx + b 的值
大于(或小于) 0
时，x 的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或＜0)
(k ≠ 0)的解集
确定直线y = kx + b
在 x 轴上方(或下
方)的图象所对应的
x 取值范围
从“函数图象”看
一次函数与一元一次不等式的关系
归纳总结
例1 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求：
解：作出函数 y = -3x + 6 的图象，如图所示，图象与 x 轴交于点 B(2，0).
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和
-3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3
新知探究
解：(1)由图象可知，不等式
-3x + 6 > 0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x < 2；
不等式 -3x + 6 < 0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即 x > 2；
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
(2) 由图象可知，当 x > 1 时，y < 3.
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3
新知探究
3. 已知一次函数 y = kx + b 的图象如图所示.
(1)关于 x 的方程 kx + b = 9 的解为　 ；
(2)关于 x 的不等式 kx + b < 9 的解集为　 .
x = -6
x > -6
跟踪训练
思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
二元一次方程
y = 2x - 1
用函数观点看
从式子（数）角度看：
一次函数
y = 2x - 1
二元一次方程
2x - y = 1
用方程观点看
有相同的解
新知探究
y = 2x - 1 对应一次函数 y = 2x - 1，它的图象是一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y) 都是方程 2x - y = 1 的解，以方程 2x - y = 1 的解 (x，y) 为坐标的点都在这条直线上.
一次函数y = 2x - 1
直线y = 2x - 1
二元一次方程 2x - y = 1
点的坐标满足函数解析式
满足函数解析式的数对为坐标画点
用函数观点看
用方程观点看
新知探究
思考：对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
2x－y＝l，
3x＋5y＝8，
分析：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数 y＝2x－l 与 方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标，因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.
新知探究
观察 在坐标系中分别画出两条直线 y＝2x－l 和 .
1.它们的交点坐标_____________.
2.方程组 的解
是____________.
这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解.
(1，1)
2x－y＝1，
3x＋5y＝8
y＝2x－l
新知探究
“数”的角度
“形”的角度
两个一次函数 y = k1x + b1 (k1≠0)，
y = k2x + b2 (k2≠0) 的自变量 x，y 的一组相同的值 二元一次方程组
的解
直线 y = k1x + b1 (k1≠0)，y = k2x + b2 (k2≠0)的交点坐标 (m，n)
二元一次方程组 的解为 x = m，y = n
一次函数与二元一次方程组的关系
新知探究
例 同时释放两个探测气球，1 号气球从距离地面 5 m 处出发，以 1 m/s 的速度上升；2 号气球从距离地面 15 m 高处出发，以 0.5 m/s 的速度上升．两个气球都上升了 1 min．
(1) 分别写出表示两个气球所在位置
的高度 y (单位：m) 与气球上升时间
x (单位：s) 的函数解析式．
(2) 两个气球在某时刻能否位于
同一高度？如果能，这时气球上升了
多长时间？位于什么高度？
h1
h2
新知探究P129
解：(1) 气球上升时间 x 满足 0≤x≤60.
(1) 分别写出表示两个气球所在位置的高度 y (单位：m) 与气球上升时间 x (单位：s) 的函数解析式．
对于 2 号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = 0.5x + 15.
对于 1 号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = x + 5.
新知探究
h1
h2
(2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
(2）两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于 x 的某个值 (0≤x≤60)，函数 y = x + 5 和 y = 0.5x + 15 有相同的值 y. 由此可以列二元一次方程组
y = x + 5，
y = 0.5x + 15
解这个方程组，得
x = 20，
y = 25.
这就是说，当气球上升 20 s 时，两个气球都距离地面 25 m.
新知探究
(2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
这两条直线的交点坐标为
(20，25)，这说明当气球上升 20 s 时，两个气球都距离地面 25 m.
o
5
10
15
20
25
30
y
5
10
15
20
A(20,25)
y = 0.5x + 15
y = x + 5
x
新知探究
观察函数图象，直接回答下列问题：
（1）在什么时候，1 号气球比 2 号气球高？
（2）在什么时候，2 号气球比 1 号气球高？
气球1 海拔高度：y = x + 5
气球2 海拔高度：y = 0.5x + 15
（1）20 s 后，1 号气球比 2 号气球高.
（2）0 ~ 20 s 时，2 号气球比 1 号气球高.
新知探究
例2 如图，求直线 l1 与 l2 的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线 l1 与 l2 的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
新知探究
解方程组
y = 2x + 2，
y = - x + 3，
解：因为直线 l1过点 (-1，0)，
(0，2) ，用待定系数法可求得
直线 l1 的解析式为 y = 2x + 2. 同理
可求得直线 l2 的解析式为 y = - x + 3.
即直线 l1 与 l2 的交点坐标为
新知探究
例3 如图，函数 y＝－x－1和 y＝ax＋4 的图象相交于点 P(m，－3).
(1) 求 m，a 的值；
解：把 P(m，－3 )代入 y＝－x－1 得，
－m－1＝－3，解得 m＝2，
∴点 P 的坐标为 (2，－3)，
∵函数 у＝ax＋4 的图象经过点 P，
∴ 2a＋4＝－3.
解得
x
O
y
P
A
B
y＝－x－1
y＝ax＋4
新知探究
(2) 根据图象，直接写出不等式 －x－1＞ax＋4 的解集.
由图象得，
不等式 －x－1＞ax＋4
的解集为 x＞2.
x
O
y
A
B
y＝－x－1
y＝ax＋4
P(2，－3)
新知探究
4. 如图，根据图中信息解答下列问题:
(1)关于 x 的不等式 ax + b > 0 的解集是　 　；
(2)关于 x 的不等式 mx + n < 1 的解集是　 　；
(3)当 x 为何值时，y1≤y2
(4)当 x 为何值时，0＜y2＜y1
解: (3) x≤1.
(4) 1＜x＜2.
x＜2
x＜0
新知探究
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值，即一次函数与________的横坐标
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大(小)于 0 时，求自变量的取值范围，即在_______________的图象所对应的 x 取值范围
解二元一次方程组 求对应两条直线____________
x 轴交点
x 轴上方 (或下方)
交点的坐标
课堂小结
1． 已知函数y＝ax－b的图象如图所示，则关于x的方程ax－b＝0的解是（　C　）
A. (－2，0)
B． (0，－3)
C． x＝－2
D． x＝－3
C
当堂反馈
2． 观察函数y＝－2x＋4的图象，下列说法中不正确的是
（　A　）
A. 当y＝4时，x＝2
B． 当x>2时，y<0
C． 当x＝2时，y＝0
D． 当x<2时，y>0
A
当堂反馈
3． 如图，直线y＝－2x＋1与直线y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
交于点A(-2，5)，则关于x的不等式－2x＋1（　C　）
A． x>－1 B． x<－2
C． x>－2 D． x<－1
C
当堂反馈
4． 如图，一次函数y＝ax＋b和正比例函数y＝kx交于点P(-4，-2)，则关于x的方程ax＋b＝kx的解为 ．
x＝－4
当堂反馈

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