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四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（七）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.设，则“”是“”的 ．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为和，则它的高为( )
A. B. C. D.
6.已知数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.已知是内的一点，且，若，和的面积分别为，，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.若定义在上的奇函数满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若样本数据，，的方差为，则数据的方差为
B. 若，，，则
C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和
D. 在一组样本数据，，，，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
10.已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于两点，若，，则( )
A. B.
C. 的渐近线方程为 D. 的面积为
11.在棱长为的正方体中，则下面结论中正确的是( )
A. 存在，使得平面平面
B. 是平面的充要条件
C. ，分别是在平面，平面上的投影图形的面积，对任意，都有
D. 任意，的面积不等于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个等比数列的前项的和等于，前项的和等于，则这个数列的公比为 ．
13.已知函数，过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 ．
14.已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正三棱柱中，、分别是棱、的中点，且．
求证：直线平面；
求点到平面的距离．
16.本小题分
已知抛物线，直线当时，与有且仅有一个交点．
求的方程
若与交于两个不同的点，，设的中点为，过点平行于轴的直线与交于点，求．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
若存在最小值，且最小值小于，求的取值范围．
18.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中，
(ⅰ)求的最小值；
(ⅱ)当最小时，求的值．
19.本小题分
某科研团队研发的两款围棋机器人星，翼进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局．
当时，两款机器人共进行局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望；
若两款机器人共进行且局比赛，记事件表示“在前局比赛中星赢了局”事件表示“星最终获胜”求的值；
若两款机器人共进行了局比赛，星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星获胜的概率记为证明：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.如图，连接，
正三棱柱中，是正三角形，侧面均为矩形，平面．
因为是棱的中点，所以，
因为平面，所以平面平面．
又平面平面，所以平面．
又平面，所以B.
因为，所以矩形为正方形，所以，
又，所以，
因为，平面，，所以直线平面
16.解：当时，
联立，得．
因为与有且仅有一个交点，
所以，
解得．
所以的方程为．
联立，
得．
因为与交于不同的两点，
所以，即．
设，，
则，
因为，
所以，．
．
．
所以．
17.解：由题意得，函数的定义域为。对求导，得。
当时，因为，所以，则。故函数在上单调递增。
当时，令，即，解得。
当时，，则，函数单调递减；
当时，，则，函数单调递增。
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增。
由可知：
当时，在上单调递增，无最小值，不符合题意。
当时，在处取得极小值，也是最小值，即。
依题意，，即。
设，则需解不等式。
对求导，得。
令，则。令，得。
当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
故，
所以在上恒成立，即在上单调递增。
又因为，所以当时，。
综上，的取值范围是。
18.解：在中，因为，
所以，
代入得到，
由正弦定理得，
由余弦定理得，化简得，
又，，
所以
因为，所以，所以，
如图，建立平面直角坐标系
此时，，，设，，因为，所以，
设，代入得，整理得，解得，
，当且仅当取得等号，
又因为，当且仅当取得等号，
所以的最小值为
此时，所以直线，，
所以直线，
联立，解得，
此时，，
所以．
19.解：两款机器人共进行局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值可能的取值有，
则，
，
，
的分布列为
数学期望．
在前局比赛中星赢的局数时，第局全胜，最终也无法获胜，所以；
当时，仅当第局全胜，最终才能赢得比赛，即；
当时，第局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即；
当时，无论第局什么结果，都能最终赢得比赛，即；
综上所述，．
由全概率公式可知

所以，
当时，，
又因为
，
因为，所以，即

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