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北京市朝阳区2025-2026学年高三年级第二学期质量检测二数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，各项系数的最大值是( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，点为线段的中点，，，则( )
A. B. C. D.
6.设，则“”是“函数的图象关于直线对称”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.某圆锥的轴截面通过轴的平面所得到的截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
8.某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，已知，则电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加( )参考数据：
A. B. C. D.
9.设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为( )
A. B. C. D.
10.在四面体中，，平面且平面，给出下列三个结论：
若，则；
若，则；
若，则．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.顶点在原点，关于轴对称，且过点的抛物线的标准方程是 ．
12.已知直线与圆交于两点；能使为锐角的的一个取值为 ．
13.已知函数若对任意实数都有，则的最小值为 ．
14.数术记遗是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制自乘：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即亿万万兆亿亿京兆兆，以此类推．若按“上数”进制，记第个大数第个为亿，第个为兆，第个为京，，第个为载对应的数值为，则 ；若，则正整数的最小值为 ．
15.已知函数给出下列四个结论：
曲线是中心对称图形；
当时，曲线在曲线的上方；
当时，；
设正实数分别是的零点，则．
其中正确结论的序号是
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，，．
求的值；
已知的面积为，求的周长．
17.如图，在多面体中，四边形为正方形，且平面．
求证：；
若，再从条件、条件、条件中选择一个作为已知，使得多面体唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值．
条件：；
条件：直线与平面所成角为；
条件：的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表：
过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏
城区
郊区
用频率估计概率．
从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率；
从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率；
该市疾控中心规定过敏程度评分如下表：
过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏
过敏程度评分
该市疾控中心对该市、两个地区同步开展调查，已知地区与地区青少年人数之比为：，地区青少年的过敏程度平均评分为，地区青少年的过敏程度平均评分为疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后地区青少年的过敏程度平均评分降低了地区青少年的过敏程度平均评分不变．记为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后该市青少年的过敏程度平均评分，直接写出的最小正整数值．结论不要求证明
19.已知椭圆的长轴长与短轴长之和为，焦距为．
求椭圆的方程；
设为原点，点分别为椭圆上位于第一象限，第二象限内的点，且当点满足时，求证：点在椭圆上．
20.已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求满足的的取值范围；
当时，判断曲线上是否存在两个不同的点关于点对称，并说明理由．
21.已知无穷数列的各项均为正整数，无穷数列满足以下性质：
；
若，求；
证明：；
是否存在大于的正整数，使得成立？说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：，，
两式相除得，由正弦定理得，
即，又，故，所以，
又，解得，
，故；
的面积为，即，
又，所以，
由知，
由余弦定理得，
解得，
故的周长为．

17.解：因为四边形为正方形，所以．
因为平面，平面，所以．
因为，所以共面．
又，平面，所以平面
因为平面，所以．
四边形为正方形，且平面所以易得两两垂直．
选条件
以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由得：，
由，设．
由，得恒成立．
此时多面体并不唯一确定，因此条件无效．
选条件
以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由得：，
由，设，所以
直线与平面所成角为，易得平面的一法向量为．
故，解得舍去负值，
设平面的法向量向量，．
由法向量定义得方程组：，．
解得，取，则．
求平面的法向量．
向量，．
由法向量定义得方程组：，．
令，则，，即．
设平面夹角为，则．
平面与平面夹角的余弦值为
选条件
以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由得：，
由，设，
所以，
，
解得舍去负值
设平面的法向量向量，．
由法向量定义得方程组：，．
解得，取，则．
求平面的法向量．
向量，．
由法向量定义得方程组：，．
令，则，，即．
设平面夹角为，则．
平面与平面夹角的余弦值为

18.解：由题意得，
解得，
从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率为；
频率估计概率，
该市城区青少年春季花粉“无过敏”的概率为，
该市郊区青少年春季花粉“无过敏”的概率为，
各随机抽取人，
抽到的城区青少年中恰有人“无过敏”且郊区青少年两人均不是“无过敏”的概率为
，
抽到的郊区青少年中恰有人“无过敏”且城区青少年两人均不是“无过敏”的概率为
，
估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率为；
的最小正整数值为，理由如下：
由题意得，
解得，
的最小正整数值为．

19.解：由题意得：，解得，，所以椭圆的方程为．
设点，由向量关系，得的坐标为：，，
要证点在椭圆上，只需证，展开计算：
因为点在椭圆上，故，
同理，代入得：，
接下来证明：
由题，代入点的椭圆方程得： ，
又点满足，故。由点在第一象限得，点在第二象限得，
故，将代入得： ．
因此满足椭圆方程，故点在椭圆上，得证．

20.解：当时，，所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
若，由，可得，
令，，所以有两个正根，
记两正根为，且，
当，，所以在上单调递增，
当，，所以在上单调递减，
当，，所以在上单调递增，
所以函数至多三个零点，又，
，，
所以函数有三个零点，所以且，
所以满足的的取值范围为；
曲线上不存在两个不同的点关于点对称，理由如下：
设曲线上是否存在两个不同的点关于点对称，
即关于点对称，所以，
所以有解，
所以在上有解，
所以，即，
令，因为，所以，
即在上有解．
令，求导得，
因为，所以，所以，所以在上单调递增，
所以，所以在上无解，
故曲线上不存在两个不同的点关于点对称．

21.解：，
．
因为，所以．
已知各项为正整数，．
根据的取值分类讨论：若，．
当：，
若则；
若则．
当：，
若则；
若则．
若，．
当：，同理可得．
当：，
若则；
若则．
综上，．
不存在理由如下：
首先证明：若且，则必有
用归纳法：
当时，，，，故．
假设对某个结论成立考虑时，若：
若：由归纳假设，且，于是
若：则
故若，则，归纳成立．
现归纳证明对所有有：
，
设对某有，考虑：
若：．
若：则．
若：
若：，因为为整数，故
综上．

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