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福建省厦门市2026届高中毕业班适应性练习数学学科试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知是等差数列的前项和，若，则的公差为( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线：的焦点为，点在上，则( )
A. B. C. D.
4.随机变量的分布列为，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
6.某工厂的产量单位：件与资本投入单位：万元、劳动投入单位：人满足柯布道格拉斯生产函数其中，，为常数在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升，资本投入需增加，则该工厂资本产出的弹性系数约为 参考数据：，
A. B. C. D.
7.已知为椭圆：上的动点，，为圆上的两个动点，若的最大值为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，，，则( )
A.
B.
C. 是图象的一条对称轴
D. 的图象向左平移个单位长度得到的图象关于原点对称
10.某校有学生人，其中男生人，女生人为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间单位：分钟，绘制成如下两个频率分布直方图，则( )
A.
B. 样本中男生阅读时间的中位数低于分钟
C. 样本中阅读时间在分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多
D. 用样本估计总体，全校学生中阅读时间在分钟以上的约有人
11.已知，，，，均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则( )
A. B.
C. 中所有元素的平均数为 D. 中所有元素的和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中所有项的系数之和为，则此展开式中常数项为 ．
13.写出一个同时满足下列性质的函数 ．
定义域为；
；
．
14.在梯形中，，，为上一点，，将沿所在直线翻折成如图所示．上一点满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若为的中点，，的面积为，求．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，，过点，的平面与直线垂直．
作出截此三棱柱所得的截面，请写出作图过程并说明理由；
已知，求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知定直线：，点在右侧，且到的距离与到的距离之比为，记其轨迹为曲线．
求的方程；
过与轴垂直的直线交于，两点，过的直线交于，两点若四边形的面积为，求的方程．
18.本小题分
某棋类游戏有不同规格的地图，规格为的地图共有个格子，编号为，，，，，如下图所示．
游戏规则如下：
玩家首先选定地图规格，并获得枚金币，棋子位于起点号格子；
玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过时，棋子向前跳格；否则，向前跳格；如此重复操作直至游戏成功或失败；
每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除枚金币当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励元
若选定规格为的地图，求游戏成功的概率；
若选定规格为的地图，求棋子落到号格子且游戏成功的概率；
为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图？
19.本小题分
已知函数，其中．
当时，求在处的切线方程；
已知．
求的取值范围；
记的极值点为，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 答案不唯一
14.
15.解：因为，
所以根据正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，因为，所以，
所以，所以，
所以，解得或，
又，所以；
若为边上的中点，则，
所以，
又，所以，所以
因为的面积为，所以，所以，
所以，
由余弦定理可得，
所以．

16.解：取的中点为，连接，，则平面为平面．
因为，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，平面为平面
在三棱柱中，，
因为，所以，
在中，因为，所以，
由得，所以，
所以，所以，
所以，，两两互相垂直．
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则所以取，则．
，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．

17.解：设，
因为到的距离与到的距离之比为，所以，
两边平方可得，所以，
所以，所以，
所以的方程为；
由题意可知的方程为，代入的方程可得，
由题意的斜率存在，所以设直线的方程为，
联立，可得，
设，所以
所以或，
所以
，
因为为的中点，所以，所以，
所以，整理得，解得舍去或，
所以，所以的方程．

18.解：由题意得，向前跳格概率为，向前跳格为，
时，游戏失败只有和两格均落到和不落到号格且从号格直接落到号格，
落到号格概率为，从号格到号格概率为，
不落到号格且落到号格概率为，从号格直接落到号格概率为，
故失败的概率为，
所以成功的概率为；
因为号格为非零偶数格，所以棋子在落到号格子前不能落到非零偶数格上，
所以路线为共 次跳格，次跳格，
所以棋子落到号格子且游戏成功的概率为；
设“游戏结束时，余下的金币数量”，则，
；
时，棋子路径有种情况：
，其概率为；
，其概率为；
棋子落到第号格处且成功，共有种路径，
，
每条路径概率相等且每条路径概率为，
，
总成功概率，
设收益为，则的分布列为
，
令，即，解得，
，所以故 时期望最大，期望最大的地图规格为．

19.解：解：当时，，定义域为，，
所以，，
所以，在处的切线方程为：，即
解：，要使函数有意义，则，即，
所以，当时，的定义域为；当时，的定义域为，
下面分情况讨论：
当时，的定义域为，，
当时，，故，
所以，
又，与恒成立矛盾，故时不满足题意；
当时，的定义域为，，
因为函数，在上均为单调递增函数，
所以在上单调递增，
因为时，；时，，
所以，存在唯一实数，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，在处取得极小值，也是最小值．
故要使成立，只需成立即可，即，
因为，所以，
所以，
由得，
将代入得，
变形并整理得，
令，则，所以，
令，则在恒成立，
所以在上单调递减，
又，所以，所以，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，所以
因为，所以
综上，的取值范围为
由知，，，
所以
，
由知，，则，
所以，
令
则
令，易知函数为上单调递增函数，
因为，，
所以，存在使得，即，
此时，当时，；当时，，
所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，函数在处取得极大值，也是最大值，
即
令，在上恒成立，
所以在单调递增，
因为，所以
因为，所以，所以，
所以，证毕．

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