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2026 北京昌平高三二模
数 学
本试卷共 5 页，共 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1. 已知集合 A = { 2, 1,0,1,2} ， B ={x | 0 x 2}，则 A B =（ ）
A. { 2, 1,2} B. {0,1}
C. {x | 0 x 2} D. {x | x 0 或 x 2}
1+ 2i
2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）
i
A. (2, 1) B. ( 1, 2)
C. ( 2, 1) D. ( 1, 2)
n
3. 在 (2 x) 的展开式中，所有二项式系数的和为32，则 x3的系数为（ ）
A. 80 B. 40
C. 40 D. 80
4. 设 1 x 0 y 1，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A. log2 x log2 y 0 B. ( )
x ( ) y 0
2 2
x2 y2C. 0 D. sin x sin y 0
1 ex
5. 已知函数 f (x) = ，则 f (x) 是（）
1+ ex
A. 偶函数，且在 (0,+ )上是增函数 B. 奇函数，且在R 上是增函数
C. 偶函数，且在 (0,+ )上是减函数 D. 奇函数，且在R 上是减函数
π π
6. 设函数 f (x) = sin( x + ) （ 是常数， 0 ），若 f (x) 在区间[ ,π]上单调递减，则 的取值范围是
6 2
（ ）
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2 2 4
A. 0, B. ,
3

3 3
4 2 4
C. 0, D. ,
3 3 3
7. 已知抛物线C：y
2 = 2px ( p 0)的焦点为 F ，过点 F 的直线 l与抛物线C交于不同的两点 A,B，且与
准线交于点D . 若点 B为线段 AD的中点， | BF |= 2 ，则 p的值为（ ）
4
A. B. 2
3
8
C. D. 4
3
8. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点M ,N 分别是棱 AD,DD1的中点，点 P在正方体
ABCD A1B1C1D1的表面上运动，且 AP / / 平面 BMN . 则线段CP的最小值为（ ）
3 2
A. B. 3
2
C. 5 D. 2 2
ax2 2x +1, x a
9. 设a R ，函数 f (x) = 有最大值的一个充分不必要条件是（ ）
ax +1, x a
1 1
A. a 1, B. a [ ,0]
2 2
C. a [ 1,0) D. a [ 2,0)
4an 2
10. 已知数列 a 满足 an+1 = (n =1,2,3, )n ，则（ ） an +1
A. 当 a 为常数列时， a1 =1n
B. 对于任意a1 0， an 为递减数列
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C. 当1 a1 2 时， an 为递增数列，且对于任意正整数 n， a 2n 成立
D. 当a1 = 3时， an 为递减数列，且存在正整数 n，使得 a 2n 成立
第二部分 非选择题 共（110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 双曲线 2x2 y2 = 4 的实轴长为_________ .
π π
12. 在平面直角坐标系 xOy中，角 与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 y轴对称，若 ,6 3
，则

tan 的最大值为___________.

13. 已知向量 a,b 满足 a = 2 ， b =1 ，且 (a + 2b ) ⊥ a ，则 a 与 b 夹角的大小为 _________；

cos a b,a = __________.
2 2
14. 已知圆C : x + y 4x 6y +11= 0，则圆C的半径为_______；若直线 l : y = kx + 2 上存在点 P，使
得过点 P向圆引的两条切线互相垂直，则 k的取值范围为_________.
x 1
15. 设函数 f (x) =| e 1| mx m ，给出下列四个结论：
2
①当m = 0时， f ( x)恰有 2 个零点；
②存在正数m，使得 f (x) 恰有 1 个零点；
③存在负数m，使得 f ( x)恰有 2 个零点；
④存在负数m，使得 f (x) 恰有 3 个零点.
其中所有正确结论的序号是_________________ .
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
2b 3c cosC
16. 在△ ABC中， = .
3a cos A
（1）求 A；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 ABC存在且唯一确定，求a
的值．
b 3 3
条件①：△ ABC的面积为3 3 ， = ；
c 4
2 7
条件②：b = 3 3 ， sinC = ；
7
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3 3 21
条件③：AB边上的高为 ， cosC = ．
2 7
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
17. 如图，在五面体 ABCDEF 中，平面 ADE ⊥平面 ABCD，底面 ABCD是边长为 2 的正方形，G 为CD
的中点， EF =1， AE = DE = 5 .
（1）求证：CF // 平面 AEG；
（2）求平面 AEG与平面 AED夹角的余弦值.
18. 为了培养学生的 AI应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学校开展了人工智能课程.为了解该
校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表：
非常感兴趣 一般感兴趣 不感兴趣 合计
小学 20 人 40 人 40 人 100 人
初中 50 人 30 人 20 人 100 人
合计 70 人 70 人 60 人 200 人
假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响. 用频率估计概率.
（1）从该校初中生中随机抽取 3 名同学，估计这 3 名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”的概
率；
（2）规定：每名“非常感兴趣”的学生记 5 分，每名“一般感兴趣”的学生记 3 分，每名“不感兴趣”的学生记
1 分. 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中抽取了 10 人，
再从这 10 人中随机抽取 2 人．记 X 为这 2 人的得分之和，求 X 的分布列和数学期望；
（3）记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为 x1, x2 , x3，其方差为
s2 21 ；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为 y1, y2 , y3 ，其方差为 s2 ；
x 21, x2 , x3 , y1, y2 , y3 的方差为 s ．写出 s
2 , s2 , s23 1 2 3 的大小关系．结论不要求证明.
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x2 y2
19. 设椭圆C : + =1(a 3) 的左焦点为 F ，右顶点为 A，上顶点为 B，直线FB与 AB的斜率的乘
a2 3
3
积为 .
2
（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）过点P(1,0)的直线 l交椭圆C于M ,N 两点，求FM FN 的取值范围.
x 2
20. 已知函数 f (x) = e x ax， a R .
（1）若曲线 y = f (x)在点 (0, f (0))处的切线与直线 x + 2y 1= 0 垂直，求a的值；
（2）若 f ( x)在R 上单调递增，求 a的取值范围；
（3）若 f (x) 有两个不同的极值点 x1, x2 ，求证：
x x
e 1 + e 2 4 .
21. 对于非空集合 A,B，定义变换 (A,B) ={a + b | a A,b B}， A,B, (A,B) 中元素的个数分别记为
card(A) ， card(B)， card( (A,B)) .
（1）设集合 A = 1,1,3 ,B = 1,2,4 ，直接写出 card( (A, A)) ， card( (B,B)) ， card( (A,B)) 的值；
i
（2）设集合 An ={2 | i = 0,1,2, ,n 1}(n N
*) , (An , An ) 中所有元素的和记为 an ，求数列{an}的通项
公式；
（3）设集合 A与 B同时满足下列两个性质：
① A,B, (A,B) {x N | x 2026}，且 A B = ；
② card(A) = card(B) = m且 card( (A,B)) = 2m 1，其中m N* .
求m的最大值.
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）B （2）A （3）B （4）D （5）D
（6）B （7）C （8）A （9）A （10）C
二、填空题（共 5 小题，每小题 5分，共 25 分）
3 3π 3 10
（11） 2 2 （12） （13）
3 4 10
3
（14） 2 [ ,+ ) （15）①③④
4
（第（13）、（14）题第一空３分，第二空２分；第（15）题答对一个给 3 分，答对二个给 4 分，答对三
个给 5 分，错答得 0 分。）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
a b c
解：（Ⅰ）由正弦定理 = = 及 2b 3c cosC= ， ……1 分
sin A sinB sinC 3a cos A
得 2sin B 3 sinC cosC= . ……2 分
3 sin A cos A
整理得 2sin Bcos A 3 sin AcosC 3 cos AsinC ……3 分
3 sin(A C)
因为 A B C π，
所以 sin(A C) sin B .
所以 2sin Bcos A 3 sin B . ………………4 分
因为在△ABC中， sin B 0 ，
3
所以 cos A . ………………5 分
2
因为 A (0, π)，
π
所以 A . ………………6 分
6
（Ⅱ）选条件①： 的面积为 ， b 3 3△ABC 3 3 = .
c 4
π 1
由（Ⅰ）知 A ，又由题知 S△ABC bcsin A 3 3 ， ……………7 分
6 2
所以bc 12 3 . ……………8 分
b 3 3
因为 ，
c 4
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所以 b 3 3 ， c 4 . ………………10 分
2 2 2 3
由余弦定理得 a = b + c 2bccosA = 27 +16 2 3 3 4 = 7， ……12 分
2
所以 a 7. ………………13 分
3 3
选条件③：AB边上的高为 ， 21cosC = ．
2 7
21
因为 cosC = ，C (0, π)，
7
2 7
所以 sinC = . ………………8 分
7
因为 A + B +C = π ,
1 21 3 2 7 3 21
所以 sin B = sin(A +C) = sin AcosC + cos AsinC = + = . ……11 分
2 7 2 7 14
3 3
因为 AB边上的高为 ，
2
3 3
所以 asin B . …………12 分
2
所以 a = 7 . …………13 分
（17）（共 13 分）
解：（Ⅰ）在五面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是正方形，
所以 AB //CD . ………1 分
因为CD 平面 ABFE， AB 平面 ABFE，
所以CD // 平面 ABFE . ………2 分
因为CD 平面CDEF ，平面 ABFE 平面CDEF = EF ，
所以CD // EF . ………3 分
因为G为CD中点，CD = 2，
所以CG = EF =1 .
所以四边形 EFCG是平行四边形.
所以 EG //CF . ………4 分
因为CF 平面 AEG， EG 平面 AEG，
所以CF // 平面 AEG . ………5 分
（Ⅱ）取 AD的中点O，作ON // AB，ON BC = N .
因为 ABCD 为正方形，
所以ON ⊥ AD .
因为 AE =DE，
所以OE ⊥ AD .
因为 AE = 5 ，OA =1，
所以OE = 2 . ………7 分
因为平面 ADE ⊥平面 ABCD ，平面 ADE 平面 ABCD = AD，OE 平面 ADE，
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所以OE ⊥平面 ABCD . ………8 分
所以OE ⊥ON .即OE ,ON ,OA两两互相垂直.
如图建立空间直角坐标系O xyz ，则
O(0,0,0), A(1,0,0),G( 1,1,0),E(0,0,2),N (0,2,0) .
因此 AG = ( 2,1,0), AE = ( 1,0,2) ，平面 ADE的法向量ON = (0,2,0) . ………10 分
设平面 AEG的法向量为 n = (x, y, z) . 则
n AG = 0, 2x + y = 0,
即
n AE = 0. x + 2z = 0.

令 z =1，则 x = 2，y = 4 . 于是n = (2,4,1) . ………11 分
设平面 AEG与平面 AED夹角为 ，则
| n ON | 8 4 21
cos =| cos n,ON |= = = . ………13 分
| n ||ON | 2 21 21
（18）（共 14 分）
解：（Ⅰ）根据题中数据可知，100 名初中生中有 50 名学生“非常感兴趣”， ………1 分
50 1
所以从该校初中生中随机抽取1名同学对课程“非常感兴趣”的概率估计为 = .
100 2
………2 分
设这 3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”为事件 A，则事件 A的概率可估计为
2 1 2 1 1 3 1 1C3 ( ) ( )
1 + ( )3 = + = . ………5 分
2 2 2 8 8 2
（Ⅱ）根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，从样本中的小学生中抽取了10 人，则“非常感兴趣”、
“一般感兴趣”、“不感兴趣”的人数分别为 2,4,4 . ……6 分
所以 X 的可能取值为 2,4,6,8,10 . ……7 分
C2 2 C
1C1 16
则 P (X = 2) = 4 = ； P (X = 4) = 4 4 = ；
C2 15 2 4510 C10
C2 +C1C1 C1C114 8
P (X = 6) = 4 2 4 = ； P (X = 8) = 2 4 = ；
C2 4510 C
2 45
10
C2 1
P (X =10) = 2 = . ………9 分
C2 4510
所以随机变量 X 的分布列为
X 2 4 6 8 10
2 16 14 8 1
P
15 45 45 45 45
2 16 14 8 1 26
故期望 E (X ) = 2 + 4 + 6 + 8 +10 = . …11 分
15 45 45 45 45 5
（Ⅲ） s2 2 21 s3 s2 . ………14 分
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（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）由题意可得右顶点 A(a,0) ，上顶点 B(0, 3)，设左焦点 F ( c,0) .
3
因为 kFB kAB = ，
2
3 3 3
所以 = ，即 ac = 2 . ……………2 分
c a 2
因为 a2 = b2 + c2 ，
所以 a = 2，c =1 .
x2 y2 1
椭圆C 的方程为 + =1，离心率为 . ……………6 分
4 3 2
（Ⅱ）由题可知 F ( 1,0) .
3 3
当直线 l斜率不存在时，M (1, ),N (1, ) ，
2 2
3 3 7
所以 FM FN = (2, ) (2, ) = . ……7 分
2 2 4
当直线 l斜率存在时，设斜率为 k ，
则直线 l的方程为 y = k(x 1) . ……8 分
y = k(x 1),
由 可 得
3x
2 + 4y2 =12
(3+ 4k 2 )x2 8k 2x + 4k 2 12 = 0 .
= ( 8k 2 )2 4(3+ 4k 2 )(4k 2 12) =144(k 2 +1) 0 .
设M (x1, y1),N (x2 , y2 ) . 则
8k 2 4k 2 12
x1 + x2 = , x1x2 = . ……………10 分
3+ 4k 2 3+ 4k 2
因为 FM = (x1 +1, y1),FN = (x2 +1, y2 ) ， ……………11 分
所以 FM FN = (x1 +1, y1) (x2 +1, y2 )
= x1x2 + (x1 + x2 ) + y1y2 +1
= x1x2 + (x
2
1 + x2 ) + k (x1 1)(x2 1) +1
= (k 2 +1)x1x2 + (1 k
2 )(x + x 21 2 ) + k +1
4k 2 12 8k 2
= (k 2 +1) + (1 k 2 ) + k 2 +1
2 2 ………12 分 3+ 4k 3+ 4k
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7k 2 9
=
4k 2
+ 3
57
7
= 4 . ……………13 分
4 4k 2 + 3
2 1 1因为 k 0 ，所以0 .
4k 2 + 3 3
57
7 7
所以 3 4 .
2 ……………14 分 4 4k + 3 4
7
综上所述， FM FN的取值范围为[ 3, ]. ……………15 分
4
（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x) = ex x2 ax，
所以 f (x) = ex 2x a . ……………1 分
所以 f (0) =1 a . ……………2 分
因为曲线 y = f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 x + 2y 1= 0 垂直，
所以1 a = 2 . ……………3 分
所以 a = 1 . ……………4 分
（Ⅱ） f (x) = ex 2x a .
因为函数 f (x) 在R 上单调递增，
所以 f (x) 0在R 上恒成立.
x
即 a e 2x在R上恒成立. ……………5 分
设 g(x) = e x 2x .
则 g (x) = e x 2 . ……………6 分
e x令 2 = 0 ，解得 x = ln 2 .
当 x ( , ln 2) 时， g (x) 0 ， g(x) 单调递减；
当 x (ln 2,+ )时， g (x) 0 ， g(x) 单调递增. ……………7 分
g(ln 2) = eln 2 2ln 2 = 2 2ln 2 .
所以 g(x) 的最小值为 2 2ln2 . ……………8 分
所以 a的取值范围为 ( ,2 2ln 2] . ……………9 分
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（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当 a (2 2ln 2,+ ) 时，函数 f (x) 有两个不同的极值点 x1, x2 ，不妨设 x1 x2 .
所以 x1, x
x
2 是方程 e 2x a = 0的两个解. 即
x
e 1 2x1 a = 0 ，
x
e 2 2x2 a = 0 . ……………10 分
所以 x xe 2 e 1 = 2(x2 x1) .
设 t = x2 x1 0 ，则 x2 = x1 + t .
所以 x1+t x xe e 1 = 2t，即 e 1 (et 1) = 2t .
x 2t所以 e 1 = . ……………11 分
et 1
x x +t x 2te
t
所以 e 2 = e 1 = e 1et = .
et 1
x 2t 2te
t 2t(et +1)
所以 e 1 x+ e 2 = + = . ……………12 分
et 1 et 1 et 1
t
x x t(e +1)
所以要证 e 1 + e 2 4，只需证：对任意 t 0， 2 .
et 1
设 h(t) = t(et +1) 2(et 1) ，
则 h (t) = et (t 1) +1， h (t) = tet .
因为当 t 0时， h (t) 0 ，
所以 h (t) 在 (0,+ ) 上单调递增. ……………13 分
因为 h (0) = e0 (0 1) +1= 0，
所以 h (t) h (0) = 0 .
所以 h(t) 在 (0,+ ) 上单调递增. ……………14 分
所以 h(t) h(0) = 0(1+1) 2(1 1) = 0 .
所以 t(et +1) 2(et 1) 0 .
t(et +1)
即 2 成立.
et 1
所以 xe 1 x+ e 2 4 . ……………15 分
（21）（共 15 分）
解：（Ⅰ） card( (A, A)) = 5 ； card( (B,B)) = 6 ； card( (A,B)) = 7 . ……3 分
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（Ⅱ）由 An ={2
i | i = 0,1,2, ,n 1}(n N ) ,得 (An , An ) ={2
i + 2 j | i, j = 0,1,2, ,n 1} .
i, j, i , j {0,1,2, ,n 1}，
若 2i + 2 j = 2i + 2 j ，则 2i 2i = 2 j 2 j .
①当 i = i 时, j = j ；同理，当 j = j 时, i = i .即 i = i 与 j = j 同时成立.
i i , i i ,
②当 i = i 与 j = j 都不成立时，必有 或 两者之一成立.
j j. j j.
i i ,
不妨设 则 i i i j j 2 (2 1) = 2 (2
j 1) .
j j.
所以 i = j且 i i = j j .
所以 i = j且 i = j .
所以 (An , An ) ={2
i + 2 j | 0 i j n 1, i, j }(n N N ) .
所以所求数列{an}的通项公式为
a = (2i + 2 j ) = (n +1)(20 + 21 + 22 + + 2n 1) = (n +1)(2n 1),n Nn . …………9 分
0 i j n 1
（Ⅲ）设集合 A ={a1,a2 , ,am}， B = {b1,b2 , ,bm}，其中 a1 a2 am，b1 b2 bm，
则 (A,B) ={ai + b j | i, j =1,2,3, ,m}.
所以 a1 + b1 a2 + b1 a3 + b1 am + b1 am + b2 am + b3 am + bm .①
a1 + b1 a1 + b2 a2 + b2 am 1 + b2 am + b2 am + b3 am + bm .②
式①与式②中均有 2m 1个不同的数，这些数都是集合 (A,B)中的元素.
因为 card( (A,B)) = 2m 1，所以 (A,B)中有且仅有 2m 1个不同元素.
所以式①与式②中的数对应相等，即 ak+1 + b1 = ak + b2 , k =1,2,3, ,m 1.
所以 ak+1 ak = b2 b1, k =1,2,3, ,m 1 .
所以数列{an}是公差为 d = b2 b1，项数为m的等差数列.
同理，数列{bn}是公差为 d = a2 a1，项数为m的等差数列.
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所以数列{an}与{bn}是两个公差相等（公差 d 0 ），项数为m的等差数列.
设 ai = a1 + (i 1)d , i =1,2,3, ,m，b j = b1 + ( j 1)d , j =1,2,3, ,m，其中 d 0 .
则 ai + b j = (a1 + b1) + (i + j 2)d , i, j =1,2,3, ,m，
则 (A,B) ={(a1 + b1) + (k 1)d | k =1,2,3, , 2m 1} ，且 card( (A,B)) = 2m 1.
因为 A,B, (A,B) {x N | x 2026}，所以 d N .
①当 d =1时，设 A = {a1 + (i 1) | i =1,2,3, ,m}， B = {b1 + ( j 1) | j =1,2,3, ,m}，
(A,B) ={a1 + b1 + (k 1) | k =1,2,3, , 2m 1}.
所以 0 a1,b1,am ,bm 2026， 0 a1 + b1 + (2m 2) 2026，且 a1 b1 +m或b1 a1 +m .
所以3m 2 2026 ，解得m 676 .
当m = 676 时， A = {0,1,2, ,675}， B = {676,677, ,1351}， (A,B) ={676,677, , 2026} .
经检验符合题意.
②当 d 2 时，因为 A,B, (A,B) {x N | x 2026}，
所以 0 a1,b1 2026 ， 0 a1 + b1 + (2m 2)d 2026 .
1013 1015
所以m +1 676 .
d 2
综上，m的最大值为 676 . ……15 分
第13页/共13页

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