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2026北京石景山高三二模
数 学
2026.5
本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数 z =1+ 2i3对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（2）已知集合 A = {x | 2 x≤1},B = {x | x≤ 2}，则 R (A B) =
（A）{x | x≥1} （B）{x | x 1}
（C）{x | x 2} （D）{x | x 2}
2x
（3）已知函数 f (x) = 是偶函数，则实数 a =
4x + a
1
（A） 1 （B） （C）1 （D） 2
2
（4）已知实数 a ,b ,c ,d 满足： a b c d，则下列不等式恒成立的是
（A） a + c b + d （B） a c b d
（C） ab cd （D） ac bd
（5）设 , 是两个不同的平面，则 // 的充要条件是
（A）存在无数条直线与 , 都平行
（B）存在无数个平面与 , 都垂直
（C）对任意的直线 l ，都存在直线m ，使得 l // m
（D）对任意的直线 l ，都存在直线m ，使得 l ⊥ m
x
3 , x 0，
（6）已知函数 f (x) = , g(x) = f (x) x a．若 g(x)存在 2 个零点，则 a的取值范围是
x
e , x≥0.
（A） (0,1) （B） (0,1] （C） (1,+ ) （D）[1,+ )
（7）人们通常以分贝（符号是 dB ）为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为 I 的声音对应的等级
I
为 LdB，则有 L =10lg .已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为 52 dB ，如果
10 12
通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为
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（参考数据： lg 2 0.301）
（A） 49dB （B） 46dB （C） 26dB （D）13dB
（8）若C1 + 3C2 2 3 n 2 n 1 n 1n n + 3 Cn + + 3 Cn + 3 = 85 ，则 n的值为
（A） 3 （B） 4 （C） 5 （D） 6
π
（9）在△ABC中， BAC = ,BC = 4,D为 BC边上的中点， AD = 3，则△ABC的面积为
3
3 5 3 3 3 5 3
（A） （B） （C） （D）
2 4 2 2
（10）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E是棱C1D1的中点，S是正方形 ABCD及其内部的点构成的集合．设
集合T = { P S |PA1= 2PE}，则T 表示的轨迹是
（A）线段 （B）圆的一部分
（C）椭圆的一部分 （D）抛物线的一部分
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
1
（11）函数 f (x) = + 2 x的定义域是_______．
x
（12）设向量 a与 b不共线，向量 a + b ( R)与 a + 2b共线，则 = _______．
y2
（13）设双曲线C : x2 =1(b 0)，若直线 y = 2x与双曲线C无公共点，则 b的一个取值为_______．
b2
（14）等比数列{an}满足 a1 + a3 =10 ， a2 + a4 = 5 ，则 an = _______； a1a2a3 an 的最大值为_______．
（15）已知 , (0,π) ，且 cos cos = cos cos ．给出下列四个结论：
① cos + cos 有最小值；
② cos + cos 无最大值；
③ cos cos 有最小值；
④ cos cos 无最大值．
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
x x x 1
已知函数 f (x) = 3sin cos + cos2 ( 0) .
2 2 2 2
从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数 f (x) 存在.
π
（Ⅰ）求 f ( )的值；
3
π
（Ⅱ）求 f (x)在区间[ ,0]上的最大值和最小值.
2
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π
条件 ①：函数 f (x)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为 ；
2
π
条件 ②： f ( ) = 2 ；
4
π π π π
条件 ③：函数 f (x)在区间[ , ]上具有单调性，且 f ( ) f ( ) = 1．
3 6 3 6
注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
分．
（17）（本小题 14 分） C C1
如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，BB1 = 6AB， N
M ,N 分别是 AA1 ,B1C1的中点．
B
B1
（Ⅰ）求证：MN // 平面 ABC1 ；
（Ⅱ）求二面角 A BC1 B1的余弦值；
A
M A1
（Ⅲ）设平面 ABC1 与平面 A1B1C1的交线为 l，求直线 l与直线MN 所成的角．
（18）（本小题 13 分）
2026 年春节期间，模式口历史文化街区推出“骐骥献瑞”主题集章打卡活动.游客可以收集“龙马献瑞”，
“马到成功”，“马效炎德”，“马奔财乡”，“奇骏延年”，“马行无疆” 6 个蕴含马年吉祥寓意的专属印章.为了解
不同年龄段游客的打卡习惯，从参与活动的人群中随机抽取100名游客，统计他们集章情况如下表（同一题
材重复集章只计 1 个）：
组别 集章1个 集章 2 个 集章 3 个 集章 4 个 集章 5 个 集章 6 个 各组总人数
青年 1人 1人 2 人 12 人 12 人 2 人 30 人
中年 3 人 2 人 8 人 30 人 15 人 2 人 60 人
老年 1人 2 人 1人 3 人 2 人 1人 10 人
每个游客的打卡行为相互独立．
（Ⅰ）从上表的青年组中随机抽取1名游客，求该游客集章个数不少于 4 的概率；
（Ⅱ）从参与打卡活动的青年和中年游客中各随机抽取 2 人，用上表统计的频率估计概率，试估计这 4 人中
“恰有 2 人集章 4 个、 2 人集章 5 个”的概率；
（Ⅲ）将青年、中年、老年组的组别分别编码为 1,0,1， 用上表统计的频率估计概率，从集章个数为
k (k =1,2,3,4,5,6) 的游客中随机抽取 1 人，记该游客的组别编码为 X k ，写出满足 EX k ≥ 0 的 k值的
个数.（结论不要求证明）
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（19）（本小题 15 分）
x2 y2 3
已知椭圆C : + =1(a b 0)的离心率为 ，其左顶点为 A，上顶点为 B， | AB |= 5 ，直线 l平
a2 b2 2
行于 AB且与椭圆C交于不同的两点M ,N .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线 l使得 A,B,N ,M 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时 l的方程；若不存在，请
说明理由.
（20）（本小题 15 分）
2 + x
已知函数 f (x) = ln .
2 x
（Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）令 g(x) = f (x) a sin x．
π π
（ i ）当 a =1时，讨论函数 g(x)在 ( , ) 上的单调性；
2 2
π π
（ ii ）若 g(x)在 ( , ) 内存在唯一的极大值点，求实数 a的取值范围．
2 2
（21）（本小题 15 分）
设递增数列 {an} 中的每一项都是正整数，其前 n项和为 S n .对于正整数 k ，若存在正整数 j，使得
a k (S j 1 ,S j ] ，则称 S j 覆盖了 ak ，记 ak 的 “覆盖阶数 ”为 C(ak ) = j ..定义 ak 的 “覆盖滞后度 ”为
(ak ) = k C(ak ) .规定 S0 = 0 .
（Ⅰ）若 a1 = 3,a2 = 7 ,a3 = 8 ,a4 =12，求 (a1) 和 (a3 ) 的值；
（Ⅱ）若数列{an}是首项为1，公差为 2 的等差数列，判断是否存在正整数 k，使得 (ak ) =10 ？若存在，求
出所有满足条件的 k的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设{an}前 k项的“覆盖滞后度” (a1) , (a2 ) , , (ak ) 的最大值为M ，求证：对任意的m {0,1,2, ,M}，
存在 i {1,2, ,k}，使得m = (ai ) .
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）D （2）B （3）C （4）A （5）C
（6）D （7）A （8）B （9）D （10）B
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
1
（11） ( ,0) (0,2] （12） （13）1（答案不唯一）
2
（14） 24 n 64 （15）②③④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
x x x 1 3 1+ cos x 1
解：（Ⅰ） f (x) = 3sin cos + cos2 = sin x +
2 2 2 2 2 2 2
3 1 π
. . . . = sin x + cos x = sin( x + )
2 2 6
2π
选条件①：根据题意. . T = π , = π， = 2 . ，
| |
π π 5π 1
所以 f (x) = sin(2x + )， f ( ) = sin( ) = .
6 3 6 2
π π π π
选条件③：因为函数 f (x)在[ , ]单调，且 f ( ) f ( ) = 1，
3 6 3 6
π π π T 2π
所以 ( ) = = ，T = π , = π， = 2 ，
6 3 2 2 | |
π π 5π 1
所以 f (x) = sin(2x + )， f ( ) = sin( ) = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 【7 分】
6 3 6 2
π 5π π π
（Ⅱ）据题意 ≤ x≤0， π≤ 2x≤ 0 ， ≤ 2x + ≤ ，
2 6 6 6
π π π
当 2x + = ，即 x = 时， f (x) 的最小值为 1，
6 2 3
π π 1
当 2x + = ，即 x = 0 时， f (x) 的最小值为 .. . . . . . . . . . . . . . 【13 分】
6 6 2
（17）（共 14 分）
解：（Ⅰ）如图，取 BC1 的中点G ，连接 NG , AG．
由 N ,G分别为 B1C1 ,BC1的中点，
z
1
得 NG // BB1，且 NG = BB1 ..
2 C C1
1 Q
G N
又因为 AM // BB1 ，且 AM = BB1， B
2
B1
所以 AM //GN，且 AM =GN . O
H y
A
故四边形 AMNG为平行四边形. M A1
x
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所以MN // AG .
又因为MN 平面 ABC1 ， AG 平面 ABC1 ，
所以MN // 平面 ABC1 ． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 【4 分】
（Ⅱ）取 AB中点O， A1B1中点 H ，连结CO ,OH .
在正三棱柱 ABC A1B1C1中， BB1 ⊥平面 ABC，△ABC为等边三角形，
则OH // BB1 ,CO ⊥ AB，易得OH ⊥平面 ABC．
所以OH ⊥ AB，OH ⊥OC .
故 AB ,OC ,OH 两两互相垂直．不妨设 AB = 2 ，
如图建立空间直角坐标系O xyz，
则O(0, 0, 0) ， B( 1, 0, 0) ， A(1, 0, 0)，C(0,0, 3) ，C1(0,2 6 , 3) ，
→ →
因此 BA = (2,0,0)， BC1 = (1,2 6 , 3)．
设平面 ABC1 的法向量为 n = (x , y , z) ，
→
n BA = 0, 2x = 0,
则 . . 即 . .
→
x + 2 6y + 3z = 0.
n BC1 = 0,

令 y = 2 ，则 z = 4 ．于是 n = (0, 2 ,4)．
→
取 BC中点Q，则易知 AQ为平面 BB1C1的一个法向量．
→ 3 3
平面 BB1C1的一个法向量 AQ = ( ,0, ) .. . . . . . . . . .
2 2
→
→ n AQ 2 3 2
所以 cos n , AQ = = = ．
→ 3 2 3 3
| n || AQ |
2
由题义知二面角 A BC1 B1为钝角，所以其余弦值为 ． . . 【10 分】
3
（Ⅲ）因为 AB // A1B1 ， AB 平面 A1B1C1， A1B1 平面 A1B1C1，
所以 AB // 平面 A1B1C1．
因为平面 ABC1 平面 A1B1C1 = l， AB 平面 ABC1 ，
所以 AB // l .
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→ 3 3
又因为MN = ( , 6 , )．
2 2
设直线 l与直线MN 所成角为 ,
→ →
→ → | AB MN | 3 1
cos =| cos AB ,MN |= = = ，
→ → 2 3 2
| AB ||MN |
π
直线 l与直线MN 所成角为 . ．. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 【14 分】
3
（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）表中青年组共有游客 30 名，其中集章个数不少于 4 的人数为12 +12 + 2 = 26 ，从中随机抽取
26 13
1名游客，该游客集章个数不少于 4 的概率为 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30 15
【3 分】
12 2
（Ⅱ）根据题中数据，“青年游客集章 4 个”的概率可估计为 = ；
30 5
12 2
“青年游客集章 5 个”的概率可估计为 = ；
30 5
30 1
“中年游客集章 4 个”的概率可估计为 = ；
60 2
15 1
“中年游客集章 5 个”的概率可估计为 = ．
60 4
所以“恰有 2 人集章 4 个、 2 人集章 5 个”的概率可估计为：
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 13( ) ( ) + ( ) ( ) +C2 ( ) C2( ) = ．. . . . . . . . . . 【11 分】
5 4 5 2 5 2 4 100
（Ⅲ） 2 【13 分】
（19）（共 15 分）
a2 + b2 = 5
a = 2
c 3
解：（Ⅰ）由已知可得 e = = ，解得 b =1 .
a 2
a2
c = 3
= b2 + c2

x2
故椭圆C的方程为 + y2 =1 . 【5 分】
4
1
（Ⅱ）据题意. kAB = ，假设存在平行于 AB的直线 l，
2
1
设直线 l的方程为 y = x + t，设M (x1, y1) ,N (x2 , y2 ) ，
2
1
y = x + t 2
联立 ，得 x
2 + 2tx + 2t2 2 = 0，
x
2
+ y2 =1
4
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= 4t2 4(2t2 2) 0 ，即 2 t 2 ，
x1 + x2 = 2t , x1x2 = 2t
2 2，
因为以 A,B ,N ,M 为顶点的四边形为等腰梯形，
所以 | AM |=| BN | ，即 | AM |2 | BN |2= 0成立，
| AM |2= (x + 2)2 + y 2 , | BN |21 1 = x
2
2 + (y 1)
2
2 ，
(x + 2)2 + y2 x2 21 1 2 (y2 1) = 0 ，
2 1 1(x1 + 2) + ( x1 + t)
2 x22 ( x2 + t 1)
2 = 0，
2 2
5 5
整理得 tx1 + tx2 + (t + 4)x1 (t 1)x2 + 2t + 3 = 0 .
2 2
代入 x1 = 2t x2 ，
得3(t 1)[x2 + (t 1)] = 0 ，即 t =1 或 x2 =1 t，
当 x2 =1 t时， x1 = 1 t，则 x
2
1x2 = t 1，
又因为 x x = 2t21 2 2 ，解得 t = 1 .
1
当 t =1 时，直线 l方程为 y = x +1与直线 AB重合，
2
不符合题意，舍去；
1
当 t = 1 时，直线 l方程为 y = x 1所得四边形为平行四边形，
2
不符合题意，舍去；
所以不存在平行于 AB的直线 l交椭圆于M ,N 两点，使得以 A,B ,N ,M 为顶点的四边形为等
腰梯形. 【15 分】
（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ）根据题意， f (x) = ln(2 + x) ln(2 x) ， x ( 2,2)，
1 1 4
f (x) = = ， f (0) = 0， f (0) =1，
2 + x 2 x 4 x2
所以所求切线方程为 y = x . 【4 分】
（Ⅱ）（ i ） a =1时， g(x) = f (x) sin x，
4
g (x) = f (x) cos x = cos x，
4 x2
8x
设 h(x) = g (x) ，则 h (x) = + sin x，
(4 x2 )2
8x
当 x ( ,0]时， ≤ 0， sin x≤ 0，所以 h (x)≤ 0 ；
2 (4 x2 )2
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8x
当 x [0 , ) 时， ≥ 0 ， sin x≥ 0 ，所以 h (x)≥ 0 .
2 (4 x2 )2

所以 h(x) 在 ( ,0]单调递减，在[0 , )单调递增.
2 2

所以当 x ( , ) 时， g (x) = h(x)≥ h(0) = 0 ，
2 2

所以 g(x)在 ( , )上单调递增.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 【9 分】
2 2
（ ii ）由已知， g(x) = f (x) a sin x，
4
g (x) = f (x) acos x = acos x
4 x2
4 4
①当 a≤1时， g (x) = f (x) acos x = acos x≥ cos x≥ 0
4 x2 4 x2

所以 g(x)在 ( , )上单调递增，不合题意.
2 2
8x
②当 a 1时，设 h(x) = g (x) ，则 h (x) = + asin x .
(4 x2 )2
8x
当 x ( ,0]时， ≤ 0 , a sin x≤ 0 ，所以 h (x)≤ 0；
2 (4 x2 )2
8x
当 x [0 , ) 时， ≥ 0 , a sin x≥ 0 ，所以 h (x)≥ 0 .
2 (4 x2 )2

所以 h(x) = g (x) 在 ( ,0]单调递减，在[0 , )单调递增.
2 2
4 4
因为 g (0) =1 a 0， g ( ) = 0 ， g ( ) = 0 ，
2 2 2 2
4 4
4 4

所以存在 x1 ( ,0) , x2 (0, ) , 使 g (x1) = g (x2 ) = 0 .
2 2
当 x变化时， g (x) , g(x) 情况如下：

x ( , x ) x1 (x1 , x2 ) x 1 2 (x2 , )
2 2
g (x) + 0 0 +
g(x) ↗ ↘ ↗

所以 g(x) 在 ( , )上存在唯一的极大值点，符合题意.
2 2
综上所述， a 1 . 【15 分】
（21）（共 15 分）
解：（Ⅰ）因为 a1 = 3,a2 = 7 ,a3 = 8 ,a4 =12，
所以 S 0 = 0 ,S1 = 3,S 2 =10 ,S 3 =18 ,S 4 = 30 ，
所以 a1 (S 0 ,S1],a3 (S1 ,S 2 ]，所以C(a1) =1,C(a3) = 2 ，
所以 (a1) =1 C(a1) = 0 , (a3) = 3 C(a3) =1 .. . . . . 【4 分】
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（Ⅱ）由已知得 a 2n = 2n 1,S n = n .
设存在正整数 k，使得 (ak ) =10 ，则 S j 1 ak ≤ S j ,C(ak ) = j， (ak ) = k C(ak ) = k j，
可得 ( j 1)2 2k 1 2≤ j ， k j =10 ，
j
2 4 j 18 0
所以 ，解得1+ 20≤ j 2 + 22 .
j
2 2 j 19≥ 0
因为 j *N ，所以 j = 6,k =16 .
检验： a16 = 31,S 5 = 25 ,S 6 = 36 ，
所以 a16 (S 5 ,S 6 ]，C(a16 ) = 6 , (a16 ) =16 6 =10，符合题意.
综上所述，存在唯一的 k =16符合题意. 【9 分】
（Ⅲ）当 k =1时， S 0 a1≤ S1，C(a1) =1， (a1) =1 1= 0 .
当 k≥ 2 时，设C(ak ) = j k ，则 S jk 1 1 a k 1 a k ≤ S j k
所以 jk 1 1 jk , jk j k 1 1.
因为 j *k 1 N ，所以 j k j k 1 ≥ 0
所以 (ak ) (ak 1) = k C(ak ) (k 1 C(ak 1)) =1 ( jk j k 1)≤1 .
任取m {0 ,1, 2 , ,M } ，设 (a i ) 是 (a1) , (a2 ) , (a i )中首次达到或超过m的项，
即 (a i )≥m且 (a i 1) m .
因为 (ak ) (ak 1)≤1，所以 (ai )≤ (ai 1) +1 m +1，即m≤ (ai ) m +1，
所以 (ai ) = m . 【15 分】
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）
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