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2026 北京顺义高三二模
数 学
2026.5
第一部分（选择题 共 40分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。
（1）已知集合 A = { x | 1 x≤ 2}，则 A =R
（A）{ x | x -1} （B）{ x | x -1或x≥ 2}
（C）{ x | x 2} （D）{ x | x≤ -1或x 2}
z
（2）在复平面内，复数 z对应的点的坐标是 ( 2,3)，则复数 对应的点在
i
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）已知等差数列 an 满足 a2 + a6 = a4 + 4， a3 + a4 = 7 ，则 a7 =
（A） 4 （B） 5
（C） 6 （D） 7
1
（4）在 (2x )
6
的展开式中，常数项为
x
（A） 60 （B） 15
（C）15 （D） 60
（5）已知 a = ln 2 ， b = log2 3， c = log4 5 ，则
（A） a b c （B） a c b
（C） b a c （D） b c a
（6）已知无穷等比数列{ a q q 1n }的公比为 ，则“ a1 0且 ”是“数列{ an }为递增数列”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）把函数 f (x) = a x (a 0,a 1) 的图象C1 向右平移 2 个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变
1
成为原来的 倍，得到图象C2 .若此时图象C a1 恰与C2 重合，则 的值为
4
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（A） 4 （B） 2
1 1
（C） （D）
2 4
（8）在平面直角坐标系中，角 与角 均以Ox为始边，点 P 1在角 的终边上，点 P 2 在角 的终边
上.使命题“若 sin 0，则 sin 0 ”为真命题的条件是
（A） P1与 P2 关于 x轴对称 （B） P1与 P2 关于 y轴对称
（C） P1与 P2 关于直线 y = x对称 （D） P与 P 关于直线 y = x1 2 对称
3
（9）已知直线 l过点 (0，1) ，其倾斜角为 ，设原点O到直线 l的距离为 d .当 0 d≤ 时， 的取值
2
范围是

（A） 0， （B）6
，
6 2
5 2
（C） ， ， （D） ， ，
6 2 2 6

3 2 2 3


f (x), f (x)≤ g(x),
（10）已知 f (x), g(x) 是定义在R上的函数，记 L(x) = 给出下列两个结论：
g(x), f (x) g(x).
2
①若函数 f (x) = sin x， g(x) = cos x，则 L(x) 的最大值为 ；
2
②若函数 y = f (x) 和 y = g(x) 都是减函数，则 L(x) 也是减函数.
则下列判断正确的是
（A）①②都正确 （B）①正确，②错误
（C）①②都错误 （D）①错误，②正确
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）抛物线 x2 = 4y的焦点到其准线的距离等于_________.

（12）已知正方形 ABCD的边长为 2 ，点 E为CD中点，则 EA EB = ________.
（13）在△ABC中， a = 2 , b =1.

①若 A = ,则 sin B = __________;
3
②若△ABC为锐角三角形，则 c的取值范围是_________.
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（14）现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个
三棱柱后拼接成如图二所示的“V型”几何体（正方形 A1B1C1D1 与正方形 EFGH在同一平面内，
A ,B ,E,F 四点在一条直线上）， ， AA =10 ， A AB =120 ， A AD = 90 1 1 AB = 2 1 1 1 ，则图一所示
的四棱柱 A1B1C1D1 ABCD的侧面 A1ABB1的面积为___________,图二所示的几何体的体积为
_______.
（图一） （图二）
x
（15）已知函数 f (x) = e a kx +1.给出下列四个结论：
①当 a =1时，对任意负实数 k，方程 f (x) = 0 恰有一个实数解;
②存在 a 1，有负实数 k，使得方程 f (x) = 0 无实数解;
③存在 a R，有正实数 k，使得方程 f (x) = 0 恰有 2 个实数解;
④存在 a R，有实数 k，使得方程 f (x) = 2 恰有 3个实数解.
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAB ⊥平面 ABCD， PA⊥ AB， P
AB ⊥ AD， AB / /CD， AB = AD = AP = 2CD = 2， M 是棱 PB上一点，满足
M
PB = 3PM .
（Ⅰ）求证： PA⊥平面 ABCD； A B
（Ⅱ）求平面 ABCD与平面 ACM 夹角的余弦值.
D C
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（17）（本小题 14 分）
π
已知函数 f (x) = sin 2 xcos + cos 2 xsin ，其中 0,| | .
2
3
（Ⅰ）若 f (0) = ，求 值；
2
π 2π 2π
（Ⅱ）已知 f (x) 在区间[ , ]上单调递减， f ( ) = 1，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中
6 3 3
选择一个作为已知，使函数 f (x) 存在且唯一确定，求 , 的值．
π π
条件 ①： f (x)在区间 [ , ]上单调递增；
3 6
π
条件 ②： f ( ) = 1；
3
π
条件 ③： f ( ) = 0 ．
6
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第
一个解答计分．
（18）（本小题 13 分）
在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播 2 部反诈宣传短片与1部文明出行宣传短片，每部
短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为 10 分钟，相邻短片播放无时间间隔.
（Ⅰ）求第1部播放的短片是文明出行宣传短片的概率；
（Ⅱ）记随机变量 X 为从展播开始计时，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），
求 X 的分布列与数学期望 EX ；
（Ⅲ）设随机变量Y 为从展播开始计时，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记Y 的方差为DY ，
（Ⅱ）中 X 的方差为DX .比较方差DY 与DX 大小（结论不要求证明）.
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（19）（本小题 15 分）
x2 y2 3
已知椭圆 E : + =1 (a b 0)2 2 的离心率为 ， A, B分别是椭圆 E的上、下顶点， a b 2
| AB | = 2 ．
（Ⅰ）求椭圆 E的方程；
（Ⅱ）设 O为坐标原点， C是椭圆 E的左顶点，过点 A作斜率为 k的直线 l , l与椭圆 E交于点T （不
同于点 A）且与 x轴交于点 D，点Q在直线 BD上，且OQ ⊥ TB .求证：△CQO的面积为定值.
（20）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = ln x， g(x) = ax2 (a 2)x 2 ， a R .
（Ⅰ）若曲线 y = f (x) 与曲线 y = g(x) 在点（1,0）处有相同的切线，求 a的值；
（Ⅱ）设 h(x) = f (x) g(x) ，且 a ( 1, 0) .
①求 h(x) 的极值；
②证明：函数 h(x) 有 3个不同的零点.
（参考数据： 0.69 ln 2 0.70，1.09 ln 3 1.10，1.60 ln 5 1.61）
（21）（本小题 15 分）
已知集合 X = 1,2,3, ,16 ，集合 A是 X 的一个含 k (k 16)个元素的子集.若集合 A满足如下
两个性质，则称集合 A为集合 X 的完美子集：
①集合 A的任何两个不同子集的元素之和不相等；
②对任意m X 且m A，令 B = A m ，则集合 B存在两个不同子集，它们的
元素之和相等；
（Ⅰ）若 A1 = 1,3,5 , A2 = 1,2,4,9 ，分别判断 A1, A2 是否为集合 X 的完美子集；
（Ⅱ）若集合 A为集合 X 的完美子集，证明：集合 A的元素之和的最小值为16 ；
（III）若集合 A为集合 X 的完美子集，证明： k≤5 .
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）D （2）A （3）D （4）D （5）B
（6）A （7）C （8）B （9）C （10）A
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
3
（11） 2 （12） 3 （13）① ②（ 3，5）（前空 3 分后空 2 分）
4
（14）10 3 ，38 3 （前空 3 分后空 2 分）
（15）①③④ （有错不得分，仅对 1 个 3 分，对 2 个 4 分）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（本小题 13 分）
（I）因为平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB∩平面 ABCD=AB，
PA 平面 PAB，且 PA⊥AB
所以 PA⊥平面 ABCD -------------(5 分)
（Ⅱ）因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA ⊥ AB,PA ⊥ AD ,
又 AB⊥AD，如图建立空间直角坐标系 A xyz .
可得 B(0,2,0),C(2,1,0),D(2,0,0),P(0,0,2) .
1 1 2 2
所以 PM = PB = (0,2, 2) = (0, , ) .
3 3 3 3
2 2 2 4
所以 AM = AP + PM = (0,0,2) + (0, , ) = (0, , ) .
3 3 3 3

又 AC = (2,1,0) ，设平面 ACM 的法向量为 n = (x, y, z) ,


2x + y = 0
n ⊥ AC n AC = 0
所以 可得 即 2 4 .
n ⊥ AM n AM = 0 y + z = 0 3 3

令 x =1则 y = 2， z = 1，于是 n = (1, 2,1) .

又平面 ABCD的法向量为m = (0,0,1) .
设平面 ABCD与平面 ACM 夹角为 ，

m n 1 6
则 cos =| |=| |= .
|m | | n | 1 6 6
6
所以平面 ABCD与平面 ACM 夹角的余弦值为 . -------------(13 分)
6
（17）（本小题 14 分）
3
（Ⅰ）解：因为 f (x) = sin 2 xcos + cos 2 xsin ，且 f (0) = ，
2
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3
所以可得 sin = .
2
π π
因为 | | ，所以 = . -------------(4分)
2 3
（Ⅱ）选择条件①：
2
因为 f (x) = sin 2 xcos + cos 2 xsin = sin(2 x + )，且 f ( ) = 1 .
3
2
所以 f (x) 在 x = 取得最小值 1 .
3
π π π 2π
因为 f (x) 在 [ , ]上单调增，在 [ , ]上单调递减，
3 6 6 3

所以 f (x) 在 x = 取得最大值，
6
1 2
所以最小正周期满足 T = = 即T = .
2 3 6 2
2
又T = = ，且 0 ，所以 ，
2 =1 f (x) = sin(2x + )
2 4 4 3
代入 f ( ) = 1得 sin( + ) = 1，可得 + = 2k + ,k Z
3 3 3 2
π
又 | | ，所以 = . 所以 =1 , = . -------------(14分)
2 6 6
选择条件②：
2
因为 f (x) = sin 2 xcos + cos 2 xsin = sin(2 x + )，且 f ( ) = 1.
3
2
所以 f (x) 在 x = 取得最小值 1.
3
π 2π
因为 f (x) 在[ , ]上单调递减
6 3
1 2
所以最小正周期满足 T≥ = 即T≥ .
2 3 6 2
2 2
因为 f ( ) = f ( ) = 1，所以最小正周期满足T≤ ( ) = .
3 3 3 3
2
所以T = .又T = = ，且 0
2
所以 =1， f (x) = sin(2x + )
2 4 4 3
代入 f ( ) = 1得 sin( + ) = 1，可得 + = 2k + ,k Z
3 3 3 2
π
又 | | ，所以 = .所以 =1， = . -------------(14 分)
2 6 6
（18）（本小题 13 分）
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（Ⅰ）设“第1个播放的短片为文明出行宣传短片”为事件 A , A中包含的基本事件只有 2 个，基本事
2 1
件的总数为 6 ，所以 P(A) = = . -------------(3 分)
6 3
A2 C1A21 2
（Ⅱ）随机变量 X可能的取值为 20,30，且 P(X = 20) = 2 = ， P(X = 30) = 2 2 = .
A2 3 A3 33 3
所以，随机变量 X 的分布列为 X 20 30
P 1 2
3 3
1 2 80
所以 EX = 20 + 30 = . -------------(10分)
3 3 3
（Ⅲ）DY DX . -------------(13 分)
（19）（本小题 15 分）
c 3
（Ⅰ）解：因为 AB = 2 ，所以 b = 1，因为 = ， a2 = b2 + c2 ，所以 a2 = 4 ，
a 2
x2
所以椭圆 E的方程为 + y2 =1. -------------(4 分)
4
（Ⅱ）法一：因为 A(0,1)，所以可设直线 l方程为 y = kx +1，
x
2 + 4y2 4 = 0
联立 消去 y得 (4k 2 +1)x2 +8kx = 0 ，
y = kx+1
8k 4k 2 +1
所以 xT = ，代入可得 yT = ，
4k 2 +1 4k 2 +1
y +1 1
又 B(0, 1)，所以 kBT =
T = ，
xT 4k
因为OQ ⊥ BT ，所以 kOQ kBT = 1，所以 kOQ = 4k，
所以直线OQ方程为 y = 4kx，
由对称性可知，直线 BD的斜率为 k，所以直线 BD的方程为 y = kx 1.
y = kx 1 4
联立 ，解得 yQ = ，又 OC = 2
y = 4kx 5
1 4 4
所以 S CQO = 2 = 为定值. -------------(15 分)
2 5 5
法二：可设直线 l的方程为 y = kx +1，由题知 k 0，
y = kx +1
联立 2 2 得 (1+ 4k
2 )x2 + 8kx = 0
x + 4y 4 = 0
8k 1 4k 2
所以 xT = ，代入可得 yT =
1+ 4k 2 1+ 4k 2
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1
因为 B(0, 1),D( ,0) ，则 BD的直线方程为 y = kx 1，
k
y +1
因为点Q在直线 BD上，可设Q( 0 , y0 )
k
因为OQ ⊥ TB ,所以
y0 +1 8k 1 4k
2
OQ TB = ( , y0 ) ( , 1 )
k 1+ 4k 2 1+ 4k 2
8(y
= 0
+1) 2
= 0
1+ 4k 2
1+ 4k 2
4
所以8(y0 +1) + 2 = 0，得到 y ，又 OC = 20 =
5
1 4 4
所以 S = 2 = . -------------(15 分)CQO
2 5 5
（20）（本小题 15 分）
1
（Ⅰ）解： f（ x) = ， f（ 1) =1， g（ x) = 2ax a + 2 ， g（ 1) = a + 2
x
因为曲线 y = （f x) 与曲线 y = g（x) 在点（1，0）处有相同的切线
所以 a + 2 =1，即 a = 1. -------------(4 分)
（Ⅱ）解：① h(x) = ln x ax2 + (a 2)x + 2
1 (2x 1)( ax 1)
所以 h (x) = 2ax + a 2 =
x x
1 1
令 h (x) = 0得 x1 = , x2 =
2 a
1 1
因为 a ( 1,0) ，所以 1
a 2
1 1
当 x (0, )或 x ( ,+ ) 时， h（ x) 0
2 a
1 1
当 x ( , )时， h（ x) 0
2 a
1 1 1 1
所以 h(x) 在 (0, )，( ,+ ) 单增，在 ( , )单减
2 a 2 a
1 1 a
所以 h(x) 得极大值=（h ）= ln + +1
2 2 4
1 1 1
h(x) 得极小值=（h ）= ln( ) + +1； -------------(10 分)
a a a
1 1 1 1
②证明：法一：由①可知（h x)在 (0, )，( ,+ ) 单增，在 ( , )单减，
2 a 2 a
1 1
因为 h(1) = 0 ，所以 h( ) 0， h( ) 0,
2 a
1 7a 7 7a 1 1
因为 h( ) = 3ln 2 + + 0.32 + 0，所以存在唯一 x1 （ ，），使得 h(x1) = 0 .
8 64 4 64 8 2
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2 1 2 2 1 2
又 1， h( ) = ln( ) 0 ,所以存在唯一 x3 （ ， ），使得 h(x3 ) = 0
a a a a a a
1 1
又 x2 =1, x h(x2 （ ， ）使得 2 ) = 0
2 a
所以综上可知， h(x) 有 3个不同的零点. -------------(15 分)
1 1 1 1
法二：由①可知（h x)在 (0, )，( ,+ ) 单增，在 ( , ) 单减，
2 a 2 a
1 1 a a
又（h ）= ln + +1=1 ln 2 +
2 2 4 4
a 1
因为 ln 2 0.7 , a 1，所以1 ln 2 + 0.3 0.25 0 即 h( ) 0
4 2
1 7a 7 7a 1 1
又 h( ) = 3ln 2 + + 0.32 + 0，所以存在唯一 x1 （ ，），使得 h(x1) = 0 .
8 64 4 64 8 2
1 1 1 1
又 h( ) = ln( ) + +1，令 g(x) = ln x x +1， x (1,+ ) ， g (x) = 1 0
a a a x
1
所以 g(x) 单调递减， g(x) g(1) = 0即 h( ) 0，
a
1 1
所以存在唯一 x2 （ ， ），使得 h(x2 ) = 0
2 a
2 1 2 2 1 2
又 1， h( ) = ln( ) 0 ,所以存在唯一 x3 （ ， ），使得 h(x3 ) = 0
a a a a a a
所以综上可知， h(x) 有 3个不同的零点. -------------(15 分)
（21）（本小题 15 分）
（Ⅰ）解： A1 不是 ； A2 是. -------------(4 分)
（II）证明：集合 A中的元素个数为 k，设集合 A的元素之和为 S .
假设 S 16 ，考察包含 A的集合 B = A 16 ，
由①可得集合 A的任意两个子集元素之和不等，所以集合 B的任意一个包含 16 的子集元素和
比 B的任意一个不包含 16 的子集元素和大，从而 B的任意两个子集元素之和不相等.
由②知集合 B中一定存在元素之和相等的子集，矛盾.假设不成立.
从而 S 16 .又 A = 1,2,4,9 满足要求，
此时 S =16，从而 S的最小值为 16. -------------(10 分)
（III）证明：若 k 7 ，则因 A的非空子集有 2k 1个，而最大的元素和不超过16k，但 2k 1 16k，
必有两个子集的和相等，矛盾.
若 k = 6 ，考虑 A的元素个数不超过 4 的子集，因为这样的子集共有
C16 +C
2 3 4
6 +C6 +C6 = 56 个，因为任意一个这样的和 16 +15 +14 +13 = 58
所以 A中任意一个元素个数不超过 4 元子集的元素之和都在区间 1,57 内，
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若1 A，由1+15 =16 知，15,16 不同时属于 A .
由1+13 =14 知，13,14 不同时属于 A .
由1+11=12知，11,12不同时属于 A .
所以此时最大的和不大于16 +14 +12 +10 = 52 ，而 56 52 ，
必有两个子集的和相等，矛盾. 所以1 A
若 2 A，则由 2 +14 =16，知14,16不同时属于 A .
由 2 +13 =15 知，13,15 不同时属于 A .
由 2 +10 =12知，10,12不同时属于 A .
所以此时最大的和不大于16 +15 +12 + 9 = 52，而 56 52 ，
所以必有两个子集的和相等，矛盾. 所以 2 A
因为 1 和 2 都不属于 A，则最小的和不小于 3，于是，其和都属于区间
3,57 ，最多有 55 个不同的和，而 56 55 ，必有两个子集的和相等，矛盾.
综上所述， k 5 . -------------(15分)
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