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第3章 勾股定理 综合素质评价卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 9，12，15 D. 1，，
2．在三边长分别为，，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，在中， ，是边上的点，若，，则的值为（ ）
（第3题）
A. 13 B. 21 C. 25 D. 29
4．如图，在 中，已知，，则 边上的高为（ ）
（第4题）
A. B. C. D. 无法确定
5．将面积为 的半圆形与两个正方形如图所示摆放，这两个正方形面积的和为（ ）
（第5题）
A. 16 B. 32 C. D. 64
6．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ）
（第6题）
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
7．如图，一只蜘蛛在一个长方体的顶点 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点 处，已知长方体长，宽，高.蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从 点爬到 点，则蜘蛛爬行的最短路程是（ ）
（第7题）
A. B. C. D. 不能确定
8．已知点 在等腰直角三角形 的斜边 所在的直线上，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 满足条件的点有且只有一个 B. 满足条件的点有无数个
C. 满足条件的点有有限个 D. 对直线上的所有点，都有
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．已知的三边长分别是，，，斜边长，则的值为_ _ _ _ .
10．如图，为等边三角形，为边上的高，且，则正方形的面积为_ _ _ _ .
（第10题）
11．如图，在 中， ，平分 交 于点，，，则 _ _ _ _ .
（第11题）
12．如图，在 的正方形网格中标出了 和，则 _ _ _ _ _ _ .
（第12题）
13．如图，一架梯子 长2.5米，顶端 靠在墙 上，这时梯子下端 与墙脚 的距离为1.5米，梯子滑动后停在 的位置上，测得 的长为0.5米，则梯子顶端 下滑了_ _ _ _ 米.
（第13题）
14．如图，在四边形 中， ，连接，为 的中点，连接，.若，，则 的周长为_ _ _ _ .
（第14题）
15．如图，在 中， ，平分 交 于点，，，则 的长是_ _ _ _ _ _ .
（第15题）
16．如图， ，，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（第16题）
17．如图，中，，点，分别是,的中点，在 上找一点，使 最小，则这个最小值是_ _ _ _ _ _ .
（第17题）
18．如图，在长方形 中，，，为射线 上的一个动点，把 沿直线 折叠，当点 的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第18题）
三、解答题（共66分）
19．（6分）在中， ，，，分别是，，的对边.
（1） 已知，，求的长；
（2） 已知，，求的长.
20．（6分）如图，在中， ，，在中，是边上的高，，，求的长.
21．（10分） 如图，在笔直的高速公路旁边有，两个村庄，村庄到公路的距离，村庄到公路的距离，测得，两点之间的距离为，现要在，之间建一个服务区，使得，两村庄到服务区的距离相等，求的长.
22．（10分）如图，一根直立的旗杆高,因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处.
（1） 求旗杆从距地面多高处折断;
（2） 工人在修复的过程中，发现在折断点处的下方的点处，有一明显裂痕.若下次因刮大风旗杆从点处折断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
23．（10分） 如图，在中， ，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接.
（1） 判断与的位置关系，并说明理由；
（2） 若，，，求线段的长.
24．（12分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.
（1） 把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为，，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理；
（2） 图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，求这个风车的外围（实线）周长.
25．（12分）在中，， ，点是边上的动点（不与点，点 重合），连接，将线段绕着点逆时针旋转 ，得到线段，连接.
（1） 如图①，若点恰好落在边上，判断与的位置关系，并证明；
（2） 如图②，在（1）的条件下，延长至点，使，连接，请用关于 的代数式表示；
（3） 如图③，若 ，探究，，的数量关系，并证明.
答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 9，12，15 D. 1，，
【答案】C
2．在三边长分别为，，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．如图，在中， ，是边上的点，若，，则的值为（ ）
（第3题）
A. 13 B. 21 C. 25 D. 29
【答案】B
4．如图，在 中，已知，，则 边上的高为（ ）
（第4题）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
5．将面积为 的半圆形与两个正方形如图所示摆放，这两个正方形面积的和为（ ）
（第5题）
A. 16 B. 32 C. D. 64
【答案】D
6．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ）
（第6题）
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
【答案】B
7．如图，一只蜘蛛在一个长方体的顶点 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点 处，已知长方体长，宽，高.蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从 点爬到 点，则蜘蛛爬行的最短路程是（ ）
（第7题）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
8．已知点 在等腰直角三角形 的斜边 所在的直线上，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 满足条件的点有且只有一个 B. 满足条件的点有无数个
C. 满足条件的点有有限个 D. 对直线上的所有点，都有
【答案】D
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．已知的三边长分别是，，，斜边长，则的值为_ _ _ _ .
【答案】18
10．如图，为等边三角形，为边上的高，且，则正方形的面积为_ _ _ _ .
（第10题）
【答案】3
11．如图，在 中， ，平分 交 于点，，，则 _ _ _ _ .
（第11题）
【答案】2.5
12．如图，在 的正方形网格中标出了 和，则 _ _ _ _ _ _ .
（第12题）
【答案】
13．如图，一架梯子 长2.5米，顶端 靠在墙 上，这时梯子下端 与墙脚 的距离为1.5米，梯子滑动后停在 的位置上，测得 的长为0.5米，则梯子顶端 下滑了_ _ _ _ 米.
（第13题）
【答案】0.5
14．如图，在四边形 中， ，连接，为 的中点，连接，.若，，则 的周长为_ _ _ _ .
（第14题）
【答案】18
15．如图，在 中， ，平分 交 于点，，，则 的长是_ _ _ _ _ _ .
（第15题）
【答案】
16．如图， ，，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（第16题）
【答案】
17．如图，中，，点，分别是,的中点，在 上找一点，使 最小，则这个最小值是_ _ _ _ _ _ .
（第17题）
【答案】
18．如图，在长方形 中，，，为射线 上的一个动点，把 沿直线 折叠，当点 的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第18题）
【答案】或10
【解析】点拨：分两种情况：①如图①，当点在长方形内部时， 点在的垂直平分线上，.易知， 由勾股定理，得， 易知.设，则，.在中，由勾股定理，得，解得，即的长为.
②如图②，当点在长方形外部时，易得，.设，则，.在中，由勾股定理，得，解得，即的长为10.
综上所述，当点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或10.
三、解答题（共66分）
19．（6分）在中， ，，，分别是，，的对边.
（1） 已知，，求的长；
（2） 已知，，求的长.
【答案】（1） 解： ，，，.
（2） ，，，.
20．（6分）如图，在中， ，，在中，是边上的高，，，求的长.
解： 在中，是边上的高，，，
，即，解得.
在中， ，，
.
21．（10分） 如图，在笔直的高速公路旁边有，两个村庄，村庄到公路的距离，村庄到公路的距离，测得，两点之间的距离为，现要在，之间建一个服务区，使得，两村庄到服务区的距离相等，求的长.
解：设，则.
在中，由勾股定理，得；
在中，由勾股定理，得.
由题意可得，，，，解得,
.
22．（10分）如图，一根直立的旗杆高,因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处.
（1） 求旗杆从距地面多高处折断;
（2） 工人在修复的过程中，发现在折断点处的下方的点处，有一明显裂痕.若下次因刮大风旗杆从点处折断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【答案】（1） 解：由题意，得 ，.在中，，由勾股定理，得,即，解得.则旗杆从距地面处折断.
（2） 由（1）得.如图，设旗杆从点处折断后，旗杆顶端落在地面上的处.由题意，得，所以.
在中，由勾股定理，得,所以.则距离旗杆底部范围内有被砸伤的危险.
23．（10分） 如图，在中， ，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接.
（1） 判断与的位置关系，并说明理由；
（2） 若，，，求线段的长.
【答案】
（1） 解：.
理由如下：，.
是的垂直平分线，
，.
， ，
， ，.
（2） 如图，连接.
设，则，.
，，
，.
，
，
即，
解得，即.
24．（12分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.
（1） 把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为，，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理；
（2） 图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，求这个风车的外围（实线）周长.
【答案】
（1） 解：图形的总面积可以表示为，，
，即.
（2） 如图，由题意知外延的4部分全等，且，,
，，
这个风车的外围周长是.
25．（12分）在中，， ，点是边上的动点（不与点，点 重合），连接，将线段绕着点逆时针旋转 ，得到线段，连接.
（1） 如图①，若点恰好落在边上，判断与的位置关系，并证明；
（2） 如图②，在（1）的条件下，延长至点，使，连接，请用关于 的代数式表示；
（3） 如图③，若 ，探究，，的数量关系，并证明.
【答案】
（1） 解：，证明如下：
线段绕着点逆时针旋转 ， ，， ，
， ，.
（2） 由（1）得， .又，垂直平分，， ，
.
（3） .证明如下：
如图，在下方构造等边三角形，连接，则 ，，
， ，
，
在和中，
，， ，
，
在中，，.
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