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2026年浙江省九年级中考数学模考练习试卷（解析版）
全卷共24小题，满分为120分．时间为120分钟.
第一部 分选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义即可得到答案．
【详解】解：由题可得：，
故选：A．
当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．
现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质以及对顶角相等解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
3．杭州奥体中心的网球中心俗称“小莲花”，此次作为亚运会网球项目比赛场馆及训练场馆，
建筑面积523000平方米，数据523000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：数据523000用科学记数法表示为；
故选：A．
4．如图，物体的主视图画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据主视图的定义，从正面观察物体，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，据此判断即可．
【详解】解：该物体是一个空心圆柱，
从正面看，其外轮廓是一个矩形，
又内部空心圆柱的轮廓线被外壁遮挡，属于不可见轮廓线，
在主视图中应画为两条竖直的虚线，观察选项可知，C选项符合题意．
5．已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与两坐标轴相交 B．图象位于第二、四象限
C．y随x的增大而增大 D．图象经过点
【答案】B
【分析】根据k的符号判断反比例函数的图像位置和增减性，再结合反比例函数图像上点的坐标特征逐一判断选项即可．
【详解】解：∵ 反比例函数为，
，
∴反比例函数的图像位于第二、四象限，故B符合题意；
∵反比例函数中，，
∴图像不可能与坐标轴相交，故A不符合题意；
，
∴只有在每个象限内，y随x的增大而增大，故C不符合题意；
当时，，
∴图像不经过点，故D不符合题意．
如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，
在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
故选：C．
我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：
瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：
已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，
问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）
设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键．
设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解．
【详解】解：1尺寸，
高9尺就是寸，
所以．
故选：D．
8．随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，
绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
【答案】D
【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图，根据条形统计图和折线统计图逐项判断即可求解，看懂统计图是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴共有名学生参加模拟测试，该选项结论正确，不符合题意；
、由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，该选项结论正确，不符合题意；
、由折线统计图可得，第3月增长的“优秀”人数为人，第4月增长的“优秀”人数为人，
∵，
∴第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多，该选项结论正确，不符合题意；
、∵，
∴第4月测试成绩“优秀”的学生人数没有达到100人，该选项结论错误，符合题意；
故选：．
9. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．
小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，
纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，
然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．
请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，，过圆心，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B．
如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，
点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，
另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，
设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，
下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上
【答案】D
【分析】由题意可分当点P在线段上时，当点P在线段上时，然后得出y与x的函数关系式，进而问题可求解．
【详解】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误；
当时，，说明此时点P与点B重合，
∴，故B错误；
当点P在线段上时，分别过点C、P作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，最大值为，故C错误；
∴，
∴当时，，
故D正确．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．计算：=______
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据零指数幂、特殊三角函数值、算术平方根和绝对值的性质化简，最后算加减法即可．
【详解】解：
．
12．不等式组的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，
测得到点的距离为，点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，
测得点的俯角为．则无人机从点到点的上升高度为 （精确到）．
参考数据：，，，
，，．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，先解求出的长度，再解求出的长度即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，，
在中，，，
，，
在中，
，
，
∴无人机上升高度约为，
故答案为：．
14．“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章
（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、
“长征火箭”和“天宫一号”的图案，她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，
然后从中随机选取两枚送给同学小彬，
求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率是_________
【答案】
【分析】画树状图得到所有等可能的结果数，再找到符合条件的结果数，
然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：

一共有12种等可能的结果数，
其中两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的有6种结果，
∴两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为，
故答案为：
15．【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，
书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为81时，则的值为__________．
【答案】5或
【分析】根据给出的规律得到，则，解方程即可．
【详解】解：由题意得，
即，
解得或．
如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：
连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为__________
【答案】
【分析】连接，过点B作于点G，设，则，，证明，可得，再由，可得， 从而得到，，在中， 根据勾股定理可得，，在中，，再由，可得，在中，可得
，联立解方程组，即可求解．
【详解】解：连接，过点B作于点G，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
在中， ，
∴，
在中，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
联立得：，
解得：，
∴
解答题（本题共8小题，共72分。其中17、18题6分，19、20题8分，
21、22题每题10分，23、24题每题12分。）
17．化简求值：，其中．
【答案】，13
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线．
小杭：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小州你还有其它做法吗？
小州：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分．
(1)按照小杭的说法，在图中用尺规作的角平分线．
(2)小州的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
【答案】(1)见解析
(2)正确，证明见解析
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，平行四边形的性质，等边对等角的性质，掌握以上知识是关键．
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质，等边对等角的方法证明即可．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，
测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，
并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题：
本次抽取的学生共有________人，并把条形统计图补充完整；
依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，
则抽取的这部分学生书写成绩的众数是________分，中位数是________分；
扇形统计图B等级占的圆心角是________度；
若该校共有学生2800人，书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人？
【答案】(1)，图见解析
(2)，
(3)
(4)书写能力等级达到优秀的学生大约有人
【分析】（1）先利用C等级的人数除以所占的百分比即可得出本次抽取的学生人数，再求出B等级的人数，即可补全条形统计图；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）用乘以B等级学生所占比例即可得出结果；
（4）用乘以A等级学生所占比例即可得出结果．
【详解】（1）解：本次抽取的学生共有（人），
B等级的人数有：（人），
故把条形统计图补充完整如图：
；
（2）解：∵出现的次数最多，出现了次，
∴众数是，
在这个数据中，中位数为第、个数据的平均数，即中位数为；
（3）解：，
即扇形统计图B等级占的圆心角是度；
（4）解：（人），
故书写能力等级达到优秀的学生大约有人．
【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,
书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．
如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,
那么三角形的面积公式为：．
【推导验证】
已知：如图,在中,记, ,． 求证：的面积 证明：过点A作于点D, 设,则, ∴, ……
请你继续完成上述推导．
(2)【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出，得出，再根据三角形面积公式求出结果即可；
（2）假设, ,，代入表达式，即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点A作于点D，
设,则，
∴，
，
，
，
解得，
∴，
∴
．
（2）解：假设, ,，代入得：
．
如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，
延长至点F，连结，使．
若，为直径，求的度数．
求证：①；②．
【答案】(1)
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到；
（2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故；
②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明①：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点D作平行线交于点G，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
已知二次函数（为常数）．
求该二次函数图象的对称轴．
过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，．
① 求的取值范围；
② 若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值．
【答案】(1)
(2)①，②的值为或．
【分析】（1）直接利用对称轴公式进行计算即可；
（2）①求出时的的值，即可得出结果；②根据题意，易得点在二次函数的图象上，待定系数法求出函数解析式，再分和两种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线．
（2）解：①如图1，当时，
则二次函数的图象经过点，
∴，
∴当时，．
②如图2，∵，且二次函数图象的对称轴为直线，
∴点在二次函数的图象上，
∴，解得．
∴．
（Ⅰ）当时，，
∴当时，二次函数的最小值为2，
∴，解得（舍去）或．
（Ⅱ）当时，，
∴当时，二次函数的最小值为2，
∴，解得或（舍去）．
综上：的值为或．
问题再现
如图1，是一个正方形花园，，是花园的两个门，若，
那么，要修建的两条小路和的长相等吗？为什么？
拓展探究
上述问题中，若是矩形（如图），且，
当时， 与有怎样的数量关系？说明理由．
结论应用
如图3，已知矩形中，， ， 为上的一点，
将矩形沿直线对折，若点的对应恰好落在上，直线交于点， 求的值．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据矩形的性质证明，即可得出结论；
（2）证明，即可得出；
（3）由折叠可得：，证明得出，在中，勾股定理求得，即可得，设，则，在，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
四边形 是正方形
，
（2），理由如下：
四边形 是矩形
，
（3）解：由折叠可得：
，，
，
四边形 是矩形
，
，，
在中：，
，
设，则
在中：，即：
解得：，
即：，
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2026年浙江省九年级中考数学模考练习试卷
全卷共24小题，满分为120分．时间为120分钟.
第一部 分选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．
现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（ ）
A． B． C． D．
3． 杭州奥体中心的网球中心俗称“小莲花”，此次作为亚运会网球项目比赛场馆及训练场馆，
建筑面积523000平方米，数据523000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4． 如图，物体的主视图画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与两坐标轴相交 B．图象位于第二、四象限
C．y随x的增大而增大 D．图象经过点
如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，
在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：
瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：
已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，
问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）
设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，
绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
9. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．
小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，
纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，
然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．
请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）

A． B． C． D．
如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，
点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，
另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，
设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，
下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．计算：=______
12．不等式组的解集是 ．
如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，
测得到点的距离为，点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，
测得点的俯角为．则无人机从点到点的上升高度为 （精确到）．
参考数据：，，，
，，．
14．“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章
（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、
“长征火箭”和“天宫一号”的图案，她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，
然后从中随机选取两枚送给同学小彬，
求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率是_________
15．【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，
书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为81时，则的值为__________．
如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：
连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为__________
解答题（本题共8小题，共72分。其中17、18题6分，19、20题8分，
21、22题每题10分，23、24题每题12分。）
17．化简求值：，其中．
解方程：．
尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线．
小杭：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小州你还有其它做法吗？
小州：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分．
(1)按照小杭的说法，在图中用尺规作的角平分线．
(2)小州的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，
测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，
并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题：
本次抽取的学生共有________人，并把条形统计图补充完整；
依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，
则抽取的这部分学生书写成绩的众数是________分，中位数是________分；
扇形统计图B等级占的圆心角是________度；
若该校共有学生2800人，书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人？
【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,
书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．
如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,
那么三角形的面积公式为：．
【推导验证】
已知：如图,在中,记, ,． 求证：的面积 证明：过点A作于点D, 设,则, ∴, ……
请你继续完成上述推导．
(2)【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积．
如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，
延长至点F，连结，使．
若，为直径，求的度数．
求证：①；②．
已知二次函数（为常数）．
求该二次函数图象的对称轴．
过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，．
① 求的取值范围；
② 若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值．
问题再现
如图1，是一个正方形花园，，是花园的两个门，若，
那么，要修建的两条小路和的长相等吗？为什么？
拓展探究
上述问题中，若是矩形（如图），且，
当时， 与有怎样的数量关系？说明理由．
结论应用
如图3，已知矩形中，， ， 为上的一点，
将矩形沿直线对折，若点的对应恰好落在上，直线交于点，
求的值．
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