资源简介

小专题3　带电粒子在磁场中运动的临界极值问题和多解问题
课时作业(八)　带电粒子在磁场中运动的临界极值问题和多解问题
(分值:80分)
(选择题每题6分)
知识点一　带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
1.(多选)如图所示,直角三角形的AB边长为L,∠C=30°,三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q的带负电粒子(不计重力)从A点沿AB方向以速度v0射入磁场,要使粒子不从BC边穿出磁场,则下列说法正确的有(　　)
[A]磁感应强度的最小值为B=
[B]磁感应强度的最小值为B=
[C]粒子在磁场中运动的最长时间为t=
[D]粒子在磁场中运动的最长时间为t=
2.如图所示,水平放置的平行板的长度为L、两板的间距也为L,两板之间存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场,在两板正中央P点有一个不计重力的电子(质量为m、电荷量为e),现在给电子一水平向右的瞬时初速度v0,欲使电子不与平行板相碰撞,则(　　)
[A]v0>或v0< [B][C]v0> [D]v0<
3.(多选)质量为m、电荷量为q的负电荷,在磁感应强度为B的匀强磁场中,绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷上的静电力是洛伦兹力的3倍,则负电荷做匀速圆周运动的角速度可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.(多选)如图所示,A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子,重力忽略不计.为把这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场.已知O、A间的距离为s,负离子的比荷为,速率为v,OP与OQ间的夹角为30°.则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　)
[A]垂直纸面向里,B>
[B]垂直纸面向里,B>
[C]垂直纸面向外,B>
[D]垂直纸面向外,B>
5.如图所示,水平虚线边界的上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,O为水平虚线边界上一点.abcd为边长为L的正方形虚线边界,ad与水平虚线边界重合,Oa间的距离为L,正方形虚线边界内存在与水平虚线边界上方同样的磁场.一束质量为m、电荷量为-q(q>0)的粒子从O点垂直于Oa射入磁场,这些粒子具有不同的速率.不计粒子所受重力和粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
6.(多选)边长为a的等边三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一束质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子(不计重力及粒子间的相互作用)从AB边的中点沿平行BC边的方向以不同的速率射入磁场区域,则(　　)
[A]从BC边射出的粒子的最大速率为
[B]从BC边射出的粒子的最大速率为
[C]能从BC边射出的粒子的最小速率为
[D]能从BC边射出的粒子的最小速率为
7.长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场,从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子,若电子能打在水平板上,速度v0应满足(　　)
[A]v0>
[B]v0<
[C][D]v0>或v0<
8.(多选)如图所示,竖直平行线MN、PQ间距离为a,其间存在垂直于纸面向里的匀强磁场(含边界PQ),磁感应强度大小为B,MN上O处的粒子源能沿不同方向释放比荷为的带负电粒子,速度大小相等、方向均垂直于磁场.粒子间的相互作用及重力不计.设粒子速度方向与射线OM的夹角为θ,当粒子以θ=60°的角度射入时,恰好垂直于PQ射出,则(　　)
[A]粒子的速率为
[B]PQ边界上有粒子射出的长度为2a
[C]沿θ=120°射入的粒子,在磁场中运动的时间最长
[D]从PQ边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
9.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy的第四象限内,有垂直纸面向里的匀强磁场,现有一质量m=5.0×10-8 kg、电荷量q=1.0×10-6 C的带正电粒子,从静止开始经U0=10 V的电压加速后,从图中P点沿图示方向进入磁场,速度方向与y轴负方向的夹角为37°并垂直于磁场方向.已知OP=30 cm,粒子的重力不计,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.则:
(1)(4分)带电粒子到达P点时速度v的大小是多少
(2)(5分)若磁感应强度大小B=2 T,粒子从x轴上的Q点离开磁场,则OQ间的距离是多少
(3)(5分)若粒子不能从x轴上方射出,那么磁感应强度B的最小值是多少
10.(15分)(2025·广东广州中学考试)如图所示,在边长为L的等边三角形ACD区域内,存在垂直于所在平面向里的匀强磁场.大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度(速度大小未确定)沿垂直于CD的方向射入磁场,经磁场偏转后三条边均有粒子射出,其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0.不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求:
(1)(5分)磁场的磁感应强度大小.
(2)(5分)要确保粒子能从CD边射出,射入的最大速度.
(3)(5分)AC、AD边上可能有粒子射出的范围.小专题3　带电粒子在磁场中运动的临界极值问题和多解问题
课时作业(八)　带电粒子在磁场中运动的临界极值问题和多解问题
(分值:80分)
(选择题每题6分)
知识点一　带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
1.(多选)如图所示,直角三角形的AB边长为L,∠C=30°,三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q的带负电粒子(不计重力)从A点沿AB方向以速度v0射入磁场,要使粒子不从BC边穿出磁场,则下列说法正确的有(　　)
[A]磁感应强度的最小值为B=
[B]磁感应强度的最小值为B=
[C]粒子在磁场中运动的最长时间为t=
[D]粒子在磁场中运动的最长时间为t=
【答案】 AC
【解析】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律可得qv0B=m,可得B=,可知半径r越大,磁感应强度越小,要使粒子不从BC边穿出磁场,画出半径r最大时的轨迹,如图所示,由几何关系可知,四边形OABD是正方形,故圆弧轨迹的半径为L,可得磁感应强度的最小值Bmin=,A正确,B错误;粒子从AC边射出时在磁场中转过的圆心角为120°,粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T=,可知B最小时,周期最大,粒子运动时间最长,最长时间为t=Tmax=·=,C正确,D错误.
2.如图所示,水平放置的平行板的长度为L、两板的间距也为L,两板之间存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场,在两板正中央P点有一个不计重力的电子(质量为m、电荷量为e),现在给电子一水平向右的瞬时初速度v0,欲使电子不与平行板相碰撞,则(　　)
[A]v0>或v0< [B][C]v0> [D]v0<
【答案】 A
【解析】 电子在磁场中做匀速圆周运动,半径为R=,如图所示.当R1=时,电子恰好与下板相切;当R2=时,电子恰好从下板边缘飞出两平行板(即飞出磁场).由R1=,解得v1=,由R2=,解得v2=,所以欲使电子不与平行板相碰撞,电子初速度v0应满足v0>或v0<,故选项A正确.
知识点二　带电粒子在磁场中运动的多解问题
3.(多选)质量为m、电荷量为q的负电荷,在磁感应强度为B的匀强磁场中,绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷上的静电力是洛伦兹力的3倍,则负电荷做匀速圆周运动的角速度可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 AC
【解析】 磁场方向垂直于负电荷运动的平面,其方向存在两种情形.设负电荷做匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为r,当运动负电荷受到的静电力和洛伦兹力方向相同时,有4qvB=m,可得v=;根据匀速圆周运动线速度和角速度之间的关系ω==.当运动负电荷受静电力和洛伦兹力方向相反时,同理得ω′=,故A、C正确.
4.(多选)如图所示,A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子,重力忽略不计.为把这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场.已知O、A间的距离为s,负离子的比荷为,速率为v,OP与OQ间的夹角为30°.则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　)
[A]垂直纸面向里,B>
[B]垂直纸面向里,B>
[C]垂直纸面向外,B>
[D]垂直纸面向外,B>
【答案】 BC
【解析】 当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时,由左手定则可知负离子向右偏转,负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切,如图(大圆弧),由几何知识知r2=OBsin 30°=OB,而OB=s+r2,故r2=s,所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件,由牛顿第二定律可得qvB=,解得B>,选项A错误,B正确;当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时,由左手定则可知负离子向左偏转,负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切,如图(小圆弧),由几何知识知r1=,所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件;由牛顿第二定律得qvB=,解得B>,选项C正确,D错误.
知识点三　磁场中的动态圆
5.如图所示,水平虚线边界的上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,O为水平虚线边界上一点.abcd为边长为L的正方形虚线边界,ad与水平虚线边界重合,Oa间的距离为L,正方形虚线边界内存在与水平虚线边界上方同样的磁场.一束质量为m、电荷量为-q(q>0)的粒子从O点垂直于Oa射入磁场,这些粒子具有不同的速率.不计粒子所受重力和粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 根据题意可知,当粒子由b点飞出时,运动的时间最长,运动轨迹如图所示,
设其圆心为O1,粒子做圆周运动的半径为R,由几何关系有R2-(L-R)2=L2,cos∠aO1b=
,解得R=L,∠aO1b=.粒子做圆周运动的周期为T=,则粒子在磁场中的运动时间最长为t=T,解得t=,故A正确.
6.(多选)边长为a的等边三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一束质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子(不计重力及粒子间的相互作用)从AB边的中点沿平行BC边的方向以不同的速率射入磁场区域,则(　　)
[A]从BC边射出的粒子的最大速率为
[B]从BC边射出的粒子的最大速率为
[C]能从BC边射出的粒子的最小速率为
[D]能从BC边射出的粒子的最小速率为
【答案】 AD
【解析】 如图所示,由放缩圆模型的相关知识,可以判断当粒子恰好从C点射出时,轨道半径最大,速率最大,圆心为O1,由几何关系可知,轨道半径r1=a·sin 60°=a,由牛顿第二定律可得qv1B=m,联立解得v1=,A正确,B错误;改变速率,圆半径逐步减小,当粒子的轨迹恰好与BC边相切时,轨道半径最小,速率最小,圆心为O2,由几何关系可知,轨道半径r2=×a·sin 60°=a,由牛顿第二定律可得qv2B=m,联立解得v2=,C错误,D正确.
7.长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场,从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子,若电子能打在水平板上,速度v0应满足(　　)
[A]v0>
[B]v0<
[C][D]v0>或v0<
【答案】 C
【解析】 电子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,则有ev0B=m,得R=,根据分析,可知当半径很小或者半径很大时,电子均不能够打在水平板上,两种情况下的临界点分别为轨迹恰好与水平板相切的点、轨迹恰好经过水平板的端点,如图所示,根据几何关系可知Rmin=,Rmax=,解得v0min=,v0max=,则有(选择题每题9分)
8.(多选)如图所示,竖直平行线MN、PQ间距离为a,其间存在垂直于纸面向里的匀强磁场(含边界PQ),磁感应强度大小为B,MN上O处的粒子源能沿不同方向释放比荷为的带负电粒子,速度大小相等、方向均垂直于磁场.粒子间的相互作用及重力不计.设粒子速度方向与射线OM的夹角为θ,当粒子以θ=60°的角度射入时,恰好垂直于PQ射出,则(　　)
[A]粒子的速率为
[B]PQ边界上有粒子射出的长度为2a
[C]沿θ=120°射入的粒子,在磁场中运动的时间最长
[D]从PQ边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】 ABC
【解析】 由题设条件,当粒子沿θ=60°射入时,恰好垂直于PQ射出,由几何关系求出做匀速圆周运动的半径r=2a,由洛伦兹力提供向心力有qBv=m,解得v=,A正确;以θ=120°的角度射入的粒子,由几何关系可知,其运动轨迹恰与PQ边相切,粒子从MN边射出,该粒子在磁场中偏转120°,运动时间最长,C正确;竖直向上射入的粒子从PQ边界射出的位置最高,由几何关系可得y1==a,而以θ=120°射入的粒子其轨迹与PQ相切,从PQ边界射出的位置最低,由几何关系有y2==a,所以PQ边界上有粒子射出的长度为y1+y2=2a,B正确;要使粒子从PQ边射出时运动时间最短,则以a为弦长的轨迹所对应的时间最短,由几何知识可知,其对应的圆心角θ满足sin ==,则θ≠60°,最短时间t≠×=,D错误.
9.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy的第四象限内,有垂直纸面向里的匀强磁场,现有一质量m=5.0×10-8 kg、电荷量q=1.0×10-6 C的带正电粒子,从静止开始经U0=10 V的电压加速后,从图中P点沿图示方向进入磁场,速度方向与y轴负方向的夹角为37°并垂直于磁场方向.已知OP=30 cm,粒子的重力不计,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.则:
(1)(4分)带电粒子到达P点时速度v的大小是多少
(2)(5分)若磁感应强度大小B=2 T,粒子从x轴上的Q点离开磁场,则OQ间的距离是多少
(3)(5分)若粒子不能从x轴上方射出,那么磁感应强度B的最小值是多少
【答案】 (1)20 m/s　(2)0.90 m　(3) T
【解析】 (1)对带电粒子的加速过程,由动能定理得qU0=mv2,代入数据得v=20 m/s.
(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,则有qvB=m,可得R=,代入数据得R=0.50 m
而=0.50 m
故粒子的轨迹圆心一定在x轴上,粒子到达Q点时速度方向垂直于x轴,轨迹如图甲所示.由几何关系可知OQ=R+Rsin 53°=0.90 m.
(3)当带电粒子恰好不能从x轴射出(如图乙)时,磁感应强度最小,由几何关系得OP=R′+R′sin 37°,R′=,代入数据得B′= T,则磁感应强度B的最小值是 T.
10.(15分)(2025·广东广州中学考试)如图所示,在边长为L的等边三角形ACD区域内,存在垂直于所在平面向里的匀强磁场.大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度(速度大小未确定)沿垂直于CD的方向射入磁场,经磁场偏转后三条边均有粒子射出,其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0.不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求:
(1)(5分)磁场的磁感应强度大小.
(2)(5分)要确保粒子能从CD边射出,射入的最大速度.
(3)(5分)AC、AD边上可能有粒子射出的范围.
【答案】 (1)　(2)　(3)见解析
【解析】 (1)由洛伦兹力提供向心力,则有qvB=m
周期T=
当粒子垂直AD边射出时,根据几何关系可知圆心角为60°
则t0=
联立解得B=.
(2)当轨迹圆与AC、AD都相切时,粒子能从CD边射出,半径最大,速度最大,此时
r=sin60°=L
根据qvB=m得r=
联立解得v=
所以粒子射入的最大速度为 .
(3)由(2)知,当轨迹圆与AC相切时,从AC边射出的粒子距C最远,故有粒子射出的范围为CE段,xCE=cos 60°=
当轨迹圆与AD边的交点F恰在圆心O正上方时,射出的粒子距D点最远,如图所示.
故有粒子射出的范围为DF段,
xDF==.

展开更多......

收起↑