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高一数学期中答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C D A C D A C AC BD ABD
12. 13. 14. ,
15.（ 1） 由 ， ， 可 得 ，
，所以 ． 所以
（2）由 ， ，可得 ，
由（1）得 ，所以 ，解得
（3）由（2）得 ，
所以 ．
当 时， 的最小值为 ．
16.（1）若选①：
因为 ，
由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，可得 ，又 ，所以 ；
若选②：
因为 由正弦定理可得： ，
因 ， ，所以 ，又 ，所以 ；
若选③：
因为 ，
则 可得： ，
因为 ， ，所以 ，又 ，所以 .
(2) （2）①由 ，所以 ；
②由 ，可得 ，
由（1）知 ，则 ，
所以 ，
又由余弦定理可得 ，
所以 ，所以，解得 或 （舍去），
所以 的面积为 .
17.（1） ，
由 ，
由 ，
因此有 ，
由已知得 ，
且 为角 A的平分线，所以 ，
因为 ，
则 ，
即 ，解得 ．
（2）由已知 ，又 的面积为 ，
则 ，解得 ，
又 ，
则
当且仅当 时，等号取到，所以 ；
即 边 上中线 长的最小值为 ．
（3）由正弦定理可知： ，
因此有
，
18.（1）由题意得
根据正弦定理可得： ，
根据余弦定理可得： ，即 ；
（2）
由正弦定理得，
（3）如图，
设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 可得，
，
在 中，由正弦定理得：
，
当 时，即 可得 的最大值是 .
19.（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
（2）①因为 ， ，
所以 ， ，
得到 ，
则 ，
化简并整理得 ，
解得 或 （舍去），则 ．
②依题意设 ， ， ，
如图，作出符合题意的图形，
因为 为 中点，则 ，
同理 ，
则
，
在 中， ， ， ， ，
依据余弦定理得 ，
整理得 ，
所以
，
在 中， ， ，
由正弦定理 ，
设 ，则 ， ，
，
因为 ，所以 ，则 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
即 取最小值 ，此时 取最小值 ．哈尔滨市第六中学校 2026 年下学期期中考试 6. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质
釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生
高一数学试题
各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组
时间：120 分钟 满分：150 分 合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 A．556π B．900π
是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
C．732π D．588π
1．设复数 在复平面内对应的点为 ，则复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 中， ， ， 为 与 的交点，且 ,则向量 在
2．如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 ，已知 ， ，
上的投影向量的模取得最小值时， （ ）
则四边形 的周长为（ ）
A． B．1
A． B．
C．2 D．
C． D．
3．下列说法中，正确的为（ ）
8．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥 ，且 的面积 ，则 （ ）
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 A． B． C． D．
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 二、多选题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
4. 在 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ，则 （ ） . 全部选对得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列关于复数的四个命题正确的是（ ）
A． B． C．1 D．3
A.若 ，则
5．某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔 的高度，由于河流无法直接
跨越，工程师在岸边选取了相距 80米的 （ 与该信号塔的塔底 在同一水平面上）两个测 B.若 ，则 的共轭复数的虚部为 1
量点：从 点观测该信号塔塔顶 的仰角为 ，从 点观测该信号塔塔顶 的仰角为 ，且 C.若 ，则 的最大值为 3
，则这座信号塔的高度 （ ） D.若 是方程 的两根，则
A． 米 B． 米 C．40米 D．80米
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10.菲，是一种含三个苯环的稠环芳烃，化学式为 ，存在于煤焦油中，菲的三个环的中心不 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13分）
在一条直线上，菲的分子结构图如图 1所示（图中的三个正六边形在同一平面内），将菲的分子结
构图中的 14个 C原子分别记为 ，如图 2所示，则（ ） 已知向量 ， ， ， ．
(1)求向量 与 的夹角；
(2)若 ，求实数 的值；
(3)求 的最小值．
A． B．
C． D．
11．在 中，角 所对的边分别为 ，且 ， ，则
下列选项正确的是（ ）
A. 若点 是 的重心，则 的面积为 16.（本小题满分 15分）
B 在 中，角 所对的边分别是 ，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问．
题，① ；② ；③ .
C． 的最小值为
（1）求角 的大小；
D．若点 是 的外心，且 ， ，则
（2）设 面积为 ，且 ， ，求 的面积.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为________．
13. 在梯形 ABCD中， ， ， ， ，若 EF在线段 AB上运动，
且 EF=1，则 的最小值为______．
14. 如图，在 中，若 ，
在 外取点 ，且 ， ，则 的大小为_________，
四边形 面积的最大值为________.
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17.（本小题满分 15分）
已知 ， ， ，设 的内角 所对的边分别 19.（本小题满分 17分）
如图，设 是平面内相交成 的两条射线， ， 分别为 同向的单位向量，
为 ，且 ．
(1)若 ， ， 为角 的平分线，且交 于点 ，求 的长； 若向量 ，则把有序数对 叫做向量在斜坐标系 中的坐标，记为
(2)若 的面积为 ， 为 边的中点，求 长的最小值； ．
(3)若 ，求锐角 周长的取值范围．
(1)在斜坐标系 中， ，求 ；
(2)在斜坐标系 中， ， ，且 与 的夹角 ．
①求 ；
18.（本小题满分 17分） ② 分别在射线 上， ， 为线段 上两点，且 ， ，
已知 中，角 的对边分别是 ，且 . 求 的最小值．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积 ，求 边的长；
(3)如图，作 （ 位于直线 异侧），使得四边形 满足 ，
，求边 的最大值.
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