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2026年长沙市初中学业水平考试模拟试卷(一)
数学
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3、本试题满分120分，考试时间120分钟。
题 号 一 二 三 总分
得 分
阅卷人
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在实数，，，中，有理数是(　C　)
A.　　B.　 C.　　D.
2．下列图形中，对称轴最多的是(　D　)
A．等边三角形　　B．矩形　 C．正方形　　D．圆
3．计算3的结果是(　B　)
A．2a12　　B．8a12　 C．6a7　　D．8a7
4．一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则a，b的平均数为(　B　)
A．4　　B．5　 C．8　　D．10
5．如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠C＝50°，则∠1的度数为(　C　)
A．40°　　B．50° C．130°　　D．150°
6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是(　C　)
A．跟　　B．党　 C．走　　D．听
7．若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，－3)，则它的图象也一定经过的点是(　C　)
A．(－2，－3)　　B．(－3，－2)　 C．(1，－6)　　D．(6，1)
第5题图 第6题图 第9题图 第10题图
8．为了增强学生的安全防范意识，某校初三(1)班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为(　B　)
A．14　　B．15　 C．16　　D．17
9．如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(点E不与点A，B重合)，交CD于点F.以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N.若AB＝1，则图中阴影部分的面积为(　B　)
A.－　　B.－　 C.－　 D.－
10．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是(　C　)
A．①②③　　B．①③④　　C．①③⑤　　D．②④⑤
【解析】∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，
∴2a＋b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝－2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(4，0)
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(－2，0)，所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n(m≠0)交于A(1，3)，B点(4，0)
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选C．
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．分解因式：a2－2a＋1＝　 ．
【答案】(a－1)2
12．已知1阿秒是10－18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为______________秒．
【答案】4.3×10－17
13．分式方程＋＝1的解是　 ．
【答案】x＝3
14．在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是　 cm．
【答案】π
15．如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是　 ．
【答案】2
第15题图 第16题图
16．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE．则下列结论一定正确的是　 ．(写出所有正确结论的序号)①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线．
【答案】①②④
【解析】∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；
∵AB=CB，∴∠BAD=∠BCD，而CD=ED，∴∠ECA =∠CED，∵CF∥AB，∴∠BAD=∠ECA，∴∠BAD=∠BCD=∠ECA=∠CED，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠BAD不能确定等于45°，∴与不能确定相等，所以③错误；
∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．
三、解答题(共72分)
17．(6分)计算：(－1)×3＋＋22－20260；
解：原式＝－3＋3＋4－1＝3.　
18．(6分)先化简，再求值：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷b，其中a＝2，b＝－1.
解：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b＝(2a＋b)[(2a＋b)－(2a－b)]÷b
＝(2a＋b)·2b÷b＝4a＋2b.
当a＝2，b＝－1时，原式＝4×2＋2×(－1)＝6.　
19．(6分)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
(参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6)
解：过点A作AD⊥BC于点D，
由题意，得∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里，设AD＝x海里，则CD＝AD＝x海里．
在Rt△ABD中，BD＝＝x＋6，
解得x≈10.
∵10＞9，
∴如果渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁的危险．　
20．(8分)长沙是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来长沙旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览．
(1)甲选择A景点的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．
解：(1)
(2)根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种，
∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是
21．(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
解：(1)在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8.
在Rt△ADC中，tan∠ACB＝＝1，
∴DC＝6.
∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14.
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴BE＝BC＝7.
∴DE＝BD－BE＝8－7＝1.
∴AE＝＝＝.
∴sin∠DAE＝＝＝.　
22．(9分)今年，长沙市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
(1)求在甲、乙两个商店租用的服装每套各多少元．
(2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
解：(1)设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套(x＋10)元，
由题意可得＝，解得x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意．
∴x＋10＝50，
∴甲、乙两个商店租用的服装每套分别为50元、40元．
(2)乙商店租用服装的费用较少．理由如下：
该参赛队伍准备租用20套服装时，
甲商店的费用为50×20×0.9＝900(元)，
乙商店的费用为40×20＝800(元)，
∵900＞800，∴乙商店租用服装的费用较少．
23．(9分)如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积.
解：(1)证明：在 ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ADG＝∠CBE，
∵∠DGE＝∠DAC＋∠ADG，
∠BEG＝∠BCA＋∠CBE，
∴∠DGE＝∠BEG，∴BE∥DG.
在△ADG和△CBE中，∠DAC＝∠BCA，AD＝CB，∠ADG＝∠CBE，
∴△ADG≌△CBE(ASA)，∴BE＝DG.
(2)过E点作EH⊥BC于点H，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，∴EH＝EF＝6，
∵ ABCD的周长为56，∴AB＋BC＝28，
∴S△ABC＝AB·EF＋BC·EH＝EF(AB＋BC)＝×6×28＝84.
24．(10分)△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
(1)求证：△BDF∽△CEF；
(2)若a＝4，设BF＝m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；
(3)已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF＝，求此圆直径．
解：(1)∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF＝∠CEF＝90°．
∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．
∵∠BDF＝∠CEF，∠B＝∠C，∴△BDF∽△CEF．
(2)∵∠BDF＝90°，∠B＝60°，
∴sin60°＝＝，cos60°＝＝．
∵BF＝m，∴DF＝m，BD＝m．
∵AB＝4，∴AD＝4－m．
∴S△ADF＝AD DF＝×(4－m)×m＝－m2+m．
同理：S△AEF＝AE EF＝×(4－)×(4－m)＝－m2＋2．
∴S＝S△ADF＋S△AEF＝－m2＋m＋2＝－(m2－4m－8)
＝－(m－2)2＋3．其中0＜m＜4．
∵－＜0，0＜2＜4，
∴当m═2时，S取最大值，最大值为3．
∴S与m之间的函数关系为：S═－(m－2)2＋3(其中0＜m＜4)．
当m═2时，S取到最大值，最大值为3．
(3)如图2，
∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF═∠EAF．
∵∠ADF═∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．
∵tan∠EDF═，∴tan∠EAF═．
∴═．
∵∠C═60°，
∴═tan60°═．
设EC═x，则EF═x，EA═2x．
∵AC═a，∴2x＋x═a．
∴x═．∴EF═a，AE═．
∵∠AEF═90°，∴AF══a．
∴此圆直径长为a．
25．(10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点(－1，－1)，(0，0)，(，)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
(1)若点P(2，m)是反比例函数y＝(n为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
(2)函数y＝3kx＋s－1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，令t＝b2－2b＋，试求出t的取值范围．
解：(1)∵点P(2，m)是“梦之点”，
∴m＝2，
∵点P(2，2)在反比例函数y＝(n为常数，n≠0)的图象上，
∴n＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
(2)假设函数y＝3kx＋s－1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”(x，x)，
则有x＝3kx＋s－1，整理，得(3k－1)x＝1－s，
当3k－1≠0，即k≠时，解得x＝；
当3k－1＝0，1－s＝0，即k＝，s＝1时，x有无穷多解；
当3k－1＝0，1－s≠0，即k＝，s≠1时，x无解；
综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为(，)；当k＝，s＝1时，“梦之点”有无数个；当k＝，s≠1时，不存在“梦之点”；
(3)∵二次函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，
∴x1＝ax2 1＋bx1＋1，x2＝ax2 2＋bx2＋1，
∴ax2 1＋(b－1)x1＋1＝0，ax2 2＋(b－1)x2＋1＝0，
∴x1，x2是一元二次方程ax2＋(b－1)x＋1＝0的两个不等实根，
∴x1＋x2＝，x1 x2＝，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1 x2＝()2－4 ＝＝4，
∴b2－2b＝4a2＋4a－1＝(2a＋1)2－2，
∴t＝b2－2b＋＝(2a＋1)2－2＋＝(2a＋1)2＋．
∵－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，
∴－4＜x2＜0或0＜x2＜4，
∴－4＜x2＜4，
∴－8＜x1 x2＜8，
∴－8＜＜8，
∵a＞0，∴a＞
∴(2a+1)2＋＞＋＝，∴t＞．
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2 / 22026年长沙市初中学业水平考试模拟试卷（一）
19.(6分)
数学答题卡
姓名：
学校
班级：
考号：
+东
注
填涂时用2B铅笔将选中项涂满涂黑，黑度以盖过框内字母为准。
意
修改时用橡皮擦干净。注意题号顺序。保持答题卡整洁，不要折
贴条形码区
事
叠、污损。缺考标记与作弊标记由监考老师填涂。
缺考考生由监考员贴条形码
价
正确填涂：■
一、
选择题（每小题3分，共30分）
1[A][B][C][D]
6[A][B][C][D]
2[A][B][C][D]
7[A][B][C][D
3[A][B][C][D]
8[A][B][C][D]
4[A][B][C][D]
9[A][B][C][D]
20.(8分)
5[A][B][C][D]10[A[B][C][D]
二、填空题（每小题3分，共18分）
还
12.
13.
14.
15.
16.
三、解答题（共72分）
17.(6分)
21.(8分)
18.(6分)
■
第1页共2页
■
22.(9分)
24.(10分)
23.(9分)
25.(10分)
■
■
■
第2页共2页2026 年长沙市初中学业水平考试模拟试卷 一 A．(－2，－3) B．(－3，－2) C．(1，－6) D．(6，1) ( )
数学
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题 第 5 题图 第 6 题图 第 9 题图 第 10 题图
目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
8．为了增强学生的安全防范意识，某校初三(1)班班委举行了一次安全知识抢答赛，
写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。 抢答题一共 20 个，记分规则如下：每答对一个得 5 分，每答错或不答一个扣 1 分．小红
3、本试题满分 120分，考试时间 120分钟。 一共得 70 分，则小红答对的个数为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
题 号 一 二 三 总分 9．如图，在正方形 ABCD 中，AC 和 BD 交于点 O，过点 O 的直线 EF 交 AB 于点
得 分
E(点 E 不与点 A，B 重合)，交 CD 于点 F.以点 O 为圆心，OC 为半径的圆交直线 EF 于
阅卷人
点 M，N.若 AB＝1，则图中阴影部分的面积为( )
π 1 π 1 π 1 π 1
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) A. － B. － C. － D. － 8 8 8 4 2 8 2 4
2
1．在实数 2， 3， 4， 5中，有理数是( ) 10．如图是抛物线 y1＝ax ＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A(1，3)，
与 x 轴的一个交点 B(4，0)，直线 y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程 ax2＋bx＋c＝3 有两个相等的实数根；④抛物线与 x 轴
2．下列图形中，对称轴最多的是( )
的另一个交点是(－1，0)；⑤当 1＜x＜4 时，有 y2＜y1，其中正确的是( )
A．等边三角形 B．矩形 C．正方形 D．圆
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
3．计算(2a4)3 的结果是( ) 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)
A．2a12
2
B．8a12 C．6a7 D．8a7 11．分解因式：a －2a＋1＝ ．
－18
4．一组数据 4，5，6，a，b 的平均数为 5，则 a，b 的平均数为( ) 12．已知 1 阿秒是 10 秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短
A．4 B．5 C．8 D．10 的单个阿秒光学脉冲是 43 阿秒．将 43 阿秒用科学记数法表示为______________秒．
5．如图，直线 AB，CD 被直线 CE 所截，AB∥CD，∠C＝50°，则∠1 3－x 113．分式方程 ＋ ＝1 的解是 ．
x－4 4－x
的度数为( )
14．在半径为 1cm 的圆中，圆心角为 120°的扇形的弧长是 cm．
A．40° B．50° C．130° D．150°
6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是( )
A．跟 B．党 C．走 D．听
k
7．若反比例函数 y＝ (k≠0)的图象经过点(2，－3)，则它的图象也一定经
x
过的点是( ) 第 15 题图 第 16 题图
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15．如图，在△ABC 中，E 是中线 AD 的中点．若△AEC 的面积是 1，则△ABD 的 21．(8 分)如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 是 BC 边上的中线，AB＝
面积是 ． 10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
16．如图，在△ABC 中，AB＝CB，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D．过点 C 作 CF (1)求 BC 的长；
∥AB，在 CF 上取一点 E，使 DE＝CD，连接 AE．则下列结论一定正确的是 ．(写 (2)求 sin∠DAE 的值．
︵ ︵
出所有正确结论的序号)①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③BD=AD；④AE 为⊙O 的切线．
三、解答题(共 72 分)
17．(6 分)计算：(－1)×3＋ 9＋22－20260；
18．(6 分)先化简，再求值：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷b，其中 a＝2，b＝－1.
22．(9 分)今年，长沙市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课
本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在
19．(6 分)如图，灯塔 A 周围 9 海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至 B 处，测得 乙商店租用服装每套多 10 元，用 500 元在甲商店租用服装的数量与用 400
灯塔 A 在北偏西 58°方向上，继续航行 6 海里后到达 C 处，测得灯塔 A 在西北方向上．如 元在乙商店租用服装的数量相等．
果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ (1)求在甲、乙两个商店租用的服装每套各多少元．
(参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈ (2)若租用 10 套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备
0.530，tan58°≈1.6) 租用 20 套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
23．(9 分)如图，在 ABCD 中，BE，DG 分别平分∠ABC，∠ADC，交
AC 于点 E，G.
(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；
(2)过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F.若 ABCD 的周长为 56，EF＝6，求△
ABC 的面积.
20．(8 分)长沙是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来长沙旅游，两
人分别从 A，B，C 三个景点中随机选择一个景点游览．
(1)甲选择 A 景点的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择 C 景点的概率．
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24．(10 分)△ABC 为等边三角形，边长为 a，DF⊥AB，EF⊥AC， 25．(10 分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之
(1)求证：△BDF∽△CEF；
点”，例如点(－1，－1)，(0，0)，( 2， 2)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之
(2)若 a＝4，设 BF＝m，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函
点”有无数个．
数关系，并探究当 m 为何值时 S 取最大值；
n
3 (1)若点 P(2，m)是反比例函数 y＝ (n 为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”，求这个
(3)已知 A、D、F、E 四点共圆，已知 tan∠EDF＝ ，求此圆直径． x
2
反比例函数的解析式；
(2)函数 y＝3kx＋s－1(k，s 是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦
之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若二次函数 y＝ax2＋bx＋1(a，b 是常数，a＞0)的图象上存在两个不同的“梦之
157
点”A(x
2
1，x1)，B(x2，x2)，且满足－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，令 t＝b －2b＋ ，试求出 t48
的取值范围．
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第3页，共 3页2026年长沙市初中学业水平考试模拟试卷(一)
数学
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3、本试题满分120分，考试时间120分钟。
题 号 一 二 三 总分
得 分
阅卷人
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在实数，，，中，有理数是(　　)
A.　　B.　 C.　　D.
2．下列图形中，对称轴最多的是(　　)
A．等边三角形　　B．矩形　 C．正方形　　D．圆
3．计算3的结果是(　　)
A．2a12　　B．8a12　 C．6a7　　D．8a7
4．一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则a，b的平均数为(　　)
A．4　　B．5　 C．8　　D．10
5．如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠C＝50°，则∠1的度数为(　　)
A．40°　　B．50° C．130°　　D．150°
6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是(　　)
A．跟　　B．党　 C．走　　D．听
7．若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，－3)，则它的图象也一定经过的点是(　　)
A．(－2，－3)　　B．(－3，－2)　 C．(1，－6)　　D．(6，1)
第5题图 第6题图 第9题图 第10题图
8．为了增强学生的安全防范意识，某校初三(1)班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为(　　)
A．14　　B．15　 C．16　　D．17
9．如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(点E不与点A，B重合)，交CD于点F.以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N.若AB＝1，则图中阴影部分的面积为(　　)
A.－　　B.－　 C.－　 D.－
10．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是(　　)
A．①②③　　B．①③④　　C．①③⑤　　D．②④⑤
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．分解因式：a2－2a＋1＝　 ．
12．已知1阿秒是10－18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为______________秒．
13．分式方程＋＝1的解是　 ．
14．在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是　 cm．
第15题图 第16题图
15．如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是　 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE．则下列结论一定正确的是　 ．(写出所有正确结论的序号)①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线．
三、解答题(共72分)
17．(6分)计算：(－1)×3＋＋22－20260；
18．(6分)先化简，再求值：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷b，其中a＝2，b＝－1.
19．(6分)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
(参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6)
20．(8分)长沙是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来长沙旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览．
(1)甲选择A景点的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．
21．(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
22．(9分)今年，长沙市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
(1)求在甲、乙两个商店租用的服装每套各多少元．
(2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
23．(9分)如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积.
24．(10分)△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
(1)求证：△BDF∽△CEF；
(2)若a＝4，设BF＝m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；
(3)已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF＝，求此圆直径．
25．(10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点(－1，－1)，(0，0)，(，)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
(1)若点P(2，m)是反比例函数y＝(n为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
(2)函数y＝3kx＋s－1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，令t＝b2－2b＋，试求出t的取值范围．
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2 / 22026年长沙市初中学业水平考试模拟试卷（一）
数学 答题卡
姓名： 学校： 班级： 考号：
注 意 事 项 填涂时用2B铅笔将选中项涂满涂黑，黑度以盖过框内字母为准。修改时用橡皮擦干净。注意题号顺序。保持答题卡整洁，不要折叠、污损。缺考标记与作弊标记由监考老师填涂。 正确填涂： 贴条形码区 缺考考生由监考员贴条形码
一、选择题(每小题3分，共30分)
二、填空题(每小题3分，共18分)
11. 12.
13. 14.
15. 16.
三、解答题(共72分)
17.(6分)
18.(6分)
19.(6分)
20.(8分)
21.(8分)
22.(9分)
23.(9分)
24.(10分)
25.(10分)
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A
D
F
5
B
C
A
E
D
B
C
R
1[A][B][C][D]
6[A][B][C][D]
2[A][B][C][D]
7[A][B][C][D]
3[A][B][C][D]
8[A][B][C][D]
4[A][B][C][D]
9[A][B][C][D]
5[A][B][C][D]10[A][B][C][D]

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