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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.2　函数的单调性与最值
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值. 2.理解函数的单调性、最大(小)值的作用和实际意义. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T4 新课标Ⅰ卷T6 全国一卷T8
新课标Ⅱ卷T8
必备知识　回顾
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
知识梳理
项目 增函数 减函数 定 义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1特别地,当函数f(x)在它的定义域上________时,我们就称它是减函数
f(x1)单调递增
单调递增
f(x1)>f(x2)
单调递减
单调递减
项目 增函数 减函数
图 象 描 述 自左向右看图象是______
自左向右看图象是______
上升的
下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上________或________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,______叫做y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 x∈D,都有________. x0∈D,使得___________ x∈D,都有________.
x0∈D,使得______________
结论 M为最大值 M为最小值
单调递增
单调递减
区间I
f(x)≤M
f(x0)=M
f(x)≥M
f(x0)=M
1.函数单调性的等价定义
设任意x1,x2∈I(x1≠x2),则
(1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0) f(x)在I上单调递增.
(2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0) f(x)在I上单调递减.
2.有关单调性的常用结论
在公共定义域内,增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数;增函数-减函数=增函数;减函数-增函数=减函数.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)对于函数y=f(x),若f(1)(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上单调递增,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(　 　)
(3)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　 　)
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增.(　 　)
基础检测
×
×
×
×
2.(人教A版必修第一册P86习题3.2T7(1)改编)函数f(x)=的单调递增区间是____________.
解析:由题意可知x2-2x≥0,解得x≤0或x≥2,所以函数f(x)的定义域为 (-∞,0]∪[2,+∞),设y=,u=x2-2x,二次函数u=x2-2x的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(-∞,1),所以f(x)的单调递增区间是[2,+∞).
[2,+∞)
3.(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f(x)=(x∈[2,6]),则f(x)的最小值为____,最大值为__.
解析:因为f(x)=在[2,6]上单调递减,所以f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(6)=.
2
4.(苏教版必修第一册P122习题5.3T4改编)若f(x)是定义在(-3,6)上的减函数,且f(2x+1)>f(5),则x的取值范围为________________.
解析:由题意得解得-2{x|-2关键能力　提升
考点1 确定函数的单调性
命题角度1　求函数的单调区间
【例1】　(2026·广东广州期中)函数f(x)=的单调递增区间为(　 　)
A. B.(-∞,-1]
C.
C
【解析】　由题意可得2x2-x-3≥0,解得x≤-1或x≥(易错点:确定单调区间前应先确定定义域),根据二次函数及复合函数的性质可知, f(x)=
.故选C.
命题角度2　利用定义证明函数的单调性
【例2】　设函数f(x)=,根据定义证明函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
【证明】　任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x11.求函数的单调区间,应先求定义域,再在定义域上求单调区间.
2.(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
易错警示:不连续且单调性相同的单调区间要分开写,且用“,”或“和”连接,不能用“∪”连接.
规律总结
【对点训练1】　(1)下列函数中,在R上单调递增的是(　 　)
A.f(x)=x2+2x+1
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
D
解析:对于A,f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,故f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在 (-1,+∞)上单调递增,故A错误;对于B,f(x)=在R上单调递减,故B错误;对于C,f(x)=的定义域为[0,+∞),且f(x)在[0,+∞)上单调递增,故C错误;对于D,ln 1=1-1,y=x-1在(-∞,1]上单调递增, y=ln x在(1,+∞)上单调递增,画出f(x)=的图象如图,则f(x)=在R上单调递增,
故D正确.故选D.
(2)(苏教版必修第一册P135本章测试T15改编)函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间是(　 　)
A.(-∞,-2) B.(-∞,-2)和(0,2)
C.(-2,2) D.(-2,0)和(2,+∞)
解析:f(x)=x2-4|x|+3=则由二次函数的性质知,当x≥0时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1的单调递减区间是(0,2);当x<0时,f(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1的单调递减区间是(-∞,-2).故f(x)的单调递减区间是(-∞,-2)和(0,2).故选B.
B
考点2 求函数的最值(值域)
【例3】　(1)(2025·广东肇庆二模)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是____.
【解析】　当x<1时,f(x)=2-x+1,f(x)单调递减,所以f(x)>2-1+1=.当x≥1时,f(x)=x2-6x+4,f(x)在区间[1,3)上单调递减,在区间[3,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(3)=-5.综上所述,f(x)的最小值是-5.
-5
(2)(人教B版必修第一册P107练习BT1改编)已知函数f(x) = 若f(x)存在最小值,则实数a的最大值为__.
【解析】　当x-2a+4a=2a且2a<0,由x≥a可得f(x)min=f(0)=0,此时函数取不到最小值;当a=0时,由x-2a+4a=2a=0,由x≥a可得f(x)min=f(0)=0,此时函数存在最小值;当a>0时,若f(x)存在最小值,则 -2a+4a≥a2,解得02
1.求函数最值(值域)的三种基本方法
(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值(值域).
(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值(值域).
(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(值域).
2.对于较复杂函数,可运用导数,求出在给定区间上的单调性或极值,然后结合端点函数值求出最值(值域).
规律总结
【对点训练2】　(1)设函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则.
解析:f(x)=,x∈[3,4],因为x∈[3,4]时,x-2>0,随着x的增大,函数f(x)的值越来越小,即函数f(x)=在[3,4]上单调递减,所以M=f(3)=6,m=f(4)=4,所以.
(2)若函数f(x)=的最小值为f(0),则实数m的取值范围为_______.
解析:当x≤0时,f(x)=x2+mx+1,y=x2+mx+1的图象关于直线x=-对称,因为f(x)的最小值为f(0),所以-≥0,即m≤0;当x>0时,f(x)=x++m=m+2,当且仅当x=1时等号成立,因为f(x)的最小值为f(0),所以f(0)≤m+2,即1≤m+2,解得m≥-1.综上可知,实数m的取值范围为[-1,0].
[-1,0]
考点3 函数单调性的应用
命题角度1　比较函数值的大小
【例4】　已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则(　 　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
【解析】　易知函数y=2x和y=-在(1,+∞)上均单调递增,所以f(x)=2x-在(1,+∞)上单调递增.又>1,故f()>f()>f(),即c>b>a.故选D.
D
命题角度2　解不等式
【例5】　(2025·山东烟台三模)已知函数f(x)=ln x+2x,若f(2t)<2,则实数t
的取值范围是.
【解析】　因为y=ln x和y=2x在(0,+∞)上均单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln 1+21=2,可得f(2t)命题角度3　求参数的取值范围
【例6】　(2026·河北石家庄二中期中)已知函数f(x)=满足对任意实数x1>x2,都有f(x1)A.
C.
C
【解析】　由题意得f(x)在R上单调递减,则,即实数a的取值范围是.故选C.
1.比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
2.求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域.
3.求参数的值(范围)时,根据单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.
规律总结
【对点训练3】　(1)已知函数f(x)=x+,x∈(1,+∞),则下列不等式恒成立的是(　 　)
A.f(8)>f(k2+2k+4)
B.f(6)>f(k2+2k+4)
C.f(4)D.f(2)D
解析:任取x1,x2∈(1,+∞)且x11,∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增.又k2+2k+4=(k+1)2+3≥3>2,∴f(2)(2)(苏教版必修第一册P122习题5.3T4改编)定义在[-2,2]上的函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(x1≠x2),且f(x)>f(2x-1),则实数x的取值范围为(　 　)
A.(-∞,1) B.
C. D.[-1,1)
C
解析:由题意知,f(x)在[-2,2]上单调递增,则f(x)>f(2x-1) ≤x<1.故选C.
(3)(2025·山西太原二模)若函数f(x)=在(0,2]上单调递减,则实数a的取值范围是(　 　)
A.(0,2] B.(0,4]
C.[2,+∞) D.[4,+∞)
解析:当a=0时,f(x)=为增函数,不符合题意,当a<0时,y=,y=均为增函数,故f(x)=为增函数,不符合题意,当a>0时,f(x)=在[a,+∞)上单调递增,在(0,a]上单调递减.又f(x)=在(0,2]上单调递减,所以a≥2.故选C.
C
考教衔接
B
高考真题 教材典题
1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　 　) A.(-∞,0]　 　　 B.[-1,0]　 　　 C.[-1,1]　 　　 D.[0,+∞) 1.(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4)已知函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上具有单调性,求实数k的取值范围.
解析:因为f(x)在R上单调递增,且x≥0时,f(x)=ex
+ln(x+1)单调递增,所以需满足解
得-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].故选B.
A
高考真题 教材典题
2.(2023·全国甲卷文)已知函数f(x)=,b=f,c=f,则 (　 　) A.b>c>a　　　　　　　　　　　 B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 2.(人教B版必修第一册P116习题3-1BT7)已知函数f(x)=ax2-2ax-3,其中a>0,运用函数的性质,比较f(-2)与f(4), f(-3)与f(3)的大小.
高考真题 教材典题
解析:令g(x)=-(x-1)2,则g(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1,因为,而()2-42=9+6-7>0,所以>0,即,由二次函数性质知g,而()2-42=8+4-8=4(-2)<0,即,由二次函数性质知g.综上,g.又y=ex为增函数,故ac>a.故选A.
课时作业7
1.(5分)下列函数中与函数y=|x|在区间(0,+∞)上单调性不一致的是(　 　)
A.y=2x-1 B.y=
C.y= D.y=x2
基础巩固
B
解析:由y=|x|,得y=所以函数y=|x|在区间(0,+∞)上单调递增.对于A,由一次函数的图象可知,y=2x-1在区间(0,+∞)上单调递增,故A不合题意;对于B,由反比例函数的图象可知,y=在区间(0,+∞)上单调递减,故B符合题意;对于C,y=,由幂函数的图象可知,y=在区间(0,+∞)上单调递增,故C不合题意;对于D,由二次函数的图象可知,y=x2在区间(0,+∞)上单调递增,故D不合题意.故选B.
2.(5分)函数g(x)=x|x-1|+1的单调递减区间为(　 　)
A.
B.
C.[1,+∞)
D.∪[1,+∞)
B
解析:g(x)=x|x-1|+1=画出函数图象,如图,可知函数的单调递减区间为.故选B.
3.(5分)已知函数f(x)=,则 (　 　)
A.f(x)的定义域为(1,+∞)
B.f(x)在区间[-2,0]上单调递增
C.f(x)在区间[-2,0]上的最大值为-
D.f(3)C
解析:对于A,f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),故A错误;对于B,易知f(x)在区间(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减,则f(x)在区间[-2,0]上单调递减,故B错误;对于C,由B知当x∈[-2,0]时,f(x)max=f(-2)=-,故C正确;对于D,由B知,f(3)>f(4)>f(5),故D错误.故选C.
4.(5分)(2026·湖南娄底模拟)已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是 (　 　)
A.(-∞,-1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[-1,1]
解析:因为f(x)=x3+1在区间[-1,+∞)上单调递增,所以只需要解得-1≤a≤1.故选D.
D
5.(5分)若函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为3,则实数m=(　 　)
A.-1　　 B.1
C.3　　　 D.-3
解析:函数f(x)=,当m>2时,f(x)=在区间[0,1]上单调递减,最大值为f(0)=m=3;当m<2时,f(x)=在区间[0,1]上单调递增,最大值为f(1)==3,解得m=4,不合题意.所以实数m=3.故选C.
C
6.(5分)已知函数f(x)=,则 (　 　)
A.f()>f()>f(-1)
B.f()>f()>f(-1)
C.f()>f(-1)>f()
D.f(-1)>f()>f()
A
解析:由函数f(x)=有意义,得4-x2>0,解得-2-1,所以f()>f()>f(-1).故选A.
7.(6分,多选)已知f(x)为区间(-∞,+∞)上的减函数,且a∈(0,+∞),则(　 　)
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a2+1)ACD
解析:对于A,因为a∈(0,+∞),所以a<2a,又f(x)为区间(-∞,+∞)上的减函数,故f(a)>f(2a),故A正确;对于B,因为a2-a=a(a-1)与0的大小关系不确定,所以无法比较f(a2)与f(a)的大小,故B错误;对于C,因为a2+1-a=>0,所以a2+1>a,又f(x)为区间(-∞,+∞)上的减函数,所以f(a2+1)0,所以a2+a>a,又f(x)为区间(-∞,+∞)上的减函数,所以f(a2+a)8.(6分,多选)已知函数f(x)=下列说法正确的是 (　 　)
A.函数f(x)是减函数
B. a∈R,f(a2)>f(a-1)
C.若f(a-4)>f(3a),则a的取值范围是(-2,+∞)
D.f(x)在区间[1,2]上的最大值为0
ACD
解析:作出f(x)的图象如图.对于A,由图象知函数f(x)是减函数,故A正确;对于B,因为a2-(a-1)=a2-a+1=>0,所以a2>a-1,又因为函数f(x)是减函数,所以f(a2)f(3a),所以a-4<3a,解得a>-2,故C正确;对于D,由图象可知D正确.故选ACD.
9.(5分)(2025·广东茂名一模)已知函数f(x)=在区间(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围为______.
解析:由x2-6x+5≥0,可得x≤1或x≥5,即函数f(x)的定义域为 (-∞,1]∪[5,+∞),又t=x2-6x+5在[5,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减,y=在[0,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性可知f(x)=在区间[5,+∞)上单调递增,所以a≥5.
[5,+∞)
10.(5分)设函数f(x)=则满足f(t-1)解析:因为函数y=2x-1在R上单调递增,函数y=1为常数函数,所以分段函数f(x)在(-∞,1]上单调递增,在(1,+∞)上不具有单调性,且f(1)=21-1=1,即当x≤1时,f(x)≤1.因为f(t-1)(-1,2)
11.(18分)已知函数f(x)=.
(1)根据定义证明函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增;
解:证明:任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1因为x1,x2∈(-1,+∞),x10,x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2)求函数f(x)在区间[1,4]上的最大值和最小值.
解:由(1)知f(x)在区间[1,4]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=-,f(x)max=
f(4)=1,所以函数f(x)在区间[1,4]上的最大值为1,最小值为-.
12.(20分)已知函数f(x)=x-.
(1)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并用函数单调性的定义证明;
解:f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)==(x1-x2)-,
因为x1,x2∈(0,+∞),且x10,x1-x2<0,
于是<0,即f(x1)(2)求关于x的不等式f(2x2+2|x|)>f(x2+3)的解集.
解:因为2x2+2|x|>0,x2+3>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
所以2x2+2|x|>x2+3,即x2+2|x|-3>0,解得x>1或x<-1.所以不等式的解集为{x|x>1或x<-1}.
13.(5分)设a=,b=,c=,则(　 　)
A.c>b>a B.a>b>c
C.a>c>b D.c>a>b
解析:设f(x)=,当x>1时,x2-1>0,则y=在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(2 024)> f(2 025)>f(2 026),即a>b>c.故选B.
素养提升
B
14.(5分)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞), x,y∈(0,+∞),满足f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)<0,且f(2)=-3,则不等式f(x-7)-f>-9的解集为(　 　)
A.(-1,8)
B.(7,8)
C.(8,+∞)
D.(0,7)∪(8,+∞)
B
解析:因为函数f(x)的定义域为(0,+∞), x,y∈(0,+∞),满足f(xy)=f(x)+f(y),又当x>1时,f(x)<0,所以令x1=xy>0,x2=y>0且x>1,则x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(xy)-f(y)=f(x)<0,所以f(x1)-9=f(8)可化为f(x-7)>f(8)+f,所以解得7-9的解集为(7,8).故选B.
本课结束

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