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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.3　函数的奇偶性与周期性
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解函数的奇偶性、周期性的概念和几何意义. 2.掌握函数的奇偶性、周期性的简单应用. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T11 全国一卷T5
新课标Ⅱ卷T4 新课标Ⅱ卷T6
必备知识　回顾
1.函数的奇偶性
知识梳理
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且____________,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于
____
对称
奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且____________,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于
____
对称
f(-x)=f(x)
y轴
f(-x)=-f(x)
原点
2.函数的周期性
(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且______________,那么函数y=f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数,那么这个________就叫做f(x)的最小正周期.
f(x+T)=f(x)
最小
最小正数
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任意自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0).
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y=x2在(0,+∞)上是偶函数.(　 　)
(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0. (　 　)
(3)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.(　 　)
(4)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.(　 　)
基础检测
×
×
√
×
2.(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)给出下列函数,其中是奇函数的有(　 　)
A.f(x)=x4 B.f(x)=x5
C.f(x)=x+ D.f(x)=
解析:对于A,f(x)=x4的定义域为R,由f(-x)=(-x)4=x4=f(x),可知f(x)=x4是偶函数,对于B,C,D,同理可知f(x)=x5,f(x)=x+是奇函数,f(x)=是偶函数.故选BC.
BC
3.(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)若f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=1-,则当x<0时,f(x)=__________.
解析:当x<0时,-x>0,∴f(-x)=1-,又f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)= -1+,∴当x<0时,f(x)=-1+.
-1+
4.设f(x)是以2为最小正周期的周期函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,则f(5)=__,f__.
解析:f(5)=f(1)=(1-1)2=0,f.
0
关键能力　提升
考点1 函数奇偶性的判断
【例1】　判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3-;
【解】原函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且对于定义域内的任意一个x都有f(-x)=(-x)3-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
(2)f(x)=;
【解】由得-2因此f(x)=lg(4-x2),所以f(-x)=f(x),因此函数f(x)是偶函数.
(3)f(x)=;
【解】f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)(一题多解)f(x)=
【解】方法一(定义法)　当x>0时,
-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,-x>0,
f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x),所以f(x)为奇函数.
方法二(图象法)　如图,作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
规律总结
(2)图象法
(3)性质法
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
【对点训练1】　(1)(2025·河南许昌三模)下列函数中,值域为R且为奇函数的是(　 　)
A.y=ex-1 B.y=xsin x
C.y=
D
解析:对于A,令f(x)=y=ex-1,定义域为R,而f(-x)≠-f(x),∴该函数不是奇函数,故A错误.对于B,令g(x)=y=xsin x,定义域为R,g(-x)=(-x)sin(-x)= (-x)×(-sin x)=xsin x=g(x),∴该函数是偶函数,不是奇函数,故B错误.对于C,令m(x)=y=,定义域为{x|x≠0},m(-x)==-m(x),∴该函数是奇函数.但其值域为(-∞,0)∪(0,+∞),不是R,故C错误.对于D,令n(x)=y=x-,定义域为{x|x≠0},n(-x)=-x-=-n(x),∴该函数是奇函数.当x趋于正无穷时,y=x-趋于正无穷,当x趋于0时,y=x-趋于负无穷,并且函数在(0,+∞)上是连续的,∴值域为R,故D正确.故选D.
(2)(多选)(人教B版必修第一册P115练习BT4改编)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则 (　 　)
A.f(x)+g(x)是奇函数
B.f(x)|g(x)|是奇函数
C.f(x)g(x)是奇函数
D.f(g(x))是偶函数
BCD
解析:对于A,因为f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],所以f(x)+g(x)不是奇函数,故A错误;对于B,因为f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故B正确;对于C,因为f(-x)g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故C正确;对于D,因为f(g(-x))=f(g(x)),所以f(g(x))是偶函数,故D正确.故选BCD.
考点2 函数奇偶性的应用
命题角度1　利用函数的奇偶性求值(解析式)
【例2】　(1)(2026·天津和平区一模)已知函数f(x)=(x+a)·是偶函数,则实数a=(　 　)
A.-2 B.0
C.2 D.4
B
【解析】　对于函数f(x)=(x+a)·,有e2x-1≠0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(x)=(x+a)·是偶函数,所以f(-x)=f(x),即,可得a-x=-(x+a)对任意的x≠0恒成立,则a=0.故选B.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=4-x+1,则函数f(x)的解
析式为_____________________.
【解析】　当x>0时,-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-(4x+1)=-4x-1,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,综上,函数f(x)的解析式为f(x)=
f(x)=
命题角度2　奇偶性与单调性
【例3】　(1)(2025·河北石家庄一模)已知函数f(x)=x2+ln(ex+e-x)-2,则不等式f(x+2)≤f(2x-3)的解集为 (　 　)
A.
B.(-∞,-5]∪
C.
D.∪[5,+∞)
D
【解析】易知函数定义域为R,又f(-x)=(-x)2+ln(e-x+ex)-2=x2+ln(ex+e-x)-2=f(x),故f(x)为偶函数,当x≥0时,ex≥1,所以y=ex+e-x=ex+,令t=ex,t≥1,结合对勾函数y=t+在[1,+∞)上单调递增,y=ex在[0,+∞)上单调递增,可知y=ex+e-x在[0,+∞)上单调递增,又y=ln x在(0,+∞)上单调递增,故y=ln(ex+e-x)在[0,+∞)上单调递增,易知f(x)=x2+ln(ex+e-x)-2在[0,+∞)上单调递增,结合函数为偶函数及f(x+2)≤f(2x-3)可得|x+2|≤|2x-3|,两边平方得3x2-16x+5≥0,解得x≥5或x≤,所以不等式f(x+2)≤f(2x-3)的解集为∪[5,+∞).故选D.
(2)(2025·山东日照一模)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①f(-x)-f(x)=0;②对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1≠x2时都有>0.则 f(-),f(π),f(-3)的大小关系是(　 　)
A.f(π)>f(-3)>f(-)
B.f(π)>f(-)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)A
【解析】　因为定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(-x)-f(x)=0,所以函数f(x)是偶函数,对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1≠x2时都有>0,所以不妨设x1>x2,则有f(x1)-f(x2)>0 f(x1)>f(x2),因此当x∈[0,+∞)时,函数f(x)是增函数,因为函数f(x)是偶函数,所以f(-)=f(),f(-3)=f(3),因为x∈[0,+∞)时,函数f(x)是增函数,所以f(π)>f(3)>f(),即f(π)>f(-3)> f(-).故选A.
1.求函数值或参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值,或得到关于参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
2.比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
3.解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,再利用单调性把符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
规律总结
【对点训练2】　(1)(2025·天津河西区二模)已知函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,则f(-2)= (　 　)
A.-3　　 B.4
C.5　　　 D.6
解析:因为函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,所以f(-2)-2=f(2)+2,故 f(-2)=f(2)+4=2+4=6.故选D.
D
(2)(2026·河北唐山一模)已知函数f(x)=e|x|,则 (　 　)
A.f(5)>f(-3)>f(2)
B.f(-3)>f(2)>f(5)
C.f(5)>f(2)>f(-3)
D.f(2)>f(5)>f(-3)
解析:已知f(x)=e|x|,其定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=e|-x|=e|x|=f(x),所以函数f(x)是偶函数,所以f(-3)=f(3).当x≥0时,f(x)=ex.因为e>1,所以f(x)=ex在[0,+∞)上单调递增.又5>3>2,所以f(5)>f(3)>f(2),所以f(5)> f(-3)>f(2).故选A.
A
考点3 函数的周期性及应用
【例4】(1)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x+2)=-f(x)且f(1)=2,则下列说法正确的是 (　 　)
A.函数f(x)的周期为2
B.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027)=0
C.f(4n)+f(4n+1)+f(4n+2)+f(4n+3)=0,n∈N*
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)(n∈N*)的值可能为2
BCD
【解析】　对于A,由题得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数的周期为4,故A错误;对于B,f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,f(2)= -f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+
f(2)+f(3)=0,故B正确;对于C,f(4n)+f(4n+1)+f(4n+2)+f(4n+3)=f(0)
+f(1)+f(2)+f(3)=0+2+0-2=0(n∈N*),故C正确;对于D,f(1)+f(2)+f(3)
+f(4) +f(5) =0 +f(5) = f(1)=2,故D正确.故选BCD.
(2)设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在(5,6]上的解析式为f(x)= ___________.
【解析】　因为函数f(x)的周期为2,设A(x,y)是x∈(5,6]时函数图象上的任意一点,则点B(x-6,y)在x∈(-1,0]时函数的图象上,而函数f(x)是R上的奇函数,则点B'(6-x,-y)在x∈[0,1)时的图象上,所以-y=log2(7-x) y= -log2(7-x),即f(x)在(5,6]上的解析式为f(x)=-log2(7-x).
-log2(7-x)
1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义,求出函数的周期.
2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.
规律总结
【对点训练3】　(1)已知函数y=f(2x)的周期是2,则函数y=f(x+2)的周期是(　 　)
A.2　　　 B.4
C.6　　　 D.9
解析:由周期函数的定义得f(2(x+2))=f(2x),即f(2x+4)=f(2x),令2x=z,则f(z+4)=f(z),所以y=f(x)的周期T=4,又y=f(x+2)的图象是由y=f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,不改变其周期,所以函数y=f(x+2)的周期是4.故选B.
B
(2)(2025·江西新余模拟)已知函数f(x)的定义域为N*,且f(3)= -5,f(17)=3,f(x+1)=f(x)+f(x+2),则f(2 026)=(　 　)
A.5 B.-5
C.2 D.-2
解析:由题意得f(x+2)=f(x+1)-f(x),用x+1代替x,得f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).两式相加,得f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)是以6为周期的周期函数.因为f(17)=3,所以f(5)=f(17)=3,又因为f(5)=-f(2),所以f(2)=-3.又因为f(2)=f(1)+f(3),即-3=f(1)-5,所以f(1)=2,所以 f(2 026)=f(337×6+4)=f(4)=-f(1)=-2.故选D.
D
奇函数的中值模型
若函数f(x)=奇函数+a,则我们把它称为准奇函数;求准奇函数最大值(M)+最小值(N)之和(M+N),我们把它叫做中值模型.
(1)若f(x)为奇函数,则其最大值与最小值和为0,即f(x)max+f(x)min=0;
(2)若f(x)为奇函数,则
(3)常见考向:f(x)=奇函数+a
教材拓展
【典例】(1)已知函数f(x)=+bln(x+)+c,其中a>0且a≠1,b∈R,c∈Z,则f(1)和f(-1)的值一定不会是 (　 　)
A.2+
B.-3和4
C.3和-1
D.
【解析】　根据题意得f(x)+f(-x)=2c+1,必有f(1)+f(-1)为奇数,则f(1)和f(-1)的值一定不会是3和-1.故选C.
C
(2)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=__.
【解析】　函数可化为f(x)=,则g(x)=为奇函数,故M+m=2×1=2.
2
高考真题 教材典题
1.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f= (　 　) A.- C. 1.(人教B版必修第一册P115练习BT2)已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,求f(2)的值.
考教衔接
A
解析:由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立,于是f.故选A.
D
高考真题 教材典题
2.(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a=(　 　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(人教A版必修第一册P161复习参考题4T12)对于函数f(x)=a-(a∈R),
(1)探索函数f(x)的单调性;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数
解析:因为f(x)=是偶函数,所以f(x)- f(-x)=-=0,又因为x不恒为0,所以ex-e(a-1)x=0,即ex=e(a-1)x,则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.故选D.
课时作业8
1.(5分)(2026·北京门头沟区一模)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是(　 　)
A.y=x- B.y=x3-x
C.y= D.y=tan x
基础巩固
A
解析:对于A,y=x-是奇函数,在(0,+∞)上单调递增,满足条件;对于B,y=x3-x是奇函数,因为导函数y'=3x2-1=3,所以函数y=x3-x在上单调递减,在上单调递增,所以在(0,+∞)上不是单调函数,不满足条件;对于C,y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数,不满足条件;对于D,y=tan x是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调函数,不满足条件.故选A.
2.(5分)(2025·吉林长春二模)已知函数f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为奇函数,则a的值是(　 　)
A.3 B.1或3
C.2 D.1或2
解析:因为f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为奇函数,所以f(0)=(a-2)(a-1)=0,解得a=1或a=2.当a=1时,f(x)=x2(x-1),f(-x)=x2(-x-1)≠-f(x),故a=1不合题意,舍去;当a=2时,f(x)=x(x2+1),f(-x)=-x(x2+1)=-f(x),故a=2符合题意.故选C.
C
3.(5分)(2025·江西赣州二模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数,则f(-5)=(　 　)
A.-5 B.0
C.2 D.5
解析:因为函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数,所以f(-5)= f(-5+4)=f(-1).又f(-5)=f(-5+6)=f(1),所以f(1)=f(-1)=-f(1),故f(1)=0,即f(-5)=f(1)=0.故选B.
B
4.(5分)已知f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x+m,则当x<0时,f(x)= (　 　)
A.x2-4-x+1 B.-x2-4-x-1
C.-x2+4-x-1 D.-x2+4-x+1
解析:因为f(x)为奇函数,所以f(0)=m-1=0,即m=1.当x<0时,-x>0,f(x)= -f(-x)=-[(-x)2-4-x+1]=-x2+4-x-1.故选C.
C
5.(5分)定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,若a=f,b= f(cos 2),c=f(21.2),则a,b,c的大小关系为(　 　)
A.cC.aD
解析:=ln 4∈(ln e,ln e2)=(1,2),21.2>2,|cos 2|∈(0,1).因为定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减(提示:偶函数在两个关于原点对称的区间上单调性相反).因为 |cos 2|<<21.2,所以f(|cos 2|)>f>f(21.2).又a=f,b=f(cos 2)=f(|cos 2|),故b>a>c(方法:解决比较大小(最值)问题时,应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性的性质).故选D.
6.(5分)(2025·山西临汾三模)已知f(x)=log2(1+4-x)+x,则满足f(2m-3)A.(1,3) B.
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
A
解析:由f(x)=log2(1+4-x)+x,易知其定义域为R,由f(-x)-f(x)=log2(1+4x)-x-log2(1+4-x)-x=log2-2x=log24x-2x=2x-2x=0,知函数f(x)为偶函数,f(x)=log2(1+4-x)+x=log2(1+2-2x)+log22x=log2(2x+2-x),因为y=2x在R上单调递增,y=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以y=2x+在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,由f(2m-3)7.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,存在常数t(t>0),使得对任意x∈R,都有f(x+t)=-f(x),当x∈[0,t)时,f(x)=,若f(x)在(3,4)上单调递减,则t的最小值为(　 　)
A.
C.2 D.
D
解析:∵存在常数t(t>0),使得对任意x∈R,都有f(x+t)=-f(x),∴函数的周期是2t,当x∈[0,t)时,f(x)=,且f(x+t)=-f(x),即f(x)=
函数f(x)在上单调递减,在上单调
递增,∴函数f(x)在(n∈Z)上单调递减,则t≥4-3=1,n∈Z,即-,n∈Z,则-,解得n<,又4≤+2nt,∴n≥0,∴n=0或n=1,当n=0时,t≥8,当n=1时,≤t≤2.故选D.
8.(5分)(2025·山东青岛三模)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y),f(1)=1,则f(2 025)= (　 　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:令x=0,则f(y)-f(-y)=2f(1)f(y)=2f(y),∴f(y)=-f(-y),∴f(x)为奇函数,令y=1,则f(x+1)-f(x-1)=2f(1-x)f(1)=2f(1-x).∵f(x)为奇函数,∴f(1-x)=-f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4,∴f(2 025)=f(1)=1.故选C.
C
9.(8分,多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(-∞,0]上单调递减,则下列结论正确的是 (　 　)
A.g(g(-1))B.g(f(-1))>g(f(2))
C.f(g(1))D.f(f(1))ABC
解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且两函数在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,g(x)在R上单调递减,因为g(x)是定义在R上的奇函数,所以g(0)=0.对于A,由g(x)在R上单调递减,得g(-1)>g(2),故g(g(-1))g(f(2)),故B正确;对于C,因为g(x)在R上单调递减,所以0=g(0)>g(1)>g(2),又f(x)在 (-∞,0)上单调递减,故f(g(1))10.(8分,多选)已知函数f(x)为R上的奇函数,且x≥0时,f(x)=-x2+2x+m,则(　 　)
A.f(1)=1
B.当x<0时,f(x)=x2+2x
C.当0f()
D.当1ABD
解析:∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,即m=0,∴当x≥0时,f(x)=-x2+2x.对于A,f(1)=-12+2×1=1,故A正确;对于B,当x<0时,-x>0,∴f(x)=-f(-x)= -[-(-x)2+2×(-x)]=x2+2x,故B正确;对于C,当0f(-3)=9-6=3,f(x)11.(8分,多选)f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,均有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(2-x),则下列结论正确的是 (　 　)
A.函数f(x)的一个周期为4
B.f(2 026)=1
C.当x∈[2,3]时,f(x)=-log2(4-x)
D.函数f(x)在[0,2 026]内有1 012个零点
AC
解析:对于A,因为f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,均有f(x+2)= -f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为4,故A正确;对于B,f(2 026)=f(4×506+2)=f(2)=-f(0)=-1,故B错误;对于C,当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1],则f(x)=-f(x-2)=-log2[2-(x-2)]=-log2(4-x),故C正确;对于D,易知f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 023)=f(2 025)=0,于是函数f(x)在[0,2 026]内有1 013个零点,故D错误.故选AC.
12.(5分)已知f(x)为偶函数,若当x≥0时,f(x)=x2+4x,则f(x)的解析式是
__________________.
解析:若x<0,则-x>0,则当-x>0时,f(-x)=x2-4x,又f(x)为偶函数,则f(-x)=x2-4x=f(x),即当x<0时,f(x)=x2-4x,因此可得f(x)=
f(x)=
13.(5分)(2026·安徽六安模拟)已知函数f(x)=则f(2x)+f(x-3)>0的解集是______.
解析:当x>0时,f(x)=1-ex,-x<0,f(-x)=e-(-x)-1=ex-1=-f(x);当x<0时,f(x)= e-x-1,-x>0,f(-x)=1-e-x=-f(x);当x=0时,f(x)=0.因此函数f(x)为奇函数,函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递减,则函数f(x)在R上单调递减,则f(2x)+f(x-3)>0 f(2x)>-f(x-3)=f(3-x),于是2x<3-x,解得x<1,所以原不等式的解集为(-∞,1).
(-∞,1)
14.(5分)(2025·黑龙江大庆三模)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=3,且f(1)=-1,则f(2 024)+f(2 025)+f(2 026)=__.
解析:由f(x+1)+f(x-1)=3,令x+1代替x,可得f(x+2)=3-f(x),则f(x+4)=3-f(x+2)=f(x),可得f(2 025)=f(1+506×4)=f(1)=-1,由f(x+1)+f(x-1)=3,令x=2 025,则f(2 026)+f(2 024)=3,所以f(2 024)+f(2 025)+f(2 026)=2.
2
15.(5分)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(x-2)=4,f(x)>0, f(2 028)=1,则f(i)=(　 　)
A.4 560 B.4 561
C.4 562 D.4 563
素养提升
C
解析:由f(x)f(x-2)=4,f(x)>0,得f(x)=,于是f(x+2)==f(x-2),即f(x+4)=f(x),因此函数f(x)是以4为周期的函数(提示:若f(x+a)=f(x-a),则函数f(x)的周期为2a).又f(2 028)=1,所以f(0)=f(4)= f(2 028)=1.又f(x)为偶函数,f(1)f(-1)=4,f(x)>0,所以f(3)=f(-1)=f(1)=2.由f(2)f(0)=4,得f(2)=4,所以f(i)=507f(i)- f(2 028)= 507×(2+4+
2+1)-1=4 562.故选C.
16.(6分)已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),当x>0时,f(x)>0,且f=-1,则不等式f(x2-8)<4的解集为______.
解析:令x=y=0,得2f(0)=f(0),所以f(0)=0.令y=-x,得f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数, x1,x2∈R,设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2).因为当x>0时,f(x)>0,所以f(x1-x2)>0,则f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递增.由f=-1,得f=1,所以f(1)=f=4.不等式f(x2-8)<4可转化为f(x2-8)(-3,3)
本课结束

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