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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.5　二次函数
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T4
新课标Ⅱ卷T11
必备知识　回顾
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)=__________________.
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为____________.
(3)交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
知识梳理
ax2+bx+c(a≠0)
(m,n)
2.二次函数的图象和性质
项目 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
图象(抛 物线)
定义域 __ R
项目 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
值域
对称轴 直线x=_____ 顶点 坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 -
项目 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
单调性 在上________; 在上_______ 在上________;
在上________
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当
时,恒有f(x)>0;当时,恒有f(x)<0.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0. (　 　)
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.(　 　)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[m,n])的最值一定是. (　 　)
基础检测
√
×
×
2.函数y=x2-2x+4的最小值为__.
解析:y=x2-2x+4=(x-1)2+3,故当x=1时,ymin=3.
3.已知f(x)为二次函数,若f(x)在x=2处取得最小值-4,且f(x)的图象经过原点,则函数解析式为______________.
解析:设f(x)=a(x-2)2-4(a>0),又f(x)的图象过原点,所以f(0)=4a-4=0,解得a=1,所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.
4.若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为____________________.
解析:依题意知,≤5,解得k≥160或k≤40.
3
f(x)=x2-4x
(-∞,40]∪[160,+∞)
关键能力　提升
考点1 二次函数的解析式
【例1】　(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=________________.
【解析】　方法一(利用“一般式”)　设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得
所以f(x)=-4x2+4x+7.
-4x2+4x+7
方法二(利用“顶点式”)　设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为直线x=,所以m=.又函数有最大值8,所以n=8,所以f(x)=a+8.因为f(2)=-1,所以a×+8=-1,解得a= -4,所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.
方法三(利用“交点式”)　由已知得,方程f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值8,即=8,解得a=-4,所以f(x)=-4x2+4x+7.
求二次函数解析式的方法
规律总结
【对点训练1】　已知二次函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=2x2-2,则函数f(x)的解析式为_______________.
解析:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(x+2)+f(x)=a(x+2)2 +b(x+2) +c+ax2+bx+c=2ax2+(4a+2b)x+4a+2b+2c=2x2-2,所以
所以f(x)=x2-2x-1.
f(x)=x2-2x-1
考点2 二次函数的图象
【例2】　(多选)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　 　)
A.a+b+c>0
B.abc>0
C.a-b+c=0
D.b2-4ac>0
ACD
【解析】　对于A,如图,当x=1时,y>0,即a+b+c>0,故A正确;对于B,因为图象开口向下,所以a<0,因为对称轴在y轴右侧,所以->0,故b>0,因为图象与y轴的交点在x轴上方,所以c>0,所以abc<0,故B错误;对于C,将(-1,0)代入解析式得a-b+c=0,故C正确;对于D,因为图象与x轴交于(-1,0)和(2,0)两点,所以Δ=b2-4ac>0,故D正确.故选ACD.
研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.
规律总结
【对点训练2】　(多选)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a与b同号,那么函数的图象可能为(　 　)
BC
解析:对于A,题中图象的开口向上,对称轴在y轴右侧,所以a>0,->0,所以b<0,与已知矛盾,故A错误;对于B,题中图象的开口向上,对称轴在y轴左侧,所以a>0,-<0,所以b>0,满足条件,故B正确;对于C,题中图象的开口向下,对称轴在y轴左侧,所以a<0,-<0,所以b<0,满足条件,故C正确;对于D,题中图象的开口向下,对称轴在y轴右侧,所以a<0,->0,所以b>0,与已知矛盾,故D错误.故选BC.
考点3 二次函数的最值
【例3】　已知函数f(x)=x2-2ax-3.
(1)若f(x)在[3,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
【解】由函数f(x)=x2-2ax-3,可得f(x)的图象开口向上,且对称轴为直线x=a,
要使得f(x)在[3,+∞)上单调递增,需满足a≤3,所以a的取值范围为(-∞,3].
(2)求f(x)在[-1,2]上的最小值.
【解】由(1)知,f(x)的图象开口向上,且对称轴为直线x=a,
当a≤-1时,函数f(x)在[-1,2]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(-1)=2a-2;
当-1当a≥2时,函数f(x)在[-1,2]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(2)=1-4a.
综上可得,f(x)在[-1,2]上的最小值f(x)min=
二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型:①对称轴、区间都是固定的;②对称轴变动、区间固定;③对称轴固定、区间变动.
(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,“三点”是指区间两个端点和区间中点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可求解.
规律总结
【对点训练3】　已知二次函数f(x)=-x2+8x.
(1)若函数f(x)在[t,t+2]上不单调,求t的取值范围;
解:函数f(x)图象的对称轴为直线x=4,
要使函数在[t,t+2]上不单调,需4∈(t,t+2),即t<4解得2(2)求函数f(x)在[t,t+2]上的最大值h(t).
解:函数图象的对称轴为直线x=4,且开口向下,
当t≥4时,函数f(x)在[t,t+2]上单调递减,此时最大值h(t)=f(t)=-t2+8t;
当t+2≤4,即t≤2时,函数f(x)在[t,t+2]上单调递增,
此时最大值h(t)=f(t+2)=-t2+4t+12;
当t<4综上,h(t)=
高考真题 教材典题
(2024·北京卷)已知M={(x,y)|y= x+ t(x2-x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间的距离的最大值,S是M表示的图形的面积,则 (　 　) A.d=3,S<1 B.d=3,S>1 C.d=,S<1 D.d=,S>1 (人教A版必修第一册P53例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系:y=-20x2+2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车
考教衔接
C
高考真题 教材典题
考教衔接
解析:对任意给定x∈[1,2],x2-x=x(x-1)≥0,且t∈[0,1],可知x≤x+t(x2-x)≤x+x2-x=x2,即x≤y≤x2,所以所求集合表示的图形即为平面区域如图中阴影部分所示,其中A(1,1),B(2,2),C(2,4),可知任
意两点间距离的最大值d=|AC|=
;阴影部分的面积S×1×2=1.故选C.
课时作业10
1.(5分)当1≤x≤2时,函数y=-x2-x+1的最大值和最小值分别是(　 　)
A.5,1 B.1,-5
C.-1,-5 D.5,-1
解析:函数y=-x2-x+1=-,当1≤x≤2时,y随x的增大而减小,所以函数y=-x2-x+1的最大值和最小值分别是-1,-5.故选C.
基础巩固
C
2.(5分)已知函数y=2x2+bx+c的两个零点分别为-2,1,则函数的解析式为(　 　)
A.y=2x2-2x-4 B.y=2x2+2x-4
C.y=2x2-2x+4 D.y=2x2+2x+4
解析:依题意知,x1=-2,x2=1是关于x的方程2x2+bx+c=0的两个根,代入可得所以y=2x2+2x-4.故选B.
B
3.(5分)已知函数y=ax2+bx+c,若a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是(　 　)
A
解析:当x=1时,y=a+b+c=0,即函数图象过点(1,0).又由a>b>c,可得a>0,c<0,所以抛物线的开口向上,可排除B,D,令x=0,可得y=c<0,可排除C.故选A.
4.(5分)已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2,2),且截x轴所得线段的长度是4,将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的图象与y轴的交点坐标为(　 　)
A.(0,-8) B.(0,-6)
C.(0,-2) D.(0,0)
B
解析:因为二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(2,2),所以f(x)的图象的对称轴为直线x=2.又f(x)的图象截x轴所得线段的长度是4,所以f(x)的图象与x轴的交点坐标为(0,0)和(4,0).设f(x)=a(x-2)2+2(a≠0),将(0,0)代入得4a+2=0,解得a=-,所以f(x)=-(x-2)2+2,因为g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,所以g(x)=f(x-2)=-(x-2-2)2+2=-(x-4)2+2.令x=0,则y=g(0)=-×16+2=-6,所以g(x)的图象与y轴的交点坐标为(0, -6).故选B.
5.(5分)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则 (　 　)
A.f(m+1)=0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
解析:因为二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=-,图象开口向上,所以函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,设二次函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标为x1,x2(x1又f(0)=a=f(-1)>0,则f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0,得-10,所以
f(m+1)>f(0)>0.故选C.
C
6.(5分)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上的值域是[2,3],则实数m的取值范围是(　 　)
A.[1,+∞) B.[0,2]
C.(-∞,-2] D.[1,2]
解析:函数f(x)=x2-2x+3图象的对称轴为直线x=1,
且f(0)=f(2)=3,f(1)=2,画出函数f(x)=x2-2x+3的图象
如图,由图象可知,要使函数f(x)=x2-2x+3在[0,m]上
的值域是[2,3],则1≤m≤2,即实数m的取值范围是
[1,2].故选D.
D
7.(6分,多选)已知函数f(x)=x2+2x+1,则以下结论一定正确的是 (　 　)
A.f(-1)=0
B.f(x)的最小值为1
C.f(x)图象的顶点坐标为(-1,0)
D.f(x)的图象关于直线x=-1对称
解析:f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.对于A,f(-1)=0,故A正确;对于B,f(x)的最小值为0,故B错误;对于C,f(x)图象的顶点坐标为(-1,0),故C正确;对于D,f(x)图象的对称轴为直线x=-1,故D正确.故选ACD.
ACD
8.(6分,多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,则下列结论正确的是 (　 　)
A.b2>4ac
B.2a-b=1
C.a+b+c<0
D.5aAD
解析:对于A,因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确;对于B,因为对称轴为直线x=-1,即-=-1,所以2a-b=0,故B错误;对于C,因为图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,所以图象过点(1,0),所以a+b+c=0,故C错误;对于D,由B知,b=2a,根据抛物线开口向下,知a<0,所以5a<2a=b,即5a9.(5分)已知函数f(x)为二次函数,f(x)的图象过点(0,2),对称轴为直线x= -,函数f(x)在R上的最小值为,则f(x)的解析式为________________.
解析:因为f(x)图象的对称轴为直线x=-,函数f(x)在R上的最小值为,所以可设f(x)=a,a>0,将(0,2)代入,得a×=2,解得a=1,故f(x)==x2+x+2.
f(x)=x2+x+2
10.(5分)若函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,3]的最小值为2,则a=__.
解析:f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,根据二次函数的性质可知函数f(x)在[0,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减,又|0-2|>|3-2|,所以f(x)的最小值为f(0)=a=2.
2
11.(18分)已知二次函数f(x)满足f(0)=-1,其图象的顶点为(1,-2).
(1)求函数f(x)的解析式;
解:设f(x)=m(x-1)2-2(m≠0),由f(0)=-1得m-2=-1,
∴m=1,∴f(x)=(x-1)2-2=x2-2x-1.
(2)若函数f(x)在区间[a-1,4]上单调递增,求实数a的取值范围.
解:由(1)知f(x)=x2-2x-1,其图象开口向上,对称轴为直线x=1,
∵函数f(x)在区间[a-1,4]上单调递增,∴∴2≤a<5,
∴实数a的取值范围为[2,5).
12.(20分)已知函数f(x)=ax2+(a-1)x+1(a∈R).
(1)若不等式f(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
解:由条件知f(x)=ax2+(a-1)x+1>0在(-∞,+∞)上恒成立,
当a=0时,f(x)=-x+1,不符合题意;
当a<0时,显然也不符合题意,
所以a>0,且Δ=(a-1)2-4a<0,解得3-2.
综上,a的取值范围是3-2.
(2)若f(x)在[-1,+∞)上单调递减,求a的取值范围;
解:由条件知f(x)=ax2+(a-1)x+1在[-1,+∞)上单调递减,
当a=0时,f(x)=-x+1,符合题意;
当a>0时,显然不符合题意,
所以a<0,且-≤-1,
解得-1≤a<0.
综上,a的取值范围是-1≤a≤0.
(3)若函数g(x)=f(x)+(1-a)x2在[-1,2]上的最大值为6,求a的值.
解:由g(x)=f(x)+(1-a)x2,得g(x)=x2+(a-1)x+1.
由条件知g(x)在[-1,2]上的最大值为6,
当-,即a≤0时,g(x)max=g(-1)=3-a,
即3-a=6,解得a=-3,符合题意;
当-,即a>0时,g(x)max=g(2)=2a+3,
即2a+3=6,解得a=,符合题意.
所以a的值为-3或.
13. (5分)(2025·陕西汉中三模)在特定条件下,篮球赛中进攻球员投球后,篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段,防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”,而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言,如果忽略其他因素的影响,篮球处于上升阶段的水平距离越长,那么被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后,某球员投篮可以简化为下述数学模型:如图所示,该球员的投篮出手点为P,篮框中心点为Q,他可以选择让篮球在运行途中经过A,B,C,D四个点中的某一点并命中Q,忽略其他因素的影响,那么被“盖帽”的可能性最小的线路是(　 　)
A.P→A→Q B.P→B→Q
C.P→C→Q D.P→D→Q
素养提升
C
解析:篮球上升阶段的水平距离越短,被“盖帽”的可能性越小,则对称轴越靠近y轴越好,当经过P(0,2),A(1,3),Q(4,3)时,A,Q的纵坐标相同,抛物线关于直线x=对称,同理可得经过P,B,Q时抛物线关于直线x==3对称,当经过P(0,2),C(1,4),Q(4,3)时,设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则x+2,抛物线关于直线x=对称,同理可得经过P,D,Q时,抛物线关于直线x=对称,可知经过P,C,Q时篮球处于上升阶段的水平距离最短.故选C.
14.(5分)已知函数f(x)=|x2-2x-3|在[-1,m]上的最大值为f(m),则m的取值范围是(　 　)
A.(-1,1]
B.(-1,1+2]
C.[1+2,+∞)
D.(-1,1]∪[1+2,+∞)
D
解析:由已知f(x)=|x2-2x-3|=则函数f(x)在(-∞, -1)和(1,3]上单调递减,在[-1,1]和(3,+∞)上单调递增,所以当-1f(m),此时不成立;当m>3时,f(x)在[-1,1]和(3,m]上单调递增,在(1,3]上单调递减,所以若此时f(x)的最大值为f(m),则f(m)≥f(1),即
.综上所述,m∈(-1,1]∪
[1+2,+∞).故选D.
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